摘 要：由于螺栓結(jié)構(gòu)中存在復(fù)雜的微觀特征，數(shù)值模型中無法避免的會(huì)引入不確定性。針對(duì)螺栓設(shè)計(jì)中參數(shù)不確定性量化問題，一種基于高精度模態(tài)綜合法的螺栓連接組合結(jié)構(gòu)隨機(jī)模型更新方法被提出。首先考慮高階剩余模態(tài)的影響，推導(dǎo)了適用于螺栓組合結(jié)構(gòu)彈性交界面的高精度模態(tài)綜合法；之后，在貝葉斯推理框架下，通過組合結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型的概率分布，建立螺栓連接參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，并借助DRAM（delayed rejection adaptive metropolis）抽樣方法量化參數(shù)的不確定性。數(shù)值算例表明，針對(duì)各子結(jié)構(gòu)之間自振頻率差別較大的結(jié)構(gòu)，與模態(tài)綜合法相比，本研究方法在較少子結(jié)構(gòu)模態(tài)參與的情形下，也可以保證良好的模型更新結(jié)果。

關(guān)鍵詞：組合結(jié)構(gòu);隨機(jī)模型更新;貝葉斯方法;模態(tài)綜合法

中圖分類號(hào)：O324" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.02.018

Stochastic model updating of assembled structures with bolted joints based on the high-precision modal synthesis method

Abstract：The existence of complex microscopic features in the bolted structure leads to inevitable uncertainty in the numerical model.Aiming at the quantification of parameter uncertainty in bolt design，this paper proposes a stochastic model updating method for assembled structures with bolted joints based on a high-precision modal synthesis method.First，considering the influence of higher-order residual modes，a high-precision modal synthesis method suitable for the elastic interface of bolted joints is derived.Then，under the framework of Bayesian inference，using the natural frequency and mode shape probability distribution of the assembled structure，the posterior probability density function of the bolt parameters is established，and the parameter uncertainty is quantified with delayed rejection adaptive metropolis （DRAM） sampling method.The numerical examples indicate that for structures with large differences in natural frequencies among the substructures，compared with the general modal synthesis methods，the method proposed in this paper can ensure good model updating performance in the case of using a small number of substructure modes.

Key words：assembled structure;stochastic model updating;Bayesian inference;component mode synthesis

螺栓是一種常用的裝配連接部件，它的力學(xué)特性對(duì)組合結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力學(xué)行為有明顯的影響。通常，建立準(zhǔn)確的組合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型極具挑戰(zhàn)性，一個(gè)主要原因是連接部位具有大量的不確定性（如接觸面積、接觸剛度和預(yù)緊力等）。為保證復(fù)雜環(huán)境載荷下，組合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和可靠性，考慮螺栓連接組合結(jié)構(gòu)的不確定模型更新成為關(guān)鍵步驟。

貝葉斯方法將不確定性以概率的方式嵌入到動(dòng)力學(xué)模型更新過程中，實(shí)現(xiàn)了對(duì)參數(shù)的不確定性的量化，其由后驗(yàn)概率密度函數(shù)構(gòu)建和不確定性量化兩部分組成［1-2］。在貝葉斯推理框架下，可由FFT （fast Fourier transform）系數(shù)［3］、功率譜［4］以及時(shí)域響應(yīng)［5］的統(tǒng)計(jì)特征和不確定參數(shù)先驗(yàn)信息轉(zhuǎn)化為后驗(yàn)概率密度函數(shù)。不確定性量化一般使用近似逼近［6］和以馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）［1］為主的隨機(jī)抽樣方法實(shí)現(xiàn)。近似逼近是一種高效的方法，適用于測(cè)量數(shù)據(jù)比較充足，此時(shí)不確定參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)逼近于高斯分布，其均值為最大后驗(yàn)值（maximum a posterior，MAP），協(xié)方差為后驗(yàn)概率密度函數(shù)的負(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)在MAP值處的海森矩陣的逆陣。當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)不足時(shí)，需要從后驗(yàn)概率密度中隨機(jī)抽樣，利用抽樣對(duì)參數(shù)估計(jì)和量化不確定性。由于后驗(yàn)概率函數(shù)往往是高維復(fù)雜的，直接抽樣比較困難，很多學(xué)者發(fā)展改進(jìn)了MCMC抽樣方法，如自適應(yīng)的MCMC方法［7］、漸進(jìn)的MCMC方法［2］和混合MCMC方法［8］。

