摘 要：為獲得大阻尼復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，開展了共固化多層阻尼膜夾嵌復(fù)合材料梁的動(dòng)力學(xué)性能研究。基于一階剪切變形理論和Hamilton原理，提出并推導(dǎo)了該結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，運(yùn)用變分原理和伽遼金法求解了，在固支邊界條件下的自由振動(dòng)特性理論解，通過仿真和試驗(yàn)對(duì)理論可行性進(jìn)行了驗(yàn)證，揭示了參數(shù)變化對(duì)一階固有頻率和阻尼比的影響，為多層阻尼膜在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：多層阻尼膜夾嵌復(fù)合材料梁；固支邊界；固有振動(dòng)；伽遼金法；模態(tài)試驗(yàn)

中圖分類號(hào)：TB332" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.02.004

Free vibration of co-cured multi-layer damping filmsembedded composite beam

Abstract：In order to obtain large damping composite material structure，the dynamic properties of the co-cured multi-layer damping films embedded composite beam are studied.Based on the first-order shear deformation theory and Hamilton’s principle，a dynamic equation of the structure is presented，the theoretical solution of free vibration characteristics under the fixed-support boundary condition are derived and solved by using the variational principle and Galerkin method，by simulation and test to verify the feasibility of the theory，and the relationships of parameter change on the fundamental frequency and damping ratio are revealed.Conclusions provide a theoretical basis for the optimal design of multi-layer damping membranes in composite structures.

Key words：multi-layer damping films embedded composite beam；fixed-support boundary；natural vibration；Galerkin method；modal test

嵌入式共固化阻尼復(fù)合材料結(jié)構(gòu)是一種多相固體，是由樹脂基體相、纖維增強(qiáng)相和黏彈性阻尼材料經(jīng)過共固化技術(shù)使得分子層面發(fā)生反應(yīng)復(fù)合而成[1-3]，大大提高了該材料結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力學(xué)性能。共固化多層阻尼夾嵌復(fù)合材料梁（co-cured multi-layer damping films embedded composite beam，CMDFECB）與傳統(tǒng)復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)相比，具有更輕的質(zhì)量、更高的比強(qiáng)度以及更大的阻尼，由于出色的減振降噪性能，廣泛用于汽車、航空、航天、船舶等領(lǐng)域。

近年來，學(xué)者們廣泛研究了單層自由阻尼和約束阻尼復(fù)合材料層合板以及梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。

RAVI[4]通過使用模態(tài)疊加法對(duì)自由和約束粘彈性阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)分析，得到了該結(jié)構(gòu)的共振頻率和響應(yīng)振幅。PARTHASARATHY等[5]推導(dǎo)了帶有切口自由阻尼板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，并運(yùn)用有限元法探討了阻尼材料配置對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率、損耗因子和振型的影響。周航等[6]根據(jù)黏彈性阻尼材料的動(dòng)態(tài)特性，提出一種自由阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)分析方法。楊莉等[7]采用整體劃分單元法實(shí)現(xiàn)了自由阻尼薄板結(jié)構(gòu)的有限元建模。李偉[8]對(duì)自由阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元仿真分析，計(jì)算得到了結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率與振型。

BERTHELOT等[9]基于層壓板理論，對(duì)約束阻尼梁試樣進(jìn)行阻尼特性分析。LU等[10-11]研究了連續(xù)或不連續(xù)約束阻尼梁和環(huán)結(jié)構(gòu)，建立并驗(yàn)證了相應(yīng)的有限元模型，并探究了溫度變化對(duì)約束阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響規(guī)律。MOITA等[12]開發(fā)了主動(dòng)—被動(dòng)阻尼層合板、梁結(jié)構(gòu)的有限元模型，并計(jì)算出時(shí)域和頻域的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。ASSAF等[13]基于有限元方法，采用離散基爾霍夫理論，對(duì)約束阻尼板結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，并對(duì)結(jié)構(gòu)做參數(shù)化研究及優(yōu)化。曾昭陽等[14]運(yùn)用模態(tài)應(yīng)變能法，對(duì)約束阻尼圓柱厚殼結(jié)構(gòu)的剛度、結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比進(jìn)行研究，并探討了阻尼層參數(shù)變化和幾何參數(shù)變化對(duì)殼體模型的影響規(guī)律。李烜等[15-16]利用模壓工藝，將丁基橡膠阻尼材料制備成阻尼薄膜，再與纖維樹脂基體按固化曲線制得嵌入式阻尼結(jié)構(gòu)試件。馬國瑞等[17]根據(jù)變分原理和Hamilton原理，對(duì)雙層CDFEC梁進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。

