謝逢潔　姚欣　王思一

摘要： 為研究高階結(jié)構(gòu)對(duì)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上合作行為演化的影響，構(gòu)建基于囚徒困境博弈的網(wǎng)絡(luò)博弈模型。在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上引入二階高階結(jié)構(gòu)，定義含成對(duì)博弈的三角形面博弈，用高階結(jié)構(gòu)參數(shù)聯(lián)系成對(duì)博弈收益與面博弈收益，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)分析高階結(jié)構(gòu)對(duì)合作行為演化的影響。結(jié)果表明，當(dāng)高連接度個(gè)體優(yōu)先合作并獲得高收益時(shí)，會(huì)促使其他連接度個(gè)體也選擇合作，博弈個(gè)體間一旦形成穩(wěn)定的“全合作”三角形策略結(jié)構(gòu)，就能顯著提高每個(gè)合作者收益，進(jìn)而促進(jìn)合作行為的產(chǎn)生。

關(guān)鍵詞： 二階高階結(jié)構(gòu)；無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)；合作行為；演化博弈

中圖分類(lèi)號(hào)： O157.5;N94文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

The Effect of Higher-order Structure on the Evolution of Cooperative Behavior on Scale-free Networks

XIE Fengjie， YAO Xin， WANG Siyi

（School of Modern Posts， Xian University of Posts and Telecommunications， Xian 710061， China）

Abstract：In order to study the influence of higher-order structures on the evolution of cooperative behavior on scale-free networks， a network game model based on the Prisoner′s Dilemma game is constructed. A second-order higher-order structure is introduced on the scale-free network， a triangular face game containing pairwise games is defined， and the higher-order structure parameters are used to link the pairwise game payoffs with the face game payoffs， and the influence of the higher-order structure on the evolution of cooperative behavior is analyzed through simulation experiments. The results show that when individuals with high connectivity prioritize cooperation and obtain high payoffs， other individuals with high connectivity will be prompted to choose cooperation， and once a stable "all-cooperative" triangular strategy structure is formed among individuals， the payoffs of each cooperator can be significantly increased， which in turn promotes the emergence of cooperative behaviors.

Keywords： second-order higher-order structure; scale-free networks; cooperative behavior; evolutionary game

0 引言

理解自利個(gè)體如何在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中形成廣泛的合作是演化博弈論研究的一個(gè)核心問(wèn)題。學(xué)者們主要從不同的理論視角出發(fā)解釋合作行為的產(chǎn)生，包括親緣選擇、直接互惠、間接互惠、團(tuán)隊(duì)選擇和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)［1］。在不同的理論視角中，囚徒困境博弈是最常見(jiàn)的描述個(gè)體間博弈行為的模型［2］，被學(xué)者們廣泛采用，產(chǎn)生了豐碩的研究成果。

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)群體合作行為影響的研究始于1992年發(fā)表于《Nature》的論文“Evolutionary games and spatial chaos”。在這篇論文中，Nowak和May［3］研究了囚徒困境博弈在方格網(wǎng)上的演化，發(fā)現(xiàn)合作者在方格網(wǎng)上可以通過(guò)結(jié)成緊湊的聚集，抵御背叛策略的入侵，從而維持穩(wěn)定的合作。隨后，許多學(xué)者進(jìn)一步研究了各種規(guī)則格子對(duì)合作行為產(chǎn)生的影響，發(fā)現(xiàn)規(guī)則格子對(duì)合作行為的作用效果與格子的排列細(xì)節(jié)［45］，個(gè)體行為的多樣性［68］，差異化的博弈配對(duì)［9］，以及博弈群體的人口密度有著緊密關(guān)系［10］。在規(guī)則格子中，一個(gè)個(gè)體以某種規(guī)則的排列與其他個(gè)體進(jìn)行交互作用，且每個(gè)博弈個(gè)體有著相同數(shù)量的連接關(guān)系。然而，在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，個(gè)體之間的交互作用數(shù)量很顯然不是完全相同的，規(guī)則格子無(wú)法很好地刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)社會(huì)中個(gè)體之間差異化的交互作用。

隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的興起，描述個(gè)體差異化連接關(guān)系的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)［11］受到研究者們的廣泛關(guān)注。相應(yīng)地，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)合作行為的影響成為研究熱點(diǎn)［1217］。研究發(fā)現(xiàn)，相比規(guī)則格子上的同質(zhì)性交互作用，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的異質(zhì)性交互作用使得群體的合作水平大幅度提高。此后，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的集聚性［13，1819］、社區(qū)結(jié)構(gòu)［2021］、匹配性［2223］等對(duì)合作行為的影響探索也取得了極為豐碩的研究成果。在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)合作行為的影響研究中，雖然學(xué)者們采取的網(wǎng)絡(luò)形式多種多樣，但都有一個(gè)共同的前提假設(shè)，即個(gè)體的博弈行為基于個(gè)體之間的成對(duì)連接關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)個(gè)體在網(wǎng)絡(luò)中有n個(gè)連接關(guān)系（即n個(gè)鄰居），則與每個(gè)鄰居進(jìn)行博弈，其收益是與每個(gè)鄰居進(jìn)行博弈所得收益的加和。個(gè)體之間的成對(duì)連接關(guān)系是構(gòu)成各種網(wǎng)絡(luò)形式的基礎(chǔ)，但多變的網(wǎng)絡(luò)形式卻不是簡(jiǎn)單的成對(duì)連接關(guān)系所能描述的，而是涉及到更復(fù)雜的局部結(jié)構(gòu)［2425］。在現(xiàn)實(shí)情況中，個(gè)體不僅與每個(gè)鄰居進(jìn)行博弈，鄰居間的交互關(guān)系也會(huì)對(duì)博弈結(jié)果產(chǎn)生影響。一個(gè)博弈個(gè)體面對(duì)n個(gè)相互獨(dú)立的鄰居和面對(duì)n個(gè)具有一定關(guān)系的鄰居，其博弈收益和策略選擇是不同的。

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)行為的最新研究中，Iacopini等［26］通過(guò)一個(gè)高階傳染病模型來(lái)描述不同規(guī)模的群體間的互動(dòng)，發(fā)現(xiàn)流行病的傳播閾值和流行程度與只考慮個(gè)體成對(duì)關(guān)系時(shí)不同。Wang等［27］發(fā)現(xiàn)在社會(huì)交流過(guò)程中不僅涉及單個(gè)節(jié)點(diǎn)的互動(dòng)，還涉及它們所屬派系之間的互動(dòng)；基于此，他們使用高階結(jié)構(gòu)（單純復(fù)形）來(lái)描述這種現(xiàn)象，然后采用離散微觀馬爾可夫鏈的方法對(duì)基于單純形的社會(huì)交流過(guò)程進(jìn)行建模，從而得到了信息爆發(fā)的潛在臨界條件。在研究由發(fā)送者和接收者構(gòu)成的信號(hào)傳遞的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程中，Kumar［28］發(fā)現(xiàn)當(dāng)用高階結(jié)構(gòu)刻畫(huà)信息接收者之間的群體互動(dòng)時(shí)，即使謊言對(duì)接收者有利，對(duì)發(fā)送者不利，誠(chéng)實(shí)策略也依然可以維持，這與僅考慮成對(duì)交互作用時(shí)的場(chǎng)景是不相同的。這說(shuō)明高階結(jié)構(gòu)不僅能夠刻畫(huà)包括成對(duì)關(guān)系在內(nèi)的更為復(fù)雜的局部結(jié)構(gòu)關(guān)系［2933］，還對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生了顯著的影響。

