梁學(xué)勤

摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)中“商中間有0小數(shù)除法”是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，既有整數(shù)除法學(xué)習(xí)中遺留下的“老病根”，又有因?yàn)樾?shù)點(diǎn)介入而引發(fā)的“并發(fā)癥”。教師應(yīng)該俯下身子，針對(duì)真實(shí)學(xué)情進(jìn)行深度調(diào)研，分析其根源，采取進(jìn)行有意義的遷移、扎實(shí)有效的細(xì)化、鞏固意義上的比較的對(duì)策。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；小數(shù)除法；遷移；細(xì)化；比較

小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有兩類問題需要注意，一是由于舊知鞏固不扎實(shí)出現(xiàn)的老問題，稱之為“老病根”；二是經(jīng)驗(yàn)遷移不得力出現(xiàn)的新問題，這些可統(tǒng)稱為“并發(fā)癥”。兩類問題互有聯(lián)系，并且在學(xué)生的練習(xí)中反復(fù)出現(xiàn)?！袄喜「备涣?，“并發(fā)癥”就會(huì)連續(xù)出現(xiàn)。深刻調(diào)查學(xué)生出錯(cuò)的原因并對(duì)癥下藥很有必要，教師要準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)情，預(yù)判可能出現(xiàn)的思維障礙，抓住學(xué)困點(diǎn)，辨清出錯(cuò)類型，并探究出針對(duì)性強(qiáng)的方法、策略和路徑，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力[1]。

一、問題和困惑

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的小數(shù)除法中涉及到商中間有0的問題。與商末尾有0的問題相比，學(xué)生更容易在商中間有0的計(jì)算中出錯(cuò)，有的弄不清算理，有的糊涂于算法，有的是整數(shù)除法中遺留下來的問題。還有的學(xué)生因?yàn)槎嗔藗€(gè)小數(shù)點(diǎn)，碰到“商中間有0小數(shù)除法”就頭疼，過往的經(jīng)驗(yàn)無法有效遷移，數(shù)位上稍不注意就會(huì)出錯(cuò)，就會(huì)引發(fā)新問題。

二、調(diào)查與分析

沒有調(diào)查，就沒有發(fā)言權(quán)。整體解決“老病根”與“并發(fā)癥”，必須建立在學(xué)生真實(shí)學(xué)情的前測(cè)上，以便后續(xù)對(duì)策有依據(jù)，有針對(duì)性。我們選擇四年一班與四年二班共90名學(xué)生進(jìn)行前測(cè)。商中間有0整數(shù)除法的正確率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于商中間有0的小數(shù)除法（見表1）。

那么，出現(xiàn)如此明顯差異的現(xiàn)象根源是什么呢？是學(xué)生粗心大意，還是算理與算法的遷移不夠呢？為此我們進(jìn)一步深入到一些細(xì)節(jié)之中進(jìn)行調(diào)研，抽取了部分學(xué)生的豎式計(jì)算草稿，發(fā)現(xiàn)商中間漏0的學(xué)生比比皆是。

探究學(xué)生如此豎式計(jì)算背后的原因很有必要。于是，我們從問卷測(cè)試過渡到深入訪談，從更細(xì)微的層面梳理學(xué)生出錯(cuò)的原因。訪談分三步走（見表2）。

訪談中得知，優(yōu)等生的想法中最重要的一個(gè)概念是“除法平均分”。他們做過太多“把算式按商的位數(shù)分一分”的試題。這樣的試題實(shí)際上就是強(qiáng)調(diào)商是幾位數(shù)的問題，即商是幾位數(shù)是有規(guī)律可循的，不能因?yàn)樾?shù)點(diǎn)的介入而少一位或者多一位。相比較而言，學(xué)困生的想法是錯(cuò)誤的。顯然，“夠了才能分”不是除法（包括整數(shù)除法與小數(shù)除法）的本質(zhì)屬性。事實(shí)上，除法的本質(zhì)是平均分，每次把余數(shù)的計(jì)數(shù)單位變小合并到下一個(gè)數(shù)位繼續(xù)分，“商中為什么會(huì)有0”是與平均分有關(guān)系的。對(duì)于那些本身對(duì)除法核心概念理解不透徹的學(xué)困生而言，“老病根”自然會(huì)延續(xù)到“并發(fā)癥”中。“夠了才能分”這種觀念導(dǎo)致的就是“被除數(shù)一定要大于除數(shù)”。這樣的慣性思維“害人不淺”———學(xué)生碰到“被除數(shù)比除數(shù)小”時(shí)就覺得茫然無措，很容易做出錯(cuò)誤的判斷或計(jì)算。