本研究提出的CMDFECB結(jié)構(gòu)，與自由阻尼和約束阻尼梁結(jié)構(gòu)相比優(yōu)點(diǎn)是阻尼材料嵌入到樹脂基體內(nèi)部，層間結(jié)合性能好、耐疲勞和阻尼性能優(yōu)異[18]。而大多數(shù)研究都集中于自由阻尼和約束阻尼板和梁結(jié)構(gòu)，對(duì)兩端固支CMDFECB動(dòng)態(tài)響應(yīng)的分析相對(duì)稀少。因此本研究以Hamilton原理與一階剪切變形理論為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出CMDFECB的運(yùn)動(dòng)方程，并通過變分原理和伽遼金法求解，將求解結(jié)果與實(shí)驗(yàn)和仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比以證明該方程的正確性，探討固有頻率和阻尼比隨結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的規(guī)律，可為后續(xù)研究提供參考。

1 CMDFECB固有頻率和損耗因子的推導(dǎo)

1.1 基本假設(shè)

CMDFECB的幾何結(jié)構(gòu)如圖1，面內(nèi)位移如圖2，為了方便求解，做以下假設(shè)。

1）每層之間的位移是連續(xù)的且接口處無滑移。

2）結(jié)構(gòu)變形前后，每層厚度方向的法向應(yīng)變和應(yīng)力忽略不計(jì)。

3）阻尼材料的彈性模量和剪切模量用常復(fù)數(shù)形式。

1.2 CMDFECB幾何方程及本構(gòu)關(guān)系

結(jié)合所做假設(shè)，CMDFECB各層位移為

式中：i=1，2，3，4，5，6，7；ui和w分別表示每層中心線的縱向位移和橫向位移；αi表示每層中心線法線的轉(zhuǎn)角。

在CMDFECB的各層建立坐標(biāo)系（圖3），原點(diǎn)位于各層的中心線上，z（i）是各層的垂直坐標(biāo)。

每層的位移-應(yīng)變關(guān)系為

每層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

式中：θi為纖維方向與x軸的夾角。

1.3 CMDFECB運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)

根據(jù)Hamilton變分原理[19]，由式（3）可以得到CMDFECB的應(yīng)變能和動(dòng)能分別為

根據(jù)假設(shè)1）可得

由式（2）、（3）和（6）可得CMDFECB的運(yùn)動(dòng)方程，即

δu1表示對(duì)位移量u1進(jìn)行變分計(jì)算，后續(xù)亦為此含義。

1.4 振動(dòng)方程的求解

梁是固支支撐，邊界條件為

滿足上述邊界條件的Navier解為

式中：U1、U3、U5、U7、W、1、3、5和7為未知系數(shù)；Um、Wm、m為陣型函數(shù)。

根據(jù)板殼振動(dòng)理論和復(fù)合材料力學(xué)[20-21]，振型函數(shù)為

三角級(jí)數(shù)系數(shù)滿足

將式（18）、（19）代入式（8）～（16）中，整理得

整理得

KX=MωX（21）

式中：K和M分別為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；X=（U1，U3，U5，U7，W，1，3，5，7）T。

由式（22）和（23）計(jì)算可得CMDFECB結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率和損耗因子，即

2 試驗(yàn)和仿真模擬驗(yàn)證

2.1 試件制作

CMDFECB試件制備步驟如下，

1）根據(jù)相似相容原理，阻尼材料和四氫呋喃按1g∶7 mL的比例進(jìn)行混合，制作出可刷涂的具有一定黏稠度的阻尼漿液。

2）將預(yù)浸料裁剪成所需要的尺寸，然后采用雙面涂刷的方式等速均勻的刷涂在預(yù)浸料表面，使其形成預(yù)期厚度的阻尼薄膜。

3）在金屬模具表面涂抹脫模劑后鋪設(shè)預(yù)浸料，過程中將阻尼薄膜夾嵌到預(yù)浸料預(yù)定位置。

4）整體真空密封后放入熱壓罐中按照碳纖維/環(huán)氧樹脂預(yù)浸工藝曲線進(jìn)行共固化處理。

5）共固化完成后，將共固化多層阻尼夾嵌復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)切割成尺寸為400mm×20mm的梁結(jié)構(gòu)。最終獲得試件的幾何尺寸（圖4），CMDFECB試件如圖5所示。

2.2 模態(tài)試驗(yàn)