貝葉斯模型更新涉及對(duì)組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)重分析，為了提高計(jì)算效率，需要降低組合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的計(jì)算規(guī)模。模態(tài)綜合法是常用的動(dòng)力學(xué)減縮方法，其主要思想是將整體結(jié)構(gòu)分成幾個(gè)子結(jié)構(gòu)，利用子結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)信息和子結(jié)構(gòu)之間的邊界耦合關(guān)系得到整體組合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，從而達(dá)到減縮自由度的目的［9］。經(jīng)典的模態(tài)綜合法，根據(jù)子結(jié)構(gòu)的界面約束類型的不同，建立在3種典型的位移近似表達(dá)式基礎(chǔ)之上：自由交界面模態(tài)加剩余影響、約束交界面模態(tài)加靜約束模態(tài)，以及自由與約束混合交界面模態(tài)加剩余影響。為了提高模態(tài)綜合法的收斂性以及計(jì)算精度，在3種經(jīng)典的位移表達(dá)式的基礎(chǔ)上，向樹紅、邱吉寶等［10-11］提出了高精度自由交界面、約束界面和混合交界面模態(tài)綜合法。以高精度約束界面模態(tài)綜合法為例，其的核心思想是利用新的位移展開定理，給出采用低階約束界面模態(tài)的高精度位移展開式，并解析推導(dǎo)出采用約束界面模態(tài)的精確動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法，進(jìn)而利用精確的剩余約束模態(tài)構(gòu)造出高精度的約束界面模態(tài)綜合法。而已有的HURTY［12］、CRAIG［13］、RUBIN［14］以及MACNEAL等［15］提出的約束或者自由界面模態(tài)綜合方法，也是精確約束或者自由界面模態(tài)綜合法在低階情形下的近似結(jié)果。KONG［9］和WANG等［16］利用低階剩余柔度構(gòu)造減縮的螺栓組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，并結(jié)合諧波平衡法研究連接結(jié)構(gòu)的非線性特征，數(shù)值結(jié)果表明了該方法的可行性與高效性。MA［17］和ZHAI等［18］采用自由交界面模態(tài)綜合法，減小結(jié)構(gòu)的線性自由度，同時(shí)采用坐標(biāo)減縮的方式減小邊界非線性自由度，也能夠提升結(jié)構(gòu)的分析效率。本研究針對(duì)線性連接結(jié)構(gòu)識(shí)別的反問題，為了減少組合模型的模型誤差，利用約束界面的低階模態(tài)和包含了低階剩余柔度的廣義剩余模態(tài)來描述具有彈性邊界條件的組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，構(gòu)造了組合結(jié)構(gòu)的減縮高保真動(dòng)力學(xué)模型，在不增加組合結(jié)構(gòu)自由度規(guī)模的情形下，提高了減縮模型的計(jì)算精度。

本研究考慮基于高保真減縮模型的貝葉斯模型更新問題，首先，利用子結(jié)構(gòu)的低階主模態(tài)和剩余廣義約束模態(tài)，結(jié)合子結(jié)構(gòu)的彈性連接條件，建立組合結(jié)構(gòu)高保真減縮動(dòng)力學(xué)模型。其次，基于組合結(jié)構(gòu)的測(cè)量特征值和特征向量的統(tǒng)計(jì)特性，以及減縮模型構(gòu)造連接參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，借助DRAM抽樣方法的優(yōu)勢(shì)，從后驗(yàn)概率密度函數(shù)中直接抽樣，利用抽樣樣本量化了連接參數(shù)的不確定性。最后，用兩個(gè)懸臂梁構(gòu)成的螺栓組合結(jié)構(gòu)來驗(yàn)證本研究方法的有效性。