我們還訪談了那些喜歡估算的學(xué)生。商中間有0的整數(shù)除法與小數(shù)除法，之所以前者正確率高，是因?yàn)檎麛?shù)除法中學(xué)生將估算運(yùn)用得特別熟稔，但在小數(shù)除法中，估算不頂用了，稍不小心就會(huì)出錯(cuò)。比如面對(duì)2568÷24，估算能力較強(qiáng)的學(xué)生一眼可以看出最高位在百位，如果學(xué)生忘記了中間補(bǔ)0，那么17這樣的結(jié)果與估算相差太大，學(xué)生肯定會(huì)回頭檢查，最終通過補(bǔ)0形成正確答案。但是面對(duì)16.2÷15這道題，理所應(yīng)當(dāng)添加0也罷，粗心大意漏掉0也罷，不影響估算的結(jié)果，由此出現(xiàn)大面積的錯(cuò)題成為常態(tài)?？梢姡?shù)點(diǎn)的出現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的慣性思維形成沖擊，增加了運(yùn)算的復(fù)雜性，引發(fā)了新問題，“老病根”與“并發(fā)癥”同時(shí)存在。

在分析學(xué)情的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步分析教材。教材的編排蘊(yùn)涵著極強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性和邏輯性，它由一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)按照一定的知識(shí)序列排列組成[2]。但是教材畢竟是靜態(tài)的，而且因?yàn)槠拗?，諸多邏輯空白并未呈現(xiàn)出來，而這需要教師去發(fā)掘并填補(bǔ)。如果教師疏于這方面的探究，也有可能會(huì)給學(xué)生造成誤解及負(fù)面影響。

比如，下圖中的內(nèi)容就需要教師左右勾連，進(jìn)行細(xì)微意義上的甄別及引領(lǐng)。很多學(xué)生看到12.6÷12的豎式后，誤以為第二步中的60是一次性移下來的，這也是“不夠就移”思維定勢(shì)的體現(xiàn)。如果教師不用心強(qiáng)調(diào)，不通過更多的練習(xí)進(jìn)行舉一反三或者舉三反一，那么學(xué)生就會(huì)把這種誤解遷移到其他試題的計(jì)算之中，由此錯(cuò)題的出現(xiàn)也就不足為怪了。

三、策略與思考

既然造成錯(cuò)誤的根源是多方面的，那么，重新審視學(xué)生與教材以及重構(gòu)教學(xué)的新框架就是大有必要的；既然“老病根”是因?yàn)檎麛?shù)除法學(xué)得不扎實(shí)所導(dǎo)致，那么以跨單元與整體教學(xué)的姿態(tài)回到過去重溫舊知，進(jìn)行有意義的遷移、細(xì)化與比較，剔除學(xué)生思維中僵化與定勢(shì)因子，就更是必要的。

（―）遷移：算理、算法一脈相承

所謂“遷移”，即在新舊知識(shí)聯(lián)接點(diǎn)對(duì)學(xué)生加以點(diǎn)撥，即培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力[3]。學(xué)生遷移力的提升不是一蹴而就的，需要由此及彼的追問、換位思考的逆問，需要前后貫通、勾連，進(jìn)行更深處的沿徑探源。真正高質(zhì)量的遷移必須是“有根”的，即把已有的方法、經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到未知的學(xué)習(xí)中，正所謂：“由根生干，由干生枝。”

就除法的本質(zhì)屬性而言，所謂的平均分，就是豎式中分到哪一位，商就寫在哪一位上面，哪一位不夠商1，就在那位上商0。這一點(diǎn)，無論是整數(shù)除法還是小數(shù)除法，都是不變的，這樣的算理、算法是一脈相承的。所以，如果學(xué)生對(duì)此理解不透徹，教師就應(yīng)該通過復(fù)習(xí)舊知，通過一些試題的訓(xùn)練再次強(qiáng)化除法的意義。