模態(tài)試驗(yàn)方法選擇單點(diǎn)激振法，即激振點(diǎn)位置和方向是固定的，通過變化傳感器測(cè)點(diǎn)位置來完成試件模態(tài)參數(shù)的測(cè)量，模態(tài)測(cè)試過程如下。

1）利用制作的CMDFECB試件，搭建兩端固支的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)（圖5）。

2）建立1∶1試驗(yàn)?zāi)Ｐ筒?dǎo)入PULSE中，按照布置的測(cè)點(diǎn)模型對(duì)試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行網(wǎng)格處理，設(shè)置9個(gè)測(cè)點(diǎn)（圖6）。

3）設(shè)置模態(tài)測(cè)試參數(shù)以及調(diào)試激勵(lì)力錘，取合適的激勵(lì)區(qū)間，調(diào)試過程參見圖7。

4）對(duì)CMDFECB試件進(jìn)行模態(tài)測(cè)試，將獲得所有測(cè)試點(diǎn)的激勵(lì)和響應(yīng)數(shù)據(jù)，導(dǎo)入到Reflex中進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，提取前三階的模態(tài)振型分別如圖10（b）、11（b）和12（b）所示，其選取過程如圖8所示。

2.3 有限元數(shù)值模擬

此外，使用ANSYS17.0對(duì)400mm×20mm復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，梁結(jié)構(gòu)采用Solid Brick 8 node 185單元，在截面設(shè)置材料厚度、鋪層角度，具體見表2。在材料參數(shù)中定義兩種材料，其中，復(fù)合材料層的材料為各向異性，材料參數(shù)見表2，黏彈性阻尼層材料為各向同性，材料參數(shù)見表1。

之后對(duì)所建模型進(jìn)行單元?jiǎng)澐郑瑒澐謫卧闆r為：長度方向400個(gè)單元，寬度方向20個(gè)單元，厚度方向7個(gè)單元，各層之間通過共節(jié)點(diǎn)連接，圖9給出了劃分網(wǎng)格后的有限元模型，所建梁結(jié)構(gòu)模型的邊界條件為兩端固支，最終計(jì)算出振動(dòng)時(shí)的固有頻率和損耗因子與模態(tài)試驗(yàn)和理論計(jì)算結(jié)果相比較。

將理論數(shù)據(jù)與模態(tài)試驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行比較，如表3所示。

通過表3對(duì)比可知：三者前三階固有頻率和損耗因子基本吻合。前三階固有頻率的最大誤差小于4%，損耗因子的最大誤差小于6%，能夠符合工程實(shí)際的需要，驗(yàn)證了本研究理論公式的有效性。圖10～12表示前三階的模態(tài)振型，可以發(fā)現(xiàn)三者陣型具有良好的一致性，圖中（a）是理論形成，（b）是模態(tài)試驗(yàn)形成，（c）是有限元模擬形成。

3 參數(shù)設(shè)計(jì)對(duì)CMDFECB動(dòng)態(tài)特性影響

運(yùn)用理論模型分析參數(shù)變化對(duì)CMDFECB動(dòng)態(tài)特性的影響。為方便表述，將CMDFECB的預(yù)浸料層厚度記為h1、h3、h5、h7，阻尼層厚度記為h2、h4、h6，總厚度記為H，阻尼層總厚度記為Hc，其中H=h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7，Hc=h2+h4+h6，所用的材料參數(shù)見表1和2。

保持預(yù)浸料層1和7的總厚度恒定（h1+h7=2mm），CMDFECB振動(dòng)特性隨h1/h7和h4值變化規(guī)律如圖13所示。

由圖13可知：增大h1/h7的值，CMDFECB的基頻變化為先減小后增大，阻尼比變化為先增大后減小；當(dāng)h1=h7時(shí)，結(jié)構(gòu)基頻達(dá)到極小值和損耗因子達(dá)到極大值。原因在于當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)變形時(shí)，第1層和第7層復(fù)合材料層圍繞第四層阻尼層對(duì)稱分布能使中間阻尼層承受了更大的剪切應(yīng)力，使阻尼材料獲得更大的應(yīng)變能。此外，隨h4值的增大，極值點(diǎn)位置基本保持不變，而CMDFECB的基頻降低，模態(tài)損耗因子增加，可見增加中間阻尼層（h4）厚度可以提升CMDFECB的動(dòng)力學(xué)性能。