基于以上思考，本文借鑒高階結(jié)構(gòu)的理論與方法，以群體合作行為演化為研究對(duì)象，將二階高階結(jié)構(gòu)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，構(gòu)建一種同時(shí)考慮成對(duì)交互作用和三角形面交互的演化博弈模型，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)探究二階高階結(jié)構(gòu)對(duì)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上合作行為產(chǎn)生的影響，研究結(jié)果彌補(bǔ)了群體之間僅考慮成對(duì)博弈關(guān)系時(shí)的不足，同時(shí)也揭示了現(xiàn)實(shí)社會(huì)中自利個(gè)體形成廣泛合作的一個(gè)新的關(guān)鍵因素。

1 模型構(gòu)建

1.1 高階結(jié)構(gòu)的定義

高階結(jié)構(gòu)的定義基于單純形模型和單純形復(fù)合體［26］。單純形模型將網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體間的關(guān)系刻畫(huà)為一個(gè)單純形。一個(gè)k維單純形σ是k+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的集合，σ=p0，…，pk。以3個(gè)節(jié)點(diǎn)為例，其所構(gòu)成的三角形就是一個(gè)2維單純形，或稱(chēng)為“完全”三角形p0，p1，p2，由邊p0，p1，p0，p2和p1，p2組成。根據(jù)單純形的基本定義，0維單純形如同網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，1維單純形如同網(wǎng)絡(luò)中的邊，2維單純形對(duì)應(yīng)三角形面，3維單純形是四面體，如圖1a所示。不同維度的單純形構(gòu)成單純形復(fù)合體，如圖1b所示。在單純形復(fù)合體K中，如果σ∈K，那么σ的子集同樣是單純復(fù)合體K的子集。這意味著n維單純形復(fù)合體包含著更低維度的單純形結(jié)構(gòu)。比如，3維單純形復(fù)合體不僅包含3維單純形，還包含2維和1維單純形。

網(wǎng)絡(luò)的高階結(jié)構(gòu)與單純形復(fù)合體相對(duì)應(yīng)，n階高階結(jié)構(gòu)與n維單純形復(fù)合體相對(duì)應(yīng)。二階高階結(jié)構(gòu)則指網(wǎng)絡(luò)中2維單純形（三角形面）和1維單純形（邊）的總和。三階高階結(jié)構(gòu)指網(wǎng)絡(luò)中3維單純形（四面體）、2維單純形（三角形面）和1維單純形（邊）的總和。

1.2 基于高階結(jié)構(gòu)的囚徒困境演化博弈模型

1.2.1 基于二階高階結(jié)構(gòu)的個(gè)體博弈交互作用

個(gè)體之間的博弈交互作用在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上展開(kāi)。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)采用Barabási和Albert的BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型生成，其方法見(jiàn)文獻(xiàn)［11］，個(gè)體位于所生成的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)上。在以往的研究中，個(gè)體的博弈行為基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上個(gè)體間的成對(duì)連接關(guān)系展開(kāi)。本文首次考慮高階結(jié)構(gòu)下的群體博弈交互作用，提出個(gè)體基于“二階高階結(jié)構(gòu)”的演化博弈模型，即個(gè)體不僅基于成對(duì)連接關(guān)系進(jìn)行博弈，還基于三角形面關(guān)系進(jìn)行博弈。

1.2.2 個(gè)體的博弈收益

個(gè)體采用囚徒困境模型進(jìn)行博弈。在囚徒困境博弈中，雙方共同合作則各自獲得收益R；雙方共同背叛則各自獲得收益P；如果一方選擇合作策略，另一方選擇背叛策略，則合作者獲得收益S，背叛者獲得收益T，其大小順序?yàn)門(mén)>R>P>S。本文沿用現(xiàn)有研究中普遍采用的單參數(shù)博弈矩陣，即令T=b>1，R=1，S=-0.01，P=0，其中b代表背叛者的誘惑參數(shù)［15］。博弈的收益矩陣Α為