1 高精度模態(tài)綜合法

1.1 子結(jié)構(gòu)模態(tài)集

將螺栓組合結(jié)構(gòu)按照螺栓連接接頭分成Nsub個(gè)子結(jié)構(gòu)，其中第i個(gè)子結(jié)構(gòu)的無阻尼運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

假設(shè)第i個(gè)子結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)目為Nid，其中包含Nir個(gè)內(nèi)部自由度和Nis個(gè)連接邊界自由度。分別用下標(biāo)r和s表示內(nèi)部和連接邊界自由度，則式（1）可以表示為

進(jìn)一步簡(jiǎn)化式（3）為

其中：Giαβ（ω）=－ω2Miαβ+Kiαβ；α=r，s；β=r，s。

將式（4）第一行展開可以得到Xir和Xis的關(guān)系式

Xir=ηsXis（5）

其中：ηs=－（Girrω－1Girsω。

（Giii（ω））－1在ω2處的冪級(jí)數(shù)展開表達(dá)式為

Girr（ω）－1=－ω2Mirr+Kirr－1

=Kirr－1+ω2（Girr（ω））－1MirrKirr－1

（6）

將式（6）代入式（5）中

Xir=－Kirr－1KirsXis+ω2（Girr（ω））－1κiXis（7）

其中：κi=Mirs－MirrKirr－1Kirs。

令約束邊界的自由度位移為0，可以利用子結(jié)構(gòu)特征方程計(jì)算子結(jié)構(gòu)的邊界約束模態(tài)為Φim

其中：Φimr的前NiL列定義為保留低階約束模態(tài)矩陣ΦimrL；剩下的NiH列為高階約束模態(tài)矩陣ΦimrH；Nid=NiL+NiH。

利用約束界面主模態(tài)Φim可以將Girrω－1表示為

（Girr（ω））－1=

Φimr（Λir－ω2

Iir）－1

ΦimrT

=ΦimrLΛirL－ω2IirL－1

ΦimrLT+

ΦimrHΛirH－ω2IirH－1ΦimrHT

（9）

其中：ΛirL=（ΦimrL）TKirrΦimrL；ΛirH=（ΦimrH）TKirrΦimrH。

將式（9）代入式（7）中，則式（5）可改寫為

Xir=ΦicrXis+ΦimrLqirL（10）

其中

Φicr=Φicr0+ω2

ΦicrH，

Φicr0=－Kirr－1Kirs，

ΦicrH=ΦimrHΛirH－ω2IirH－1ΦimrHTκi，

qirL=ω2ΛirL－ω2IirL－1（ΦimrL）TκiXis

進(jìn)一步推導(dǎo)得到子結(jié)構(gòu)的響應(yīng)為

令qi=qirLXisT，定義為子結(jié)構(gòu)的廣義模態(tài)坐標(biāo)，其中包含了低階模態(tài)坐標(biāo)和邊界位移響應(yīng)。式（10）中Φicr為除低階模態(tài)外的精確廣義剩余模態(tài)，其中Φicr0為靜約束模態(tài)，ΦicrH為約束模態(tài)的高階影響，如果忽略掉ΦicrH，則式（11）退化為低階的克雷格-班普頓（CB）方法［13］。而本研究考慮高階模態(tài)ΦicrH，并由低階模態(tài)ΦimrL、子結(jié)構(gòu)剛度Kirr和質(zhì)量Mirr通過下式計(jì)算得到

ΦicrH=ω2［（－ω2Mirr+Kirr）－1－

ΦimrL（ΛirL－ω2IirL）－1（ΦimrL）T］κi

（12）

1.2 子結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)方程

將模態(tài)變換矩陣代入式（1），得到每一個(gè)未耦合的子結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

其中

式（13）對(duì)應(yīng)的頻域形式為

將式（11）代入式（14），則化簡(jiǎn)后的式（15）可以表示為

其中

假設(shè)如圖（1）所示的兩個(gè)子結(jié)構(gòu)彈性連接，則其未耦合的子結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