保持預(yù)浸料層3和5的總厚度恒定（h3+h5=2mm），CMDFECB動(dòng)態(tài)性能隨h3/h5和h4值變化規(guī)律如圖14所示。

由圖14可知，CMDFECB一階頻率和模態(tài)損耗因子與h3/h5和h4的變化規(guī)律和關(guān)系類似于圖13，當(dāng)h3+h5為定值時(shí)，在h1/h7=1處出現(xiàn)極值，且h4的變化不對(duì)極值位置產(chǎn)生影響，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因也與圖13相似。因此，設(shè)計(jì)CMDFECB時(shí)，復(fù)合材料層最佳選擇位置是對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

取h1=h7、h3=h5，設(shè)定h1+h7+h3+h5的總厚度等于6mm，CMDFECB動(dòng)態(tài)性能隨h1/h3與h4值變化規(guī)律如圖15所示。

設(shè)定h1+h7+h3+h5的總厚度分別等于8mm，CMDFECB動(dòng)態(tài)性能隨h1/h3與h4值變化規(guī)律如圖16所示。

由圖15和圖16可知：h1+h7+h3+h5為定值時(shí)，增大h1/h3的值，CMDFECB的基頻先減小后趨于穩(wěn)定，損耗因子呈先增后減趨勢(shì)，在h1/h3=1處CMDFECB的基頻相對(duì)較小，模態(tài)損耗因子相對(duì)較大。此外，當(dāng)h1=h3=h5=h7時(shí)，CMDFECB的損耗因子顯著提升，原因在于對(duì)稱結(jié)構(gòu)可使阻尼層獲得較大的剪切變形能。因此，在CMDFECB的設(shè)計(jì)中，h1、h3、h5和h7的厚度最好相等且對(duì)稱分布。

設(shè)定阻尼層2和6的總厚度（h2+h6）等于0.4mm，取不同h2/h6與h4的值，CMDFECB動(dòng)態(tài)特性隨h2/h6與h4值變化規(guī)律如圖17所示。

設(shè)定阻尼層2和6的總厚度（h2+h6）等于0.6mm，CMDFECB動(dòng)態(tài)特性隨h2/h6與h4值變化規(guī)律如圖18所示。

由圖17和圖18可知，h2+h6為定值時(shí)，增大h2/h6的值，CMDFECB的基頻在小幅范圍內(nèi)先略微減小后趨于平緩，模態(tài)損耗因子呈先增后減趨勢(shì)。CMDFECB的基頻與模態(tài)損耗因子分別在h2/h6=1處取得極小值與極大值。原因在于阻尼層對(duì)稱分布時(shí)可以獲得更大損耗因子。CMDFECB發(fā)生振動(dòng)變形時(shí)，阻尼層可承受更大的剪切應(yīng)力，使阻尼材料更好的將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉。因此在CMDFECB的設(shè)計(jì)中，中上下阻尼層最好是對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

取h2=h6，CMDFECB動(dòng)態(tài)特性隨h4/h2和Hc值變化規(guī)律如圖19所示。

由圖19可知：當(dāng)CMDFECB的3個(gè)阻尼層的厚度h2+h4+h6的值一定時(shí)，增大h4/h2，CMDFECB的一階固有頻率表現(xiàn)為先減小后趨于平緩，損耗因子表現(xiàn)為先增大后略微減?。划?dāng)h4/h2約等于1.3時(shí)，CMDFECB結(jié)構(gòu)的一階頻率出現(xiàn)極小值和損耗因子出現(xiàn)極大值；且不隨h4、h2、h6的改變而變化。因此，在CMDFECB的設(shè)計(jì)中，中間阻尼層厚度應(yīng)略大于上下阻尼的厚度。

4 結(jié) 論

本研究推導(dǎo)了共固化多層阻尼膜夾嵌復(fù)合材料梁的偏微分動(dòng)力學(xué)方程，求解了固支邊界條件下模型的理論解。同時(shí)基于模態(tài)試驗(yàn)法和FEM方法對(duì)CMDFECB結(jié)構(gòu)的基頻和損耗因子進(jìn)行計(jì)算，在驗(yàn)證了理論模型可行性的基礎(chǔ)上，深入分析了參數(shù)設(shè)計(jì)對(duì)CMDFECB結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的影響，得到如下結(jié)論。

1）當(dāng)CMDFECB整體為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，且中間阻尼層的厚度略大于上下阻尼層的厚度時(shí)，此時(shí)CMDFECB結(jié)構(gòu)獲得最好的動(dòng)力學(xué)性能。

2）在阻尼厚度一定時(shí)，存在合適的Hc/H值使結(jié)構(gòu)兼具良好的剛度和阻尼性能。

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