摘 要：旨在研究熱-力-電載荷下彈性支撐功能梯度壓電多孔微圓柱殼的自由振動(dòng)。首先，建立彈性支撐功能梯度壓電多孔微圓柱殼動(dòng)力學(xué)模型；然后，應(yīng)用三階剪切變形殼體理論和修正的偶應(yīng)力理論，推出彈性支撐功能梯度壓電多孔微圓柱殼模態(tài)頻率的解析解；最后，通過數(shù)值算例分析了微圓柱殼模態(tài)頻率的影響因素。結(jié)果表明：Pasternak彈性支撐比Winkler彈性支撐更有利于提高微圓柱殼的模態(tài)頻率；改變彈性支撐的剛度系數(shù)、軸向力、外加電壓、孔隙分布、材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和結(jié)構(gòu)尺寸可調(diào)節(jié)微圓柱殼的模態(tài)頻率；孔隙體積分?jǐn)?shù)越大，溫度或軸向力對(duì)模態(tài)頻率的影響越大，而電壓對(duì)模態(tài)頻率的影響則越??；不同材料指數(shù)下，增大孔隙體積分?jǐn)?shù)對(duì)模態(tài)頻率的影響趨勢(shì)不同；彈性支撐會(huì)減弱溫度、軸向力和電壓對(duì)模態(tài)頻率的影響，對(duì)薄圓柱殼或短圓柱殼模態(tài)頻率的影響較為顯著。

關(guān)鍵詞：功能梯度壓電材料；彈性支撐；孔隙；修正的偶應(yīng)力理論；高階剪切變形理論

中圖分類號(hào)：O342；TB381" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.02.015

Free vibration analysis of a functionally graded piezoelectric porous cylindrical microshell resting on elastic foundation

Abstract：This article studies the free vibration of a functionally graded piezoelectric porous cylindrical microshell resting on elastic foundation under thermo-electro-mechanical loads.First，the dynamic model of the functionally graded piezoelectric porous cylindrical microshell resting on elastic foundation was established.Then the analytical solution of modal frequencies of the functionally graded piezoelectric porous cylindrical microshell resting on elastic foundation was derived using the third-order shear deformation shell theory and the modified couple stress theory.Last the factors affecting model frequency were discussed by numerical case studies.The results show that the Pasternak foundation is preferred to improve the modal frequencies of the shell to the Winkler foundation.The modal frequencies of the cylindrical microshell could be adjusted via changing the stiffness coefficients of the elastic foundation，axial load，applied voltage，porosity distribution，material volume fraction indexes，and structure dimensions.The larger the porosity volume fraction，the greater the influence of temperature and axial load on the modal frequency，and the smaller the influence of applied voltage on the modal frequency.The change trends of modal frequency with increasing porosity volume fraction are obviously different with different material volume fraction indexes.The elastic foundation can weaken the influence of temperature，axial load and applied voltage on the modal frequency，and its influence on the modal frequency of thin or short cylindrical shell is more significant.

Key words：functionally graded piezoelectric material；elastic foundation;porosity；modified couple stress theory；higher-order shear deformation theory

壓電材料因?yàn)槌蚀嘈?，一般與彈性基體結(jié)合組成多層結(jié)構(gòu)。然而，多層結(jié)構(gòu)的分界面會(huì)導(dǎo)致應(yīng)力集中，易產(chǎn)生蠕變、裂紋和脫層等各種失效[1]。功能梯度材料（functionally graded materials，F(xiàn)GMs）因具有承受高溫、去除界面失配等優(yōu)點(diǎn)，能克服以上一系列缺陷[2]。于是研究者將FGMs引入到壓電器件的設(shè)計(jì)中，提出了功能梯度壓電材料（functionally graded piezoelectric materials，F(xiàn)GPMs）。因?yàn)镕GPMs具有高機(jī)電系數(shù)、高柔性度和高屈服強(qiáng)度的優(yōu)點(diǎn)，在壓電振動(dòng)能量俘獲等方面具有很多優(yōu)勢(shì)[3-4]。