其中

假設(shè)連接結(jié)構(gòu)為J，連接子結(jié)構(gòu)A和B的邊界自由度。根據(jù)接觸條件，通共節(jié)點(diǎn)的方式減少接觸

子結(jié)構(gòu)A和B與連接結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足相容和平衡條件［19］為

假設(shè)子結(jié)構(gòu)A的低階保留約束模態(tài)數(shù)目為NAL，內(nèi)部非邊界節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)目和邊界節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)目分別為NAr和NAs；子結(jié)構(gòu)B的低階模態(tài)數(shù)目、內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)目和邊界節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)目分別為NBL、NBr和NBs。則子結(jié)構(gòu)的響應(yīng)向量可以簡(jiǎn)化表示為

將式（20） （21）代入式（15），并利用式（22），簡(jiǎn)化耦合結(jié)構(gòu)的無阻尼動(dòng)力學(xué)方程為

其中

引入高階模態(tài)使得組合結(jié)構(gòu)的特征方程是含ω的非線性方程，需要進(jìn)行迭代求解。根據(jù)式（20）構(gòu)造的格式為

根據(jù)式（25）可求解得到組合結(jié)構(gòu)的特征值和特征向量。

2 基于減縮模型的貝葉斯有限元模型更新方法

本節(jié)借助貝葉斯推理框架和減縮動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)組合結(jié)構(gòu)連接參數(shù)的后驗(yàn)概率分布函數(shù)，并結(jié)合DRAM方法量化連接參數(shù)的不確定性。

在確定的模型類下，不確定性參數(shù)的后驗(yàn)概率函數(shù)可以表示為

pθ|D=cp（D|θ）p（θ）（26）

其中：θ為連接結(jié)構(gòu)的不確定性參數(shù)；c為歸一化常數(shù)；p（D|θ）為似然函數(shù)；p（θ）為不確定參數(shù)的先驗(yàn)概率密度函數(shù)。

其中：角標(biāo)r表示第r階特征值或者特征向量；NL表示取的子結(jié)構(gòu)低階模態(tài)數(shù)目。

理論特征值、特征向量和測(cè)量值之間存在以下關(guān)系

其中：ar為比例因子；Eφ為自由度提取矩陣，從數(shù)值計(jì)算的模態(tài)振型中提取對(duì)應(yīng)于測(cè)量自由度的模態(tài)振型；ελr是特征值對(duì)應(yīng)的測(cè)量誤差，被模型化為均值為0，方差為σ2λr的高斯分布；εφr為特征向量對(duì)應(yīng)的測(cè)量誤差，被模型化為均值為0，協(xié)方差矩陣為Σφr的多維高斯分布［20］。

由此推導(dǎo)得到測(cè)量特征值的概率分布為

測(cè)量特征向量的概率分布為

由此計(jì)算得到似然函數(shù)為

代入式（27）推導(dǎo)出后驗(yàn)參數(shù)概率為

從參數(shù)后驗(yàn)概率密度函數(shù)中估計(jì)參數(shù)最優(yōu)估計(jì)值和不確定性量化分為兩種方式，利用近似逼近和MCMC抽樣方法。近似逼近法相對(duì)高效，但是需要測(cè)量數(shù)據(jù)充足才能滿足后驗(yàn)概率密度函數(shù)近似為高斯分布的要求。這里，假定測(cè)量數(shù)據(jù)不是十分充足，不能滿足高斯分布的要求，因此，使用MCMC抽樣方法，通過抽樣數(shù)據(jù)鏈的統(tǒng)計(jì)特征估計(jì)最優(yōu)估計(jì)值和不確定性量化。本研究采用的抽樣算法是DRAM方法［21］ADDINNE.Ref.{26F4D56C-21D3-4B76-BB87-BFC13E52293C}，為了提高采樣效率，DRAM算法同時(shí)結(jié)合了拒絕延遲思想和自適應(yīng)MCMC算法。自適應(yīng)MCMC方法可以提高拒絕延遲的效率，而延遲拒絕也可以在自適應(yīng)過程變緩的時(shí)候提供系統(tǒng)性的補(bǔ)救。