個(gè)體的博弈基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的二階高階結(jié)構(gòu)展開(kāi)，即個(gè)體之間基于成對(duì)交互作用和三角形面交互作用進(jìn)行博弈。圖2給出基于二階高階結(jié)構(gòu)進(jìn)行博弈時(shí)，個(gè)體在網(wǎng)絡(luò)中與其鄰居之間可能形成的博弈交互作用情境。圖2中不同顏色的圓點(diǎn)表示不同策略的博弈個(gè)體，實(shí)線(xiàn)連接表示相同策略個(gè)體之間的成對(duì)博弈，虛線(xiàn)連接表示不同策略個(gè)體之間的成對(duì)博弈，黑色的面表示相同策略個(gè)體之間的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略個(gè)體之間的三角形面博弈。

在圖2a～2e中，個(gè)體與其鄰居間不存在三角形面的關(guān)系。這時(shí)，個(gè)體基于成對(duì)連接關(guān)系與鄰居展開(kāi)博弈。在圖2f～2h中，個(gè)體與其兩個(gè)鄰居形成了三角形面。這時(shí)，如果個(gè)體的兩個(gè)鄰居的策略不同，即鄰居未形成統(tǒng)一的策略，則個(gè)體僅基于成對(duì)連接關(guān)系與每個(gè)鄰居進(jìn)行博弈，如圖2f所示；反之，如果個(gè)體的兩個(gè)鄰居的策略相同，即鄰居形成了統(tǒng)一策略，則個(gè)體不僅要基于成對(duì)連接關(guān)系與每個(gè)鄰居進(jìn)行博弈，還需基于三角形面與兩個(gè)鄰居進(jìn)行博弈，如圖2g～2h所示，2.1小節(jié)將會(huì)討論三角形面博弈對(duì)個(gè)體策略結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響。

根據(jù)以上博弈交互作用的描述，設(shè)si為個(gè)體i在一次博弈中采取的策略向量，令策略向量si=1，0表示個(gè)體采取合作策略C，策略向量si=0，1表示個(gè)體采取背叛策略D。則個(gè)體i在第t次博弈時(shí)的總博弈收益可表示為

其中，Ωi為第t次博弈時(shí)刻與個(gè)體i有連接關(guān)系的鄰居集合；sTi是與個(gè)體i進(jìn)行博弈的個(gè)體j在t時(shí)刻的策略向量的轉(zhuǎn)置；A為式（1）中所描述的博弈矩陣。ΩGi為Ωi集合中與個(gè)體i形成圖2g和2h博弈情境的鄰居集合?！苆∈ΩisiAsTj表示成對(duì)連接關(guān)系博弈所獲收益，G∑g∈ΩGisiAsTg表示三角形面博弈所獲收益。參數(shù)G刻畫(huà)了二階高階結(jié)構(gòu)對(duì)個(gè)體博弈收益的影響程度，稱(chēng)為高階結(jié)構(gòu)參數(shù)，其值越大，說(shuō)明高階結(jié)構(gòu)的作用越強(qiáng)。當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=0時(shí)，公式（2）回到了未引入三角形面博弈的情形，即僅存在成對(duì)交互作用，不考慮高階結(jié)構(gòu)的作用，通過(guò)參數(shù)G的改變，把成對(duì)交互作用和三角形面交互統(tǒng)一起來(lái)。

1.2.3 個(gè)體的博弈策略更新規(guī)則

策略的動(dòng)態(tài)演化采用現(xiàn)有研究中廣泛使用的復(fù)制動(dòng)力學(xué)機(jī)制。所有博弈個(gè)體在一次博弈后同時(shí)更新策略，策略的更新以博弈收益為基礎(chǔ)。當(dāng)個(gè)體i進(jìn)行策略更新時(shí)，個(gè)體i隨機(jī)從其鄰居中選擇一個(gè)個(gè)體j作為比較對(duì)象，將兩者博弈后的總收益Ui和Uj進(jìn)行比較。如果Ui>Uj，則以一定概率p選擇個(gè)體j的當(dāng)前策略作為個(gè)體i的下一步策略。概率p的計(jì)算方式為［13，15，18］：

