王東海

(安徽省合肥市肥東縣城關中學,安徽 合肥 231600)

第Ⅰ卷(選擇題)

一、單選題:本題共8小題,共40分.在每小題列出的選項中,選出符合的一項.

1.已知集合A={y|y=2x-1,x∈R},B={x|x2-x-2<0},則( ).

C.A∪B=AD.A∩(RB)=A

3.已知平面向量a=(1,m),b=(0,2),若b⊥(3a-mb),則實數m=( ).

A.-1 B.0 C.1 D.2

A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件

二、多選題：本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.若甲組樣本數據x1,x2,…,xn(數據各不相同)的平均數為3,乙組樣本數據2x1+a,2x2+a,…,2xn+a的平均數為5,下列說法錯誤的是( ).

A.a的值不確定

B.乙組樣本數據的方差為甲組樣本數據方差的2倍

C.兩組樣本數據的極差可能相等

D.兩組樣本數據的中位數可能相等

A.若地震震級M增加1級,則最大振幅Amax增加到原來的10倍

B.若地震震級M增加1級,則放出的能量E增加到原來的10倍

C.若最大振幅Amax增加到原來的100倍,則放出的能量E也增加到原來的100倍

D.若最大振幅Amax增加到原來的100倍,則放出的能量E增加到原來的1 000倍

11.如圖1所示,在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D中,E為側面BCC1B1的中心,F是棱C1D1的中點,若點P為線段BD1上的動點,N為ABCD所在平面內的動點,則下列說法正確的是( ).

圖1 第11題圖

第Ⅱ卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.某校在新學期開設了“遇見GGB”“數學與生活”“微積分初步”“無限的世界”和“數學閱讀與寫作”5門數學類校本課程.小明和小華兩位同學商量每人選報2門校本課程.若兩人所選的課程至多有一門相同,且小明一定選報“遇見GGB”課程,則兩位同學不同的選課方案有____種.(用數字作答)

四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟

(1)求角C的大小;

(2)若△ABC為銳角三角形,且b=2,求△ABC周長的取值范圍.

圖2 第16題圖

(1)證明:BM∥平面DEF;

(2)點P在棱BB1上,當二面角P-DF-E為30°時,求EP的長.

(1)當a=1時,求函數f(x)的單調區(qū)間;

(2)求證:當a>0時,f(x)≤e2a-2.

18.已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2,n∈N*,數列{bn}滿足b1=1,Sn+1-n=Sn+bn+n+1,其中Sn為數列{bn}的前n項和.

(1)求數列{an},{bn}的通項公式;

(1)求橢圓C的標準方程;

參考答案

1.C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D 7.A

8.B 9.ABC 10.AD 11.BCD

因為△ABC為銳角三角形,

16.(1)取DF中點N,連接EN,MN,由MN為梯形ADFC的中位線,得

又BE∥AD,故MN∥BE,且MN=BE.

故四邊形BMNE為平行四邊形,則BM∥NE.

因為NE?平面DEF,BM?平面DEF,

故BM∥平面DEF.

(2)以BM所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,MN所在直線為z軸,建立空間直角坐標系M-xyz,如圖3所示,

圖3 第16題解析圖

設平面DEF的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面PDF的法向量為n2=(x2,y2,z2),

取z1=3,則y1=2,x1=0,得n1=(0,2,3).

由二面角P-DF-E為30°,得

因為a>0,所以當x∈(0,e1-a)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,當x∈(e1-a,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.

即證:ea-1≥a.

記g(a)=ea-1-a,則g′(a)=ea-1-1,當a∈(0,1)時,g′(a)<0,g(a)單調遞減,當a∈(1,+∞)時,g′(a)>0,g(a)單調遞增.

所以g(a)min=g(1)=0.

所以g(a)≥0恒成立,即ea-1≥a.

所以當a>0時,f(x)≤e2a-2.

18.(1)由an+1=3an+2,可得

an+1+1=3(an+1).

所以數列{an+1}是首項為a1+1=2,公比為3的等比數列.

所以an+1=2·3n-1.

所以數列{an}的通項公式為an=2·3n-1-1.

因為Sn+1-n=Sn+bn+n+1,

所以bn+1=bn+2n+1.

所以數列{bn}的通項公式為bn=n2.

①

②

②-①,得

所以{Tn}是遞增數列.

(2)由題意可知直線l的斜率k存在且k<0,設直線l方程為y=k(x-1),代入橢圓方程為

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

顯然Δ>0恒成立.

設M(x1,y1),N(x2,y2),則

過點M,N分別作y軸的垂線,垂足分別為M′,N′,設原點為O,則