圍繞FGPMs結(jié)構(gòu)的振動(dòng)、主動(dòng)控制和屈曲等問題，研究者做了很多工作。如果結(jié)構(gòu)尺寸小至微納米級(jí)時(shí)，其力學(xué)性能與宏觀結(jié)構(gòu)相比具有顯著差異[5]。研究者針對(duì)這一問題提出了描述微觀結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的修正偶應(yīng)力理論[6]?；谛拚呐紤?yīng)力理論，瘙塁IM瘙塁EK等[7]探究了含孔隙FGMs微板在移動(dòng)載荷作用下的受迫振動(dòng)，KHORASANI等[8]運(yùn)用無網(wǎng)格局部Petrov-Galerkin法分析了FGMs板的靜態(tài)彎曲行為，AMIR等[9]討論了Pasternak彈性支撐微米梁的熱致自由振動(dòng)。考慮大撓度行為以及小尺度效應(yīng)，KOMIJANI等[10]建立了FGPMs梁在多場(chǎng)耦合載荷作用下的非線性時(shí)變動(dòng)力學(xué)模型。結(jié)合高階剪切變形殼體和修正的偶應(yīng)力理論，DEHSARAJI等[11]研究了考慮厚度伸展效應(yīng)的FGPMs微/納米圓柱殼在均勻溫度場(chǎng)和電場(chǎng)作用下的自由振動(dòng)響應(yīng)。

因材料制備或者加工制造等原因，F(xiàn)GPMs結(jié)構(gòu)內(nèi)部不可避免地會(huì)出現(xiàn)納米孔洞或孔隙[12]。為了更加準(zhǔn)確地分析結(jié)構(gòu)的振動(dòng)行為，有必要在動(dòng)力學(xué)建模中考慮孔隙對(duì)FGPMs結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。考慮三項(xiàng)慣性力并應(yīng)用Kirchhoff板理論，WANG[13]分析了平移狀態(tài)下含均勻分布孔隙FGPMs板的非線性振動(dòng)響應(yīng)。采用改進(jìn)的四變量剪切變形板理論，BARATI等[14]研究了多種邊界條件下FGPMs多孔板的熱-力-電振動(dòng)特性。應(yīng)用非局部彈性理論和高階剪切變形板理論，ZENKOUR等[15]探究了熱電載荷作用下含孔隙FGPMs納米板的屈曲行為?？紤]均勻和非均勻孔隙分布，SU等[16]用改進(jìn)的變分法分析了彈性支撐FGPMs梁的自由振動(dòng)和瞬態(tài)響應(yīng)。此外，考慮結(jié)構(gòu)與周圍彈性介質(zhì)間的作用，研究者先后提出了模擬彈性介質(zhì)的Winkler彈性支撐和Pasternak彈性支撐模型[17]?；趶椥灾文Ｐ停懤m(xù)有研究者討論了彈性支撐對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響[18-20]。

盡管研究者對(duì)含孔隙FGPMs結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題開展了大量的研究，但是鮮有文獻(xiàn)以修正的偶應(yīng)力理論為基礎(chǔ)，探討彈性支撐FGPMs多孔微圓柱殼的振動(dòng)響應(yīng)。本研究以Pasternak彈性支撐FGPMs多孔微圓柱殼為對(duì)象，基于三階剪切變形理論建立模型的幾何方程以修正的偶應(yīng)力理論反映微納米結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的尺度效應(yīng)，進(jìn)而推導(dǎo)出FGPMs微圓柱殼的多場(chǎng)耦合致振動(dòng)方程，對(duì)FGPMs微圓柱殼的自由振動(dòng)特性進(jìn)行分析。研究結(jié)果可為壓電微納米器件的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供一定的支撐。

1 FGPMs微圓柱殼模型

如圖1所示的Pasternak彈性支撐FGPMs多孔微圓柱殼，殼長(zhǎng)為L(zhǎng)，壁厚為h，中面半徑為R。彈性支撐均勻分布在微圓柱殼的外表面，其中包括彈性剛度系數(shù)為kw的彈簧層和剪切剛度系數(shù)為kp的剪切層。當(dāng)剪切層剛度系數(shù)kp等于0時(shí)，Pasternak彈性支撐轉(zhuǎn)化為Winkler彈性支撐。在圓柱殼的中面上建立坐標(biāo)系，x、θ、z和y軸分別表示殼體的軸向、環(huán)向、徑向和中性層切線方向，u、v和w分別表示中面上任意點(diǎn)沿x、y和z方向的位移。