2 理論分析

2.1 二階高階結(jié)構(gòu)對(duì)群體策略行為選擇的影響

為了深入分析1.2.2節(jié)中個(gè)體基于三角形面博弈的交互情境，圖3給出網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體間形成三角形面交互作用博弈的微觀機(jī)制，其中黑色的面表示相同策略個(gè)體之間的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略個(gè)體之間的三角形面博弈。由圖3可見(jiàn)，基于二階高階結(jié)構(gòu)形成的三角形面交互作用博弈情境總共有4種，即三角形面博弈情境D，D，D、C，D，D、C，C，C以及D，C，C。

對(duì)于博弈情境D，D，D，每個(gè)D策略個(gè)體都能與其他兩個(gè)D策略個(gè)體之間形成三角形面博弈，但由于策略結(jié)構(gòu)D，D的收益為0，則任何一個(gè)個(gè)體獲得的三角形面博弈收益都為0。對(duì)于博弈情境C，D，D，雖然C策略個(gè)體與其他兩個(gè)D策略個(gè)體之間形成三角形面博弈，但C，D策略結(jié)構(gòu)中C策略個(gè)體的收益為0，則其獲得的三角形面博弈收益為0。對(duì)于博弈情境C，C，C，每個(gè)C策略個(gè)體都能與其他兩個(gè)C策略個(gè)體之間形成三角形面博弈并獲得2GR的面博弈收益。對(duì)于博弈情境D，C，C，D策略個(gè)體與其他兩個(gè)C策略個(gè)體之間形成三角形面博弈并獲得2Gb的面博弈收益。

當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G增大時(shí)，高階結(jié)構(gòu)更大程度地提高博弈情境C，C，C中C策略個(gè)體的收益和博弈情境D，C，C中D策略個(gè)體的收益。但這兩個(gè)博弈情境的不同之處在于，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G越大，博弈情境C，C，C中每個(gè)C策略個(gè)體的收益都得到顯著提高，而博弈情境D，C，C中只有D策略個(gè)體的收益得到顯著提高。其結(jié)果是，博弈情境C，C，C三角結(jié)構(gòu)非常穩(wěn)定，而博弈情境D，C，C中的兩個(gè)C策略個(gè)體很可能在策略調(diào)整的時(shí)候模仿D策略，進(jìn)而使得D，C，C三角形面博弈轉(zhuǎn)變?yōu)镈，D，D三角形面博弈，使得D策略個(gè)體的收益變?yōu)?。在這樣的情境下，D，D策略結(jié)構(gòu)中的D策略個(gè)體一旦與C，C，C三角形策略結(jié)構(gòu)中的C策略個(gè)體有連接關(guān)系，就有極大的概率改變D，D策略結(jié)構(gòu)為C，C策略結(jié)構(gòu)，從而表現(xiàn)出D，D策略結(jié)構(gòu)數(shù)量下降，整個(gè)群體的合作者比例提高。

因此，個(gè)體在微觀層面形成合作的三角形策略結(jié)構(gòu)C，C，C是高連接度個(gè)體保持合作行為并獲得高博弈收益的根源所在，進(jìn)而影響到其他連接度個(gè)體學(xué)習(xí)高連接度個(gè)體的合作行為，使得群體表現(xiàn)出更高水平的合作狀態(tài)。

2.2 三階高階結(jié)構(gòu)對(duì)群體策略行為選擇的影響

為了進(jìn)一步將2.1中結(jié)論推廣到二階以上的高階結(jié)構(gòu)，圖4給出網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體間形成四面體交互作用博弈的微觀機(jī)制，圖4中的每個(gè)四面體是由4個(gè)大小相同的三角形組成，其中黑色的面表示相同策略個(gè)體之間的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略個(gè)體之間的三角形面博弈。白色的圓點(diǎn)表示個(gè)體采取合作策略，黑色的圓點(diǎn)表示個(gè)體采取背叛策略。虛線(xiàn)箭頭代表從四面體空間中指向節(jié)點(diǎn)i，以此來(lái)計(jì)算節(jié)點(diǎn)i的收益。