3 數(shù)值算例

考慮一個(gè)兩端固支梁模型，固支梁被分為兩個(gè)部分，子結(jié)構(gòu)A和子結(jié)構(gòu)B，子結(jié)構(gòu)之間通過一個(gè)螺栓連接，螺栓被模型化為一個(gè)豎直彈簧θ1和一個(gè)旋轉(zhuǎn)彈簧θ2。梁的彈性模量為E=2.1×1011Pa，密度ρ=7860kg/m3，泊松比v=0.3，梁為方形截面，邊長(zhǎng)為w=0.02m。

根據(jù)子結(jié)構(gòu)A和B的幾何尺寸不同（圖2～3），分兩小節(jié)進(jìn)行討論。后續(xù)討論用到兩種計(jì)算方法：低階方法和本研究方法。低階方法中的子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合方法是克雷格-班普頓法在彈性交界面的推廣，本研究方法中的子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法是高精度子結(jié)構(gòu)方法在彈性交界面的推廣。兩種方法的模型更新方法都是基于貝葉斯的模型更新方法如第2章所述。

假設(shè)不確定參數(shù)的真值為θ=［θ1，θ2，log（σ2ε）］T=［106，104，－18.6］T，其中l(wèi)og（σ2ε）為測(cè)量誤差。組合結(jié)構(gòu)的有限元模型共有40個(gè)平面梁?jiǎn)卧?0個(gè)自由度，通過組合子結(jié)構(gòu)和螺栓結(jié)構(gòu)的有限元模型得到整體結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量陣，并求解得到組合結(jié)構(gòu)的特征值λrMnr=1和特征向量φrMnr=1，其中Mn表示測(cè)量數(shù)據(jù)的模態(tài)階數(shù)。以該特征值和特征向量作為真值，分別添加方差為

σ2ελr和σ2εφr2的噪聲，得到模擬測(cè)量數(shù)據(jù)樣本。不確定參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為均勻先驗(yàn)分布，認(rèn)為在選定的取值范圍內(nèi)，參數(shù)的概率是等可能的。σ2ε只能取正值，假設(shè)log（σ2ε）的先驗(yàn)分布為均標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

3.1 子結(jié)構(gòu)幾何尺寸相同

當(dāng)子結(jié)構(gòu)尺寸相同時(shí)（圖2），以組合模型的前5階含噪聲的模態(tài)信息作為測(cè)量數(shù)據(jù)，分別使用低階的克雷格-班普頓（CB）方法和本研究方法量化螺栓連接參數(shù)的不確定性。該節(jié)算例中根據(jù)子結(jié)構(gòu)保留階數(shù)的不同分別設(shè)置了4種不同的工況，表1是兩種方法得到不同工況下螺栓參數(shù)的后驗(yàn)概率密抽樣數(shù)據(jù)的概率統(tǒng)計(jì)結(jié)果，不確定性參數(shù)除了螺栓連接剛度以外，該算例中還包含了噪聲強(qiáng)度σ2ε，log（σ2ε）可以被用來定性衡量模型誤差大小。表中對(duì)比了本研究方法和低階方法在各種工況下不確定性參數(shù)θ=［θ1，θ2，log（σ2ε）］T對(duì)應(yīng)的均值μθ和標(biāo)準(zhǔn)差σθ。基于同一種方法，對(duì)比子結(jié)構(gòu)不同保留階數(shù)工況下的計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，隨著子結(jié)構(gòu)保留階數(shù)的增加，參數(shù)的方差明顯減少，log（σ2ε）的均值越接近于真值，說明不確定性模型誤差帶來的影響越來越小，螺栓參數(shù)樣本越集中于均值。對(duì)于均值而言，除了4階工況的均值與準(zhǔn)確值有明顯較大差別外，其他幾階主差別不大，說明保留6階子結(jié)構(gòu)模態(tài)可以耦合得到較為準(zhǔn)確的組合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型?；诓煌椒?，對(duì)比計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，保留6階以上的子結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)據(jù)時(shí)，兩種方法的更新結(jié)果差別不大，但是保留4階子結(jié)構(gòu)時(shí)，本研究方法計(jì)算的均值明顯更加接近于準(zhǔn)確值。