微圓柱殼由兩種壓電材料按梯度組成，內(nèi)表面為PZT-4，外表面為PZT-5H，材料特性如表1所示。假設(shè)材料屬性沿厚度方向服從冪律分布，同時(shí)考慮均勻分布孔隙和非均勻分布孔隙兩種孔隙分布，則微圓柱殼的有效材料屬性表達(dá)式為[21]

式中：PⅠ和PⅡ分別為FGPMs-Ⅰ型均勻分布孔隙和FGPMs-Ⅱ型非均勻分布孔隙下微圓柱殼的有效材料屬性；Pi和Po分別為殼體內(nèi)外表面的材料屬性；Γ=z/h+1/2；N為PZT-4的體積分?jǐn)?shù)指數(shù)；e0為孔隙體積分?jǐn)?shù)。

假設(shè)微圓柱殼受到熱-力-電載荷的作用。如圖1所示，在微圓柱殼內(nèi)外表面施加熱載荷Tio；沿軸向施加靜態(tài)軸向力Na，Na為正表示軸向受拉，Na為負(fù)表示軸向受壓；在內(nèi)外表面間施加電載荷Φ0，Φ0為正表示電勢(shì)方向與微圓柱殼極化方向相同，Φ0為負(fù)則表示相反。

假定溫度變化僅出現(xiàn)在殼體厚度方向，根據(jù)一維傅里葉熱傳導(dǎo)方程，在殼體厚度方向上的溫度梯度可以表示為[22]

式中，Tio=Ti-To，Ti和To分別為殼內(nèi)外表面溫度。

假設(shè)圓柱殼材料沿厚度方向由內(nèi)向外表面極化，電勢(shì)沿厚度方向呈二次分布，滿足Maxwell電學(xué)方程[23]

式中：φ（x，y，t）是圓柱殼因彈性變形而產(chǎn)生的感生電勢(shì)；ξ（z）=z2-（h/2）2。

2 FGPMs微圓柱殼運(yùn)動(dòng)方程

基于三階剪切變形殼體理論[25]，圓柱殼的位移場(chǎng)可表示為

式中：下標(biāo)中的逗號(hào)表示偏導(dǎo)；u1、u2和u3分別為殼內(nèi)任意點(diǎn)沿x、y和z方向的位移；ψx和ψy分別表示中面法線沿x和y方向的轉(zhuǎn)角；t表示時(shí)間。

假設(shè)圓柱殼處于平面應(yīng)力狀態(tài)，本構(gòu)關(guān)系為

σ=Cε－eE－ΔTβ（6）

D=eTε+sE+ΔTp（7）

式中：ΔT=T（z）-To，假定圓柱殼的外表面溫度To為零熱應(yīng)力狀態(tài)（To=300K）；σ、ε、E、D和p分別表示應(yīng)力、應(yīng)變、電場(chǎng)、電位移和熱釋電向量；C、e、β和s分別表示材料彈性常數(shù)、壓電常數(shù)、熱模量和介電常數(shù)矩陣。

由修正的偶應(yīng)力理論得圓柱殼應(yīng)變能U為

式中：σxx和σyy分別為微圓柱殼x和y方向的正應(yīng)力；τxy為xy面內(nèi)的剪應(yīng)力；τyz和τxz為z方向的剪應(yīng)力；εxx、εyy和γxy、γyz、γxz分別為相應(yīng)方向上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變；Ex、Ey和Ez為電場(chǎng)分量；Dx、Dy和Dz為電位移分量；χij和mij（i，j=x，y，z）分別為對(duì)稱旋轉(zhuǎn)梯度分量和高階應(yīng)力分量，且有