由圖4可見(jiàn)，基于三階高階結(jié)構(gòu)形成的四面體交互作用博弈情境總共有5種，即四面體博弈情境D，D，D，D、D，C，C，C、C，D，D，D、C，C，D，D、C，C，C，C。

對(duì)于博弈情境D，D，D，D，每個(gè)D策略個(gè)體與其他3個(gè)D策略個(gè)體之間形成四面體并進(jìn)行博弈，而四面體是由4個(gè)策略結(jié)構(gòu)均為D，D，D的三角形面組成，所以個(gè)體所獲收益是個(gè)體與其鄰居組合成的所有三角形面博弈收益和3個(gè)D，D策略結(jié)構(gòu)博弈收益的加和。由于每個(gè)D，D，D策略是3個(gè)D，D策略結(jié)構(gòu)組成，而策略結(jié)構(gòu)D，D的收益為0，則任何一個(gè)個(gè)體所獲得的三角形面博弈收益都為零；因此，每個(gè)D策略個(gè)體基于四面體博弈所獲收益為0。同理，博弈情境D，C，C，C中D策略個(gè)體和C策略個(gè)體所獲收益分別為6Gb+3b和2GR+2R。博弈情境C，D，D，D中D策略個(gè)體和C策略個(gè)體所獲收益分別為b和0。博弈情境C，C，D，D中D策略個(gè)體和C策略個(gè)體所獲收益分別為2Gb+2b和R。博弈情境C，C，C，C中每個(gè)C策略個(gè)體所獲收益為6GR+3R。

當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G增大時(shí)，其更大程度提高博弈情境D，C，C，C中C策略個(gè)體和D策略個(gè)體的收益、博弈情境C，C，D，D中D策略個(gè)體的收益、博弈情境C，C，C，C中C策略個(gè)體的收益。但這些博弈情境有很大不同，首先，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G越大，博弈情境D，C，C，C中C策略個(gè)體和D策略個(gè)體的收益都會(huì)越高，但D策略個(gè)體收益的提高幅度大于C策略個(gè)體收益的提高幅度。由于四面體上的博弈個(gè)體為了追求自身利益最大化，在下次博弈前會(huì)選擇對(duì)自己有利的策略。所以C策略個(gè)體在下次博弈之前會(huì)更大可能選擇D策略，會(huì)出現(xiàn)C，C，D，D、C，D，D，D、D，D，D，D3種博弈情境，如圖5b、5e、5f。其次，對(duì)于C，C，D，D博弈情境，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)只會(huì)改變D策略個(gè)體的收益。因此，在下次博弈開(kāi)始之前，C，C，D，D博弈情境中的兩個(gè)C策略個(gè)體會(huì)很大可能采取D策略，并使博弈情境演化成C，D，D，D或D，D，D，D，如圖5c和5g。但C，D，D，D博弈情境并不穩(wěn)定，最終也會(huì)演化成D，D，D，D，如圖5d和5f。所以D，C，C，C、C，C，D，D博弈情境最終都會(huì)演化成D，D，D，D，使每個(gè)D策略個(gè)體獲得0收益。相反，C，C，C，C博弈情境中的每個(gè)C策略個(gè)體的收益會(huì)隨著高階結(jié)構(gòu)參數(shù)的增大而增加，相比于D，C，C，C和C，C，D，D，博弈情境C，C，C，C所形成的四面體博弈情境非常穩(wěn)定。因此，當(dāng)D，D，D，D博弈情境中有某一個(gè)個(gè)體與C，C，C，C博弈情境連接時(shí)，D策略個(gè)體為了追求更高收益而選擇模仿鄰居的策略，最終選擇合作行為。

綜上，個(gè)體在微觀層面形成的四面體博弈情境C，C，C，C是高連接度個(gè)體保持合作行為并獲得高博弈收益的原因所在，從而影響其他鄰居個(gè)體的合作行為策略選擇，使得群體表現(xiàn)出更高的合作狀態(tài)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

