李春林

(天水市第九中學(xué),甘肅 天水 741020)

(河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內(nèi)蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西)

第Ⅰ卷(選擇題)

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x|2x<-x+1},B={x∈Z|ln(-x)<1},則A∩B等于( ).

A.(-e,+∞) B.(-e,0)

C.{-3,-2,-1} D.{-2,-1}

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

5.函數(shù)f(x)=(elog2|x|-e-log2|x|)·sinx在區(qū)間[-π,π]上的圖象大致為( ).

6.若(2x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,則a1+2a2+…+10a10=( ).

A.310B.310-1 C.20×39D.10×39

7.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(0,3)的直線與C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)D,若AF+BF=6,則△ABD的面積為( ).

A.215B.219C.221D.228

二、多選題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)說法中正確的是( ).

A.兩個(gè)變量x,y的相關(guān)系數(shù)為r,則|r|越小,x與y之間的相關(guān)性越弱

B.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ<0)=1-2p

C.在回歸分析中,R2為0.99的模型比R2為0.88的模型擬合得更好

D.某人在10次答題中,答對題數(shù)為X,X～B(10,0.7),則答對7題的概率最大

A.a2e=1

B.頂點(diǎn)到漸近線的距離為e

C.A2B⊥FB

11.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,EF是棱AB上的一條線段,且EF=1,點(diǎn)Q是棱A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P是棱C1D1上的動點(diǎn),則下面結(jié)論中正確的是( ).

A.PQ與EF一定不垂直

第Ⅱ卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.已知圓O1:x2+y2=1,圓O2:(x+3)2+(y-a)2=16,如果這兩個(gè)圓有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2sinA-cosC)b=ccosB.

(1)求B;

(2)若a=1,求b+c的取值范圍.

16.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,λan+1=Sn+2,n∈N*.

(1)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由;

17.如圖1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,D為BC的中點(diǎn),平面BB1C1C⊥平面ABC.

圖1 第17題圖

(1)證明:AD⊥BB1;

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)P(1,-1)的直線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)B(0,1),求證:直線BM,BN的斜率之和kBM+kBN為定值,并求出定值.

(1)當(dāng)m=0時(shí),求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

參考答案

1.由題意得,A={x|2x+x<1}.

因?yàn)?0+0=1,y=2x+x在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,所以A={x|x<0},B={x∈Z|ln(-x)<1}={x∈Z|0<-x

所以A∩B={-2,-1}.

故選D.

故選A.

(a+b)·a=a2+a·b=1+a·b=0.

所以a·b=-1.

所以|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=10.

故選B.

4.若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),

綜上,p是q的充分不必要條件.

故選A.

5.因?yàn)閒(-x)=(elog2|-x|-e-log2|-x|)·sin(-x)=-(elog2|x|-e-log2|x|)·sinx=-f(x),

所以f(x)為奇函數(shù).

當(dāng)0

所以elog2|x|

又sinx>0,所以f(x)<0.

故選C.

6.根據(jù)題意,對原式兩邊求導(dǎo)可得:

令x=2,可得20×39=a1+2a2+…+10a10.

故選C.

由拋物線的定義可知,

|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|AF|+|BF|=6.

所以|AA′|+|BB′|=6.得|HH′|=3.

即點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為2.

設(shè)直線AB:y=kx+3,代入拋物線方程,得

k2x2+(6k-4)x+9=0.

所以直線AB:y=-2x+3,H(2,-1).

令y=0,解得x=4,即D(4,0).

故選C.

又?jǐn)?shù)列{An}的二階商數(shù)列{cn}是常數(shù)列,則cn=c1=2.

則數(shù)列{bn}是2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.

則bn=2·2n-1=2n.

等式左右分別相乘可得

故選C.

9.對于A,兩個(gè)變量x,y的相關(guān)系數(shù)為r,|r|越小,x與y之間的相關(guān)性越弱,故A正確;

對于C,R2越接近1,模型擬合越好,且0.99>0.88,故C正確;

對于D,因?yàn)閄～B(10,0.7),則數(shù)學(xué)期望為10×0.7=7,說明答對7題的概率最大,故D正確.