mij=2l2c66eχij（9）

式中：l為描述小尺度效應(yīng)的材料特征長(zhǎng)度；c66e為微圓柱殼的有效彈性常數(shù)，且有c66e=c66。

微圓柱殼的動(dòng)能K為

式中，ρ（z）為微圓柱殼的有效密度。

熱載荷和電載荷做的功WF為

式中：NTx和NTy分別為溫度在x和y方向引起的熱載荷；NEx和NEy分別為外加電壓Φ0在x和y方向引起的電載荷。

靜態(tài)軸向力做的功WA為

忽略彈性支撐的阻尼和慣性力，彈性載荷做的功WS為

因此，微圓柱殼的能量函數(shù)可表示為

Π=K－U+WF+WA+WS（14）

通過Hamilton公式可推出圓柱殼運(yùn)動(dòng)方程

各經(jīng)典和非經(jīng)典的力和力矩，以及廣義慣性常數(shù)的具體表達(dá)式為

3 FGPMs微圓柱殼模態(tài)頻率求解

假設(shè)微圓柱殼的兩端簡(jiǎn)支，那么在任意單一模態(tài)下運(yùn)動(dòng)控制方程（15）～（20）的解可假設(shè)為

ux，y，t=umneiωtcosλmxcosny/R，

vx，y，t=vmneiωtsinλmxsinny/R，

wx，y，t=wmneiωtsinλmxcosny/R，

ψxx，y，t=ψxmneiωtcosλmxcosny/R，

ψyx，y，t=ψymneiωtsinλmxsinny/R，

φx，y，t=φmneiωtsinλmxcosny/R（24）

式中：λm=mπ/L；m和n分別為微圓柱殼的軸向半波數(shù)和環(huán)向波數(shù)；umn、vmn、wmn、ψxmn、ψymn和φmn為振型系數(shù)；ω為角頻率。

將方程（24）代入運(yùn)動(dòng)控制方程，可推出微圓柱殼的模態(tài)頻率方程

（K－TioKT－NaKA－Φ0KV－ω2M）d=0 （25）

式中：K為剛度矩陣；KT、KA和KV分別為溫度梯度Tio、靜態(tài)軸向力Na和外加電壓Φ0對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣；M為質(zhì)量矩陣；d為振型系數(shù)向量。

為便于分析討論，將角頻率、靜態(tài)軸向力和彈性支撐的剛度系數(shù)量綱歸一化，即

式中，E、ρ和υ分別為PZT-4的彈性模量、密度和泊松比。

為驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，首先將模型退化為純BaTiO3壓電圓柱殼。圖2比較了應(yīng)用本研究方法和應(yīng)用文獻(xiàn)方法所得的結(jié)果。與文獻(xiàn)不同的是，本研究模型應(yīng)用了三階剪切變形理論，并通過修正的偶應(yīng)力理論反映了微納米結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的尺度效應(yīng)。分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，本研究模型所得結(jié)果與文獻(xiàn)[26]和[27]結(jié)果誤差在2%左右，且最大誤差小于4%，驗(yàn)證了本研究所采用方法的合理性。進(jìn)一步將現(xiàn)有模型簡(jiǎn)化為納米圓柱殼，表2結(jié)果與文獻(xiàn)對(duì)比表明本文模型所得結(jié)果與文獻(xiàn)[11]和[24]結(jié)果比較吻合。

4 分析與討論

如無特殊說明，本研究微圓柱殼的幾何尺寸分別?。篟=1μm，L/R=1，h/R=0.02；材料特征長(zhǎng)度l=3h；孔隙體積分?jǐn)?shù)e0=0.5，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N=1；外加電壓Φ0=1V，無量綱靜態(tài)軸向力N0=0.5，熱載荷Tio=300K；無量綱剛度系數(shù)（Kw，Kp）=（1000，1）。

4.1 環(huán)向波數(shù)的影響

表3研究了環(huán)向波數(shù)對(duì)微圓柱殼無量綱模態(tài)頻率的影響。可以得出：在低環(huán)向波數(shù)下，F(xiàn)GPMs-Ⅰ型微圓柱殼的模態(tài)頻率大于FGPMs-Ⅱ型微圓柱殼的模態(tài)頻率，而環(huán)向波數(shù)較大時(shí)則相反。表明孔隙的分布形式對(duì)環(huán)向振動(dòng)的影響較大。無論是FGPMs-Ⅰ型還是FGPMs-Ⅱ型，無彈性支撐和Winkler彈性支撐下圓柱殼的基頻均在（m，n）=（1，3）處；而Pasternak彈性支撐下圓柱殼的基頻出現(xiàn)在（m，n）=（1，1）處。究其原因，Winkler彈性支撐只影響微圓柱殼的徑向振動(dòng)，而Pasternak彈性支撐不但影響微圓柱殼的徑向振動(dòng)，還影響環(huán)向振動(dòng)。不同孔隙分布下，Winkler和Pasternak彈性支撐均可提高模態(tài)頻率，且在低環(huán)向波數(shù)下效果明顯。這是因?yàn)閺椥灾蔚淖饔孟喈?dāng)于對(duì)圓柱殼施加了約束，提高了結(jié)構(gòu)剛度。相較于Winkler彈性支撐，Pasternak彈性支撐可較大幅度提高模態(tài)頻率。因此，在不改變結(jié)構(gòu)尺寸時(shí)，選擇Pasternak彈性支撐能調(diào)節(jié)微圓柱殼模態(tài)頻率，以避免結(jié)構(gòu)發(fā)生共振。

