孫霞

折疊問題是近幾年來中考出現(xiàn)頻率較高的一類題型， 折疊問題的實質(zhì)是圖形的軸對稱變換，即折疊前后的圖形是全等形，解決這類問題的關(guān)鍵要充分挖掘軸對稱的性質(zhì)并利用題目中的隱含信息，下面就矩形中求線段長的折疊問題舉例說明。

一、將矩形的一邊沿對角線折疊

例1 矩形ABCD沿對角線BD折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F，若AD=8，AB=4，求DF的長.

分析：根據(jù)折疊可知：∠DBC=DBE，可得△BFD是等腰三角形，設(shè)DF=BF=x，則AF=8-x。在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理列出方程，即可求出x的長。

解題技巧：由折疊前后的對應(yīng)角相等，不難證明△BFD是等腰三角形，從而將題中的相關(guān)線段集中到Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程即可求解。

二、將矩形的一角折疊使頂點(diǎn)至邊

例2 如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，沿著BE折疊使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)F處，若tan∠ABE=[13]，AD=3，求DF的長.

分析：由折疊可知：∠ABE=∠FBE，∴tan∠ABE=tan∠FBE=[13]，由條件可證∴△DEF∽△CFB，則[EFFBDFCB13]，即可求出DF的長。

解題技巧：由折疊的性質(zhì)對線段和角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，將銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比，通過對應(yīng)邊成比例，建立比例式求解。

三、將矩形的一角折疊使頂點(diǎn)至對角線

例3 在矩形ABCD中，AB=2，E是AD上一點(diǎn)，AE=1.將△ABE沿BE折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為F.若點(diǎn)F落在對角線BD上，求邊AD的長.

分析：設(shè)DF=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠ABE=∠FBE，∠BAE=∠BFE=90°，易證△ABD∽△FED，則[DFADEFAB12]，∴AD=2x，∴DE=2x-1，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理得列出方程（2x-1）2-x2=1，即可求出x的長。

解題技巧：矩形的一角折疊使頂點(diǎn)至對角線，可知矩形的一邊落在對角線上，由折疊的性質(zhì)對線段和角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為相似三角形和勾股定理列出方程求解。

變式：如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)B落在B′處，連接B′C，當(dāng)△CEB′為直角三角形時，求B′C的長.

解題技巧：當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：

1.當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時，如變1圖。由折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，當(dāng)∠EB′C=90°時，點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)B′處，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中用勾股定理列出方程可求解。

2.當(dāng)∠B′EC=90°時，點(diǎn)B′落在AD邊上，如變2圖。由折疊的性質(zhì)可知此時ABEB′為正方形，在Rt△B'CE中用勾股定理可求解。

四、將矩形的一角折疊使頂點(diǎn)至邊的中垂線

例4 如圖，E為矩形ABCD邊AD上的點(diǎn)，A點(diǎn)沿著BE折疊，使得點(diǎn)A落在矩形ABCD邊的中垂線上，AD=8，AB=6，求AE的長。

分析：由點(diǎn)A落在矩形ABCD邊的中垂線上，可分為由A落在AD的中垂線上和由A落在AB的中垂線上兩種情況。

1.如圖4-1，A落在AD的中垂線上，根據(jù)折疊的性質(zhì)，在Rt△BFN中，根據(jù)勾股定理求得NF=[25]，由∠A=∠BFE=90°，∠FBN+∠BFN=90°，∠BFN+∠EFM=90°，則∠EFM=∠FBN，易得△BFN∽△NEM，得出比例式[BNA'BA'MA'E]，即[46625A'E]，即可求出AE的長。

2. A落在AB的中垂線上，過點(diǎn)A′作BC的垂線A′F，交BC邊于點(diǎn)F，則A′F=3，在Rt△BA′F中，由[A'FA'B12]，∠A′BF=30°，由折疊的性質(zhì)，∠ABE=∠FBE=30°，通過30°的正切即可求出AE的長。

解題技巧：將矩形的一角折疊使頂點(diǎn)至邊的中垂線，由折疊的性質(zhì)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，不難發(fā)現(xiàn)“一線三垂直”相似模型或特殊角，通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例或特殊角的三角函數(shù)求解。

五、將矩形的一角折疊使頂點(diǎn)至對角頂點(diǎn)處

例5? ?如圖，在矩形ABCD中，AB=24，AD=10，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕與AB交于點(diǎn)M，與CD交于點(diǎn)N，求線段MN的長。

分析：方法1：在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC=26，由折疊的性質(zhì)可得，MN垂直平分AC，易證△CON≌△AOM，可知MO=NO，由條件可證△ABC∽△AOM，得比例式[OMBCAOAB]，即[OM101324]，即可解得OM的長。

方法2：由折疊的性質(zhì)易證CN=CM，且MN垂直平分AC，可得CM=AM，設(shè)CM=AM=x，在Rt△BMC中，根據(jù)勾股定理得列出方程（24-x）2+102=x2，求得CN，在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC=26，CO=13，由[12]CN×AD=[12]MN×CO=S△CMN即可求解。

解題技巧：將矩形的一角折疊使頂點(diǎn)至對角頂點(diǎn)處，由折疊的性質(zhì)可知折痕是矩形的對角線的垂直平分線，通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例或等面積法求解。

通過以上典型例題不難看出，解決與矩形有關(guān)的折疊問題關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)：一是要把握折疊的本質(zhì)，即折疊實際上就是軸對稱變換，折疊前后的圖形是全等形，折痕為對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；二是要綜合運(yùn)用全等三角形、相似三角形、直角三角形以及方程等相關(guān)知識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，進(jìn)行線段或角的轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確快速地解答折疊的問題.

本論文為高青縣教育科學(xué)規(guī)劃課題的科研成果，課題批準(zhǔn)號：2021GQKTO5，課題名稱：基于初中數(shù)學(xué)折紙活動教學(xué)的設(shè)計與實踐研究