基于以上模型描述，本文使用MATLAB編程，用Monte Carlo方法研究無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上二階高階結(jié)構(gòu)對(duì)囚徒困境博弈合作行為演化的影響。仿真實(shí)驗(yàn)總的個(gè)體數(shù)N設(shè)定為5 000。

首先，個(gè)體位于1.2.1節(jié)BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型生成的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)上。在重復(fù)博弈的初始時(shí)刻，每個(gè)個(gè)體隨機(jī)選擇合作策略（C）或背叛策略（D）作為自己初次博弈的策略。將某個(gè)博弈時(shí)刻t合作者在整個(gè)群體中所占的比例稱(chēng)為合作者密度pct，則有pct=nct/N（其中nct為t時(shí)刻合作者的數(shù)量）。那么，在重復(fù)博弈的初始時(shí)刻（t=0），合作者密度pct≈0.5。每個(gè)個(gè)體在獲得初始策略后，根據(jù)1.2.2節(jié)的博弈情境選擇交互作用鄰居進(jìn)行博弈，按照公式（2）獲得自己博弈的總收益；然后，根據(jù)1.2.3節(jié)中公式（3）所描述的策略更新規(guī)則進(jìn)行策略調(diào)整，并將調(diào)整后的策略作為自己下一次博弈時(shí)使用的策略。

所有個(gè)體在每次博弈后對(duì)自身策略的調(diào)整使得合作者密度在下一次博弈前發(fā)生改變。隨著重復(fù)博弈的進(jìn)行，合作者密度pct將隨仿真時(shí)間呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，并逐漸達(dá)到一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，博弈次數(shù)為5 000時(shí)合作者密度基本達(dá)到穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，故取重復(fù)博弈次數(shù)（即仿真的取樣時(shí)間）為5 000次（步）。以最后500次的合作者密度的平均值作為群體達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)時(shí)的合作者密度，記為合作者均衡密度PC，故PC=∑5 000t=4 501pct/500。為了確保數(shù)據(jù)的有效性，仿真結(jié)果中的所有數(shù)據(jù)是相同高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G和博弈參數(shù)b條件下50次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖6給出背叛誘惑參數(shù)b=2.2時(shí)，群體合作者密度pct在不同的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G條件下的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程。圖7給出在不同的背叛誘惑參數(shù)b條件下，群體合作者均衡密度PC與高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G的關(guān)系。

由圖6可以看出，當(dāng)背叛誘惑參數(shù)b=2.2時(shí)，初始合作者密度從pct≈0.5開(kāi)始，先是迅速地下降至pct≈0.24左右，然后逐漸上升，最后在t=5 000時(shí)已經(jīng)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，且合作者密度pct在更大的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G下表現(xiàn)出更高的水平。進(jìn)一步，由圖7可以看出，對(duì)于所有的背叛誘惑參數(shù)b，合作者均衡密度PC均在更大的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G條件下表現(xiàn)出更高的水平。尤其是當(dāng)b>2.5后，高階結(jié)構(gòu)提高合作者均衡密度的效果愈發(fā)顯著。高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=10對(duì)應(yīng)的合作者均衡密度PC水平比高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=0時(shí)（無(wú)高階作用）的合作者均衡密度PC水平提高了25%左右。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，高階結(jié)構(gòu)有利于個(gè)體抵抗背叛誘惑，產(chǎn)生更高水平的群體合作，并在背叛誘惑很大的情況下發(fā)揮更強(qiáng)的促進(jìn)個(gè)體合作的作用。

4 結(jié)果分析及討論

為了更好地理解以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果，本節(jié)通過(guò)分析群體中不同連接度個(gè)體在最終演化時(shí)刻的合作者密度、博弈收益、以及鄰居的策略結(jié)構(gòu)，來(lái)揭示高階結(jié)構(gòu)促進(jìn)群體合作行為的內(nèi)在機(jī)理。