4.2 外部載荷的影響

表4～表6分別描述了熱、力、電3種載荷單獨(dú)變化下，結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的變化情況。表4研究了溫度對(duì)圓柱殼無量綱模態(tài)頻率的影響。結(jié)果表明：在無彈性支撐和Winkler彈性支撐下，因?yàn)闇囟冉档土藞A柱殼的剛度，所以增大溫度梯度，圓柱殼的模態(tài)頻率減小。在Pasternak彈性支撐下，溫度對(duì)模態(tài)頻率基本無影響。這是由于Pasternak彈性支撐較大程度的提高了結(jié)構(gòu)剛度，增大溫度梯度不易改變結(jié)構(gòu)剛度。相比無彈性支撐，Winkler彈性支撐下溫度對(duì)模態(tài)頻率影響較小。尤其是Pasternak彈性支撐下，模態(tài)頻率隨溫度基本無變化。因此彈性支撐會(huì)降低溫度對(duì)模態(tài)頻率的影響。在無彈性支撐和Winkler彈性支撐下，孔隙體積分?jǐn)?shù)越大，微圓柱殼對(duì)溫度越敏感。說明低孔隙體積分?jǐn)?shù)可相對(duì)較好的抵抗高溫度梯度。比較發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)GPMs-Ⅰ型孔隙分布對(duì)溫度梯度更敏感。例如，當(dāng)e0=0.2且溫度梯度從0增大到800K時(shí)，孔隙分布為FGPMs-Ⅰ型的模態(tài)頻率分別減小了0.916%和0.854%；孔隙分布為FGPMs-Ⅱ型的微圓柱殼模態(tài)頻率分別減小了0.815%和0.769%。究其原因，兩種孔隙下圓柱殼對(duì)溫度的敏感性不同主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的有效熱釋電常數(shù)上。因此，高溫環(huán)境下工作時(shí)，可考慮FGPMs-Ⅱ型孔隙分布。

表5描述了軸向力對(duì)圓柱殼無量綱模態(tài)頻率的影響情況。當(dāng)圓柱殼軸向受拉時(shí)，模態(tài)頻率隨軸向力的增大而增大；當(dāng)軸向受壓時(shí)，模態(tài)頻率隨軸向力的增大而減小。這是因?yàn)檩S向拉力增大了微圓柱殼的剛度，軸向壓力減小了圓柱殼的剛度。Pasternak彈性支撐下圓柱殼對(duì)軸向力敏感性最弱，Winkler彈性支撐次之，無彈性支撐時(shí)敏感性最強(qiáng)。考慮彈性支撐會(huì)降低軸向力對(duì)模態(tài)頻率的影響。

據(jù)表5可知，孔隙體積分?jǐn)?shù)越大，軸向力對(duì)模態(tài)頻率影響越大。且無論在軸向拉力或軸向壓力下，大軸向載荷時(shí)孔隙體積分?jǐn)?shù)對(duì)模態(tài)頻率的影響較大。因此選擇高孔隙體積分?jǐn)?shù)及大軸向載荷課調(diào)節(jié)模態(tài)頻率。比較發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)GPMs-Ⅰ型孔隙分布比FGPMs-Ⅱ型孔隙分布對(duì)軸向力更敏感。例如，當(dāng)孔隙體積分?jǐn)?shù)e0=0.2時(shí)，當(dāng)無量綱軸向力從-1增加到1，3種彈性支撐下，孔隙分布為FGPMs-Ⅰ型的圓柱殼模態(tài)頻率分別增加了33.952%、31.197%和4.075%；孔隙分布為FGPMs-Ⅱ型的圓柱殼模態(tài)頻率分別增加了29.476%、27.368%和3.610%。這主要是因?yàn)閮煞N孔隙下有效彈性常數(shù)和有效質(zhì)量密度的貢獻(xiàn)比不同而導(dǎo)致敏感性不同。因此，若通過軸向力來調(diào)節(jié)微圓柱殼的模態(tài)頻率，可選FGPMs-Ⅰ型孔隙分布。