故選ACD

故選ACD.

11.對于A,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D1重合時(shí),由正方體的性質(zhì)易得PQ⊥面ABB1A1,而EF?面ABB1A1,所以PQ⊥EF,故A錯(cuò)誤;

對于C,由于平面PEF就是平面ABC1D1,

設(shè)點(diǎn)P到平面QEF的距離為h,

圖2 第11題解析圖

設(shè)平面PEF的法向量為n=(x1,y1,z1),

令x1=1,則n=(1,0,1).

設(shè)平面QEF的法向量為m=(x2,y2,z2),

令x2=2,則m=(2,0,1).

設(shè)二面角P-EF-Q的平面角為α,

故選BCD.

12.由題意知,O1(0,0),r1=1,O2(-3,a),r2=4.

因?yàn)閳AO1與圓O2有公共點(diǎn),

所以r2-r1≤|O1O2|≤r2+r1.

解得-4≤a≤4.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-4,4].

13.因?yàn)閍>0,b>0,

如圖3所示,延長AG交BC于點(diǎn)D,則D是BC中點(diǎn),

圖3 第14題解析圖

又P,G,Q三點(diǎn)共線,

15.(1)由正弦定理,得

2sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB.

即2sinAsinB=sin(B+C)=sinA.

由△ABC是銳角三角形可得

16.(1)由題知λan+1=Sn+2,

①

當(dāng)n≥2時(shí),λan=Sn-1+2.

②

兩式相減,得λan+1-λan=an.

即λan+1=(1+λ)an.

當(dāng)λ=0時(shí),an=0,不能使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列,舍去,

當(dāng)λ=-1時(shí),an+1=0·an=0,不能使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列,舍去,

當(dāng)λ∈(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,+∞)時(shí),數(shù)列{an}為等比數(shù)列.

(2)當(dāng)λ=1時(shí),an+1=2an,

故{an}為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

兩式相減,得

17.(1)因?yàn)锳B=AC,且D為BC的中點(diǎn),則AD⊥BC.

因?yàn)槠矫鍮B1C1C⊥平面ABC,交線為BC,AD⊥BC,AD?平面ABC,

可得AD⊥平面BB1C1C,且BB1?平面BB1C1C.

所以AD⊥BB1.

(2)連接B1D,B1C,

因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C為邊長為2的菱形,且∠B1BC=60°,

可知△B1BC為等邊三角形,且D為BC的中點(diǎn),則B1D⊥BC.

又因?yàn)槠矫鍮B1C1C⊥平面ABC,交線為BC,B1D?平面BB1C1C,

所以B1D⊥平面ABC.

以D為原點(diǎn),DC,DA,DB1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖4.

圖4 第17題解析圖

設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則

設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為m=(a,b,c),則

設(shè)平面EAD與平面EAC的夾角為θ,

設(shè)R到F1F2的距離為d,因?yàn)閨F1F2|=2c,

易得當(dāng)d=b時(shí)△RF1F2面積取得最大值.

因?yàn)閎2=a2-c2,

所以a2=4,b2=1.

(2)如圖5,易知點(diǎn)P在橢圓外.

圖5 第18題解析圖

(m2+4)y2+(2m2+2m)y+m2+2m-3=0.

所以kBM+kBN

19.(1)因?yàn)閙=0,

所以f(x)=x2lnx+xlnx,x∈(0,+∞).

所以f(1)=0.

所以f′(x)=(2x+1)lnx+x+1.

所以f′(1)=2.

所以f(x)在(1,0)處的切線方程為y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.

則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)x→0時(shí)h(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時(shí)h(x)→+∞,

故存在唯一x0使得h(x0)=0.

則當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)h(x)<0,即F′(x)<0.

所以F(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)h(x)>0,即F′(x)>0.

所以F(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以F(x)min=F(x0)≥0.

所以當(dāng)0

即t(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x>1時(shí)t′(x)>0,即t(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.