4.1 高階結(jié)構(gòu)對(duì)不同連接度個(gè)體合作行為的影響分析

仿真實(shí)驗(yàn)中的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)有著相同的度分布，圖8給出背叛誘惑參數(shù)b=2.2時(shí)，在不同高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G下，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上連接度為k的個(gè)體在最終演化時(shí)刻（t=5 000）的合作者密度PCk。選擇b=2.2進(jìn)行分析的原因在于，在該背叛誘惑條件下，合作者均衡密度PCk在不同的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G下有著明顯的差異（見(jiàn)圖8），能夠更好地呈現(xiàn)不同連接度個(gè)體在最終演化時(shí)刻的合作者密度PCk。PCk的計(jì)算方法為：對(duì)于給定的仿真參數(shù)，在群體一次演化博弈的最后時(shí)刻，統(tǒng)計(jì)連接度為k的個(gè)體數(shù)量nk和合作者數(shù)量c（k），那么PCk=∑lclk/∑lnlk（其中，l表示對(duì)于給定參數(shù)所進(jìn)行的重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)，l=20）。

由圖8可見(jiàn)，對(duì)連接度水平較低（k<20）的博弈個(gè)體，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G明顯提高了不同連接度個(gè)體的合作者密度PCk；對(duì)于連接度水平高（k>30）的博弈個(gè)體，更高的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G使得更多連接度的個(gè)體達(dá)到完全合作狀態(tài)，即PCk=1；對(duì)連接度在20至30之間的博弈個(gè)體，更高的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G對(duì)應(yīng)著更高水平的合作者密度PCk?？梢钥闯?，隨著高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G的不斷增大，群體中個(gè)體進(jìn)行博弈交互作用的鄰居數(shù)量在不斷增多，不同連接度的個(gè)體抵御背叛的能力均在不斷加強(qiáng)；所以高階結(jié)構(gòu)均對(duì)其合作策略的選擇起到明顯的促進(jìn)作用。

4.2 高階結(jié)構(gòu)對(duì)不同連接度個(gè)體博弈收益的影響分析

采用和圖8實(shí)驗(yàn)相同的參數(shù)條件，進(jìn)一步比較在不同的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)條件下，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上連接度為k的合作者與背叛者的平均總收益。平均總收益的計(jì)算方法如下：對(duì)于給定的仿真參數(shù)，在群體一次演化的最后時(shí)刻，統(tǒng)計(jì)連接度為k的合作者數(shù)量nClk以及背叛者數(shù)量nDlk，并且加和連接度為k的合作者的總收益UClk和背叛者的總收益UDlk。則當(dāng)前連接度下合作者的平均總收益為UCk=∑lUClk/∑lnClk，背叛者的平均總收益為UDk=∑lUDlk/∑lnDlk。圖9給出無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上連接度為k的合作者和背叛者在最終演化時(shí)刻的平均總收益。各子圖給出不同高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G條件下的結(jié)果。

由圖9的每個(gè)子圖可以看出，無(wú)論高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G的取值大小，隨著連接度k的增大，群體中個(gè)體的博弈收益均呈上升趨勢(shì)，這說(shuō)明個(gè)體的連接度越高，獲得更高博弈收益的優(yōu)勢(shì)越大。此外，隨著高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G的增大，越來(lái)越多的高連接度個(gè)體選擇合作策略，且其獲得更高博弈收益的優(yōu)勢(shì)越來(lái)越明顯。具體而言，當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=0時(shí)，群體中有著最高博弈收益的個(gè)體既有合作者也有背叛者，最高博弈收益水平為226；當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=2時(shí)，群體中連接度在200以上的個(gè)體均選擇了合作策略，最高博弈收益水平為463；當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=5時(shí)，群體中連接度在100以上的個(gè)體均選擇了合作策略，最高博弈收益水平為754；當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)增大至G=10時(shí)，只有連接度很低的個(gè)體選擇背叛行為，其他連接度個(gè)體均選擇合作行為，最高博弈收益水平為1 334。這說(shuō)明，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G對(duì)群體合作行為影響的關(guān)鍵是影響了群體中高連接度個(gè)體對(duì)合作行為的選擇，并使得博弈收益水平顯著提高。而高連接度個(gè)體有著很