表6分析了電壓對(duì)圓柱殼無量綱模態(tài)頻率的影響。在無彈性支撐和Winkler彈性支撐下，施加正電壓時(shí)模態(tài)頻率減小，施加負(fù)電壓時(shí)模態(tài)頻率增大。這是因?yàn)檎妷航档土宋A柱殼的剛度，而負(fù)電壓增大了微圓柱殼的剛度。因此，在這兩種彈性支撐下，可通過改變外加電壓的方向和幅值來調(diào)節(jié)模態(tài)頻率。而在Pasternak彈性支撐下，電壓對(duì)模態(tài)頻率基本無影響。此時(shí)Pasternak彈性支撐起主導(dǎo)作用，通過改變外加電壓來調(diào)節(jié)模態(tài)頻率的效果不明顯。與熱和軸向力情況下相同，考慮彈性支撐可降低電壓對(duì)模態(tài)頻率的影響。在無彈性支撐和Winkler彈性支撐下，減小孔隙體積分?jǐn)?shù)會(huì)增大電壓對(duì)模態(tài)頻率的影響。且在高外加正電壓下，孔隙體積分?jǐn)?shù)對(duì)模態(tài)頻率的影響尤其顯著。因此，可通過選擇低孔隙體積分?jǐn)?shù)及高外加正電壓參數(shù)來調(diào)節(jié)模態(tài)頻率。在無彈性支撐和Winkler彈性支撐下，改變電壓時(shí)FGPMs-Ⅱ型孔隙下模態(tài)頻率的變化較大。例如，當(dāng)e0=0.2時(shí)，當(dāng)電壓從-1增加到1，孔隙分布為FGPMs-Ⅰ型的微圓柱殼模態(tài)頻率分別減少了23.059%和22.073%；孔隙分布為FGPMs-Ⅱ型的微圓柱殼模態(tài)頻率分別減少了23.259%和22.370%。這是由于兩種孔隙對(duì)有效彈性常數(shù)的影響不同而導(dǎo)致的。因此，可選擇FGPMs-Ⅱ型孔隙分布來調(diào)節(jié)模態(tài)頻率。

以上分析表明，兩種孔隙分布下微圓柱殼的模態(tài)頻率隨溫度、軸向力和電壓的變化趨勢(shì)相同，只是數(shù)值上的差異，可根據(jù)實(shí)際情況選擇何種孔隙分布。為簡(jiǎn)化分析，在以下討論中只考慮FGPMs-Ⅰ型孔隙分布。

4.3 不同彈性支撐和材料體積分?jǐn)?shù)的影響

圖3～5分別為在不同彈性支撐和材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)下無量綱模態(tài)頻率隨溫度、軸向力和電壓的變化曲線。

結(jié)果表明，無彈性支撐下，材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)越大，微圓柱殼的模態(tài)頻率越大且隨溫度、軸向力和電壓的變化率越小。這是因?yàn)椴牧象w積分?jǐn)?shù)指數(shù)越大，PZT-4的占比越大，圓柱殼的剛度增大。說明增大PZT-4的占比，圓柱殼可承受高溫度、大軸向載荷以及高電壓。在Pasternak彈性支撐下，圓柱殼的模態(tài)頻率隨軸向力變化明顯。而改變溫度梯度或外加電壓，模態(tài)頻率基本不變。此時(shí)可通過改變材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)來調(diào)節(jié)微圓柱殼的模態(tài)頻率，并可以達(dá)到良好的效果。