教師出示兩道整數(shù)除法算式：①912÷3，②1260÷2，組織學(xué)生自主完成計(jì)算，并說說商中間的0是怎么來的。優(yōu)等生可能會(huì)很快回答出來，但學(xué)困生則知其然而不知所以然。因此，教師直接出示以下豎式圖幫助學(xué)生理解之所以寫0的原因。

上圖既有較為細(xì)致的過程，又有簡(jiǎn)化后的過程，簡(jiǎn)潔明了。通過對(duì)比，學(xué)生厘清了其算理與算法，明白了商中間0的來歷。這為學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法起到承上作用。接下來，出示算式12.6÷12，從整數(shù)除法過渡到小數(shù)除法，形成承上啟下———學(xué)生自然而然地遷移運(yùn)用整除除法的方法去解決小數(shù)除法問題。這里遷移發(fā)揮的是正遷移作用，而非負(fù)遷移，因?yàn)閷W(xué)生做到了兩者之間算理、算法上的一脈相承。

但僅僅這樣是不夠的。完成12.6÷12一題后，教師進(jìn)一步追問：“假如把小數(shù)點(diǎn)繼續(xù)往左移一位，結(jié)果會(huì)如何呢？”請(qǐng)仔細(xì)觀察下圖中的三個(gè)豎式。

通過更為細(xì)微的對(duì)比，大部分學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了三個(gè)算式的相同之處，那就是不論什么“位”上的0，哪怕計(jì)數(shù)單位不同，但其產(chǎn)生的過程和方法是永遠(yuǎn)不變的———凡是某個(gè)數(shù)位上的數(shù)不夠商時(shí)就補(bǔ)0。這是除法的本質(zhì)意義，是解決任何題型都繞不開的。這樣的舉一反三，促使學(xué)生完成了有意義的遷移，其效果事半功倍。

（二）細(xì)化：改變“不夠就移”的做法

1.細(xì)化板書，消除負(fù)面影響

上文中那個(gè)學(xué)生誤以為第二步中的60是一次性移下來的。教材豎式過于簡(jiǎn)單，對(duì)于學(xué)困生而言，會(huì)造成理解障礙。為此，我們“由粗到細(xì)”，進(jìn)一步細(xì)化板書，將原來簡(jiǎn)單的一個(gè)豎式變?yōu)槟軌虺浞诛@示其細(xì)微過程的三個(gè)豎式?？梢岳么笃聊粍?dòng)態(tài)演示其細(xì)微的過程。

教師引領(lǐng)學(xué)生用醒目的顏色劃出其中關(guān)鍵的步驟及重點(diǎn)，尤其表示出哪個(gè)數(shù)移下來了，厘清哪個(gè)地方是商0還是移0。當(dāng)學(xué)生理解到這兩點(diǎn)后，對(duì)所謂的“先商0而后移0”的理解就顯得水到渠成。

2.細(xì)化過程，破除思維定勢(shì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維定勢(shì)既有好處，又有壞處。尤其是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)核心概念理解不透的情況下，其負(fù)面作用更大?！安粔蚓鸵啤边@樣的思維定勢(shì)就是這樣，就是造成學(xué)生漏0現(xiàn)象的原因。因此，想方設(shè)法破除定勢(shì)，幫助學(xué)生形成理性與科學(xué)思維，應(yīng)該成為解決小數(shù)除法中“老病根”與“并發(fā)癥”的一個(gè)重點(diǎn)。我們的做法是細(xì)化教學(xué)環(huán)節(jié)，引領(lǐng)學(xué)生針對(duì)最后一個(gè)豎式對(duì)如下三個(gè)問題進(jìn)行充分討論，最終達(dá)成共識(shí)。

一是“商中0來自何方又去向何處”的討論。教師鼓勵(lì)學(xué)生自由表達(dá)，在此基礎(chǔ)上，剔除不成熟的說法。以下是兩種比較理想的說法：

生1：我認(rèn)為商中0是這樣來的：6移下來是為了細(xì)分，分成6個(gè)0.1，而這是不夠分成12份的。既然不夠分，那么其分的結(jié)果就應(yīng)該為0。