圖4和圖5分別是低階方法和本研究方法的后驗(yàn)樣本直方圖，為了方便對(duì)比不同子結(jié)構(gòu)保留階數(shù)的計(jì)算結(jié)果，對(duì)抽樣樣本進(jìn)行歸一化處理，保證樣條高度的和為1。對(duì)比圖4（a）和圖5（a），在保留子結(jié)構(gòu)階數(shù)較少的情況下，本研究方法比低階方法更能體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)，但是對(duì)于等長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，這種優(yōu)勢(shì)不是特別明顯。對(duì)比圖4（b）和圖5（b），可以看出兩種方法對(duì)參數(shù)θ2的更新結(jié)果沒有大的區(qū)別。

3.2 子結(jié)構(gòu)幾何尺寸不相同

已有文獻(xiàn)［11］表明，如果子結(jié)構(gòu)之間由于尺寸差別或者材料差別引起自振模態(tài)差別較大時(shí)，為了保證組合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模態(tài)數(shù)據(jù)的可靠性，需要保留的子結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)目明顯加多，這樣勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致計(jì)算規(guī)模的增加，影響重分析的計(jì)算效率。本研究提出的高精度模型更新方法，可以在盡可能減少子結(jié)構(gòu)保留階數(shù)的前提下，得到準(zhǔn)確的模型更新結(jié)果，并量化參數(shù)不確定性。

使用如圖3所示的模型結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)梁和短梁的長(zhǎng)度比為5∶1。算例中組合結(jié)構(gòu)的測(cè)量模態(tài)數(shù)目Mn=6，取子結(jié)構(gòu)的前4階模態(tài)參與耦合組合結(jié)構(gòu)模態(tài)信息。

低階方法計(jì)算的θ2樣本的標(biāo)準(zhǔn)距離為20.48，明顯高于其他參數(shù)不到1的水平，說明低階方法并不能很好的更新θ2參數(shù)。本研究方法和低階方法計(jì)算的測(cè)量誤差相差不大，但是與真值

log（σ2ε）=－18.6相比較大，這意味著該模型與實(shí)際的有限元模型有一定的差別。

圖6和圖7分別是低階方法和本研究方法計(jì)算的參數(shù)抽樣樣本對(duì)應(yīng)的自振頻率分布圖，紅點(diǎn)是模擬測(cè)量值。從圖6可以看出，低階方法計(jì)算的自振頻率分布圖并不能包括測(cè)量值，或者說測(cè)量值并不在自振頻率分布的大概率區(qū)間內(nèi)，主要原因還是θ2的估計(jì)值的準(zhǔn)確度較差，并且越高階的自振頻率測(cè)量值離自振頻率樣本分布越遠(yuǎn)。由圖7可以看出，本研究方法計(jì)算的自振頻率分布樣本能夠包含測(cè)量值，并且離樣本分布的均值距離很近，選擇第4階和第6階的自振頻率樣本分布圖可以看出，測(cè)量樣本在其95%的置信區(qū)間內(nèi)。

4 結(jié) 論

本研究將高精度子結(jié)構(gòu)方法推廣到了含有彈性邊界的組合結(jié)構(gòu)中，建立了組合結(jié)構(gòu)的高精度減縮模型，利用貝葉斯分析方法將參數(shù)不確定性考慮到模型更新中，并利用MCMC抽樣方法量化了不確定性。結(jié)果表明當(dāng)子結(jié)構(gòu)之間自振頻率差別較大時(shí)，本研究方法可以利用較少的子結(jié)構(gòu)模態(tài)信息得到更準(zhǔn)確的模型更新結(jié)果。

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