4.4 孔隙體積分?jǐn)?shù)的影響

圖6為無量綱模態(tài)頻率隨孔隙體積分?jǐn)?shù)的變化曲線。結(jié)果表明，當(dāng)孔隙體積分?jǐn)?shù)小于0.2時(shí)，模態(tài)頻率變化不大；當(dāng)孔隙體積分?jǐn)?shù)大于0.5時(shí)，增大孔隙體積分?jǐn)?shù)模態(tài)頻率的變化趨勢(shì)明顯不同。無論在無彈性支撐下還是在Pasternak彈性支撐下，當(dāng)材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)較小時(shí)，模態(tài)頻率隨孔隙體積分?jǐn)?shù)的增大而逐漸減?。划?dāng)材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)較大時(shí)，模態(tài)頻率隨孔隙體積分?jǐn)?shù)的增大而增大。究其原因，這可以從孔隙體積分?jǐn)?shù)改變有效彈性模量和有效密度的角度來說明。當(dāng)材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)較小時(shí)，微圓柱殼的剛度較小。此時(shí)增大孔隙體積分?jǐn)?shù)，造成對(duì)有效彈性模量的削減大于有效密度；當(dāng)材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)較大時(shí)，增大孔隙體積分?jǐn)?shù)，顯著降低了微圓柱殼的有效密度。

4.5 殼體厚度的影響

圖7和圖8分別展示了基于經(jīng)典連續(xù)體理論和修正的偶應(yīng)力理論下，微圓柱殼無量綱模態(tài)頻率隨厚度參數(shù)的變化情況。

結(jié)果表明，基于修正的偶應(yīng)力理論的模態(tài)頻率大于基于經(jīng)典連續(xù)體理論的模態(tài)頻率。說明考慮材料特征長(zhǎng)度會(huì)使得微圓柱殼的剛度變大。隨著殼體厚度增加，有無彈性支撐之間的模態(tài)頻率逐漸減小，在0.01≤h/R≤0.02時(shí)，微圓柱殼的模態(tài)頻率差異明顯。說明Pasternak彈性支撐對(duì)薄殼的影響更大。究其原因，薄殼較“軟”，彈性支撐對(duì)其作用效果顯著。對(duì)于不同長(zhǎng)度的微圓柱殼，對(duì)比其在有無彈性支撐下的模態(tài)頻率，在1≤L/R≤5之間，發(fā)現(xiàn)Pasternak彈性支撐提高短圓柱殼的模態(tài)頻率更加顯著。這主要是因?yàn)镻asternak彈性支撐中的剪切層對(duì)短圓柱殼的作用效果更明顯。

5 結(jié) 論

基于修正的偶應(yīng)力理論和三階剪切變形殼體理論推導(dǎo)了彈性支撐功能梯度壓電多孔微圓柱殼的運(yùn)動(dòng)方程，分析了各種參數(shù)對(duì)微圓柱殼模態(tài)頻率的影響。主要結(jié)論如下。

1） Winkler彈性支撐僅影響微圓柱殼的徑向振動(dòng)，而Pasternak彈性支撐影響徑向和環(huán)向振動(dòng)。與Winkler彈性支撐相比，Pasternak彈性支撐可較大幅度提高微圓柱殼的模態(tài)頻率。

2） 改變彈性支撐的剛度系數(shù)、軸向力、外加電壓、孔隙分布類型、孔隙體積分?jǐn)?shù)、材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和結(jié)構(gòu)尺寸等，均可起到調(diào)節(jié)微圓柱殼模態(tài)頻率的作用。溫度、軸向壓力和外加正電壓均降低微圓柱殼的剛度，而軸向拉力和外加負(fù)電壓增大微圓柱殼的剛度。

3） 增大孔隙體積分?jǐn)?shù)，溫度載荷或外加軸向力對(duì)模態(tài)頻率的影響增大，外加電壓對(duì)模態(tài)頻率的影響減小。在不同的材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)下，增大孔隙體積分?jǐn)?shù)模態(tài)頻率的變化趨勢(shì)不同。

4） 彈性支撐會(huì)降低溫度、軸向力和電壓對(duì)模態(tài)頻率的影響，對(duì)于Pasternak彈性支撐而言尤其明顯。Pasternak彈性支撐對(duì)短圓柱殼或薄圓柱殼的模態(tài)頻率影響更加顯著。

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