生2：關(guān)于0將去向何處，我是這么理解的：既然6個(gè)0.1平均分成12份最后的結(jié)果是0個(gè)0.1，按照0乘以任何數(shù)都是0的法則，我們只能理解為沒分走，所以這里的0可以省略。

二是“豎式中的60可以一起移下來嗎”的討論。針對(duì)“可以移下來”與“不能移下來”，教師組織兩方學(xué)生進(jìn)行辯論。一種意見認(rèn)為既然結(jié)果是不變的，那么完全可以移下來；另一種意見認(rèn)為不能一起移下來，應(yīng)該先移6，接著移0。其理由是十分位與百分位不同，直接移動(dòng)的結(jié)果會(huì)造成中間的0沒有補(bǔ)上，少了平均分0.6的這一步。畢竟，商中的0意味著十分位而非百分位。一位一位向下平均分，看似啰嗦，但必須遵守，這正是數(shù)學(xué)學(xué)科必須講究嚴(yán)謹(jǐn)精神的象征。

三是“如果商中這個(gè)0不補(bǔ)會(huì)造成何種影響”的討論。通過討論，學(xué)生理解到僅僅漏了一個(gè)0，5個(gè)0.01就變成5個(gè)0.1，1.05與1.5可是完全不一樣的結(jié)果?？梢?，0所引起的數(shù)位之差，不可小覷。

如此，通過上述三個(gè)問題的討論，學(xué)生對(duì)“不夠就移”有了更深刻的認(rèn)識(shí)：不是隨意就移，而是在補(bǔ)0的基礎(chǔ)上才移；學(xué)生也理解到，有些豎式省略了分0.6的過程，但頭腦中不能省略，做題時(shí)不能怕麻煩，盡量寫清每一步，關(guān)注到每步先后順利，這樣就能夠避免錯(cuò)誤，有效杜絕作業(yè)中的失誤現(xiàn)象。

（三）比較：明晰“加與不加”的區(qū)別

比較中尋方法，比較中找規(guī)律。以比較為手段的思維方式，既是打破思維定勢(shì)的需要，又是解決“老病根”與“并發(fā)癥”的需要。商中間有0的小數(shù)除法教學(xué)中，教師有意識(shí)地把漏掉0或者不應(yīng)有0卻補(bǔ)上了0的錯(cuò)題呈現(xiàn)出來，同時(shí)呈現(xiàn)正確豎式，兩兩比較，引領(lǐng)學(xué)生明晰“加與不加”的區(qū)別，必能更好地幫助學(xué)生厘清相關(guān)概念，加深正確解題步驟的印象，提高學(xué)生的整體解題能力。

分析中，教師發(fā)問：“這個(gè)豎式的商中間為什么不能補(bǔ)0？”引領(lǐng)學(xué)生看一看商中的數(shù)位與下面的數(shù)位是不是有錯(cuò)位，是否有對(duì)應(yīng)分的過程，學(xué)生自然而然明白問題出在哪里。教師應(yīng)該多多出示這樣的比較題型，通過細(xì)微的捕捉，“比”出問題的根源所在，“比”出正確的步驟，順利地解決“老病根”與“并發(fā)癥”。

通過上述三環(huán)節(jié)，學(xué)生在“商中間有0小數(shù)除法”的練習(xí)中提高了正確率。實(shí)踐證明，商中間有0小數(shù)除法的學(xué)習(xí)中，必須找準(zhǔn)問題，分析根源，緊扣學(xué)情，采取針對(duì)性較強(qiáng)的對(duì)策，如整體把握，結(jié)構(gòu)性遷移，真正厘清其中的內(nèi)在機(jī)理，既防止“老病根”復(fù)發(fā)，又把“并發(fā)癥”解決在萌芽狀態(tài)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 薛正檜.在經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)：以“0除以一個(gè)數(shù)”教學(xué)片段為例[J]. 課程教材教學(xué)研究（小教研究），2022（Z1）.

[2] 王龍彪.“老病根”還是“并發(fā)癥”：商中間有0小數(shù)除法問題調(diào)查及對(duì)策[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2023 （Z2）.

[3] 黃姍姍，陳靜.合理遷移讓計(jì)算學(xué)習(xí)自主發(fā)生：“商中間或末尾有0的除法”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].中小學(xué)教學(xué)研究，2021（1）.

編輯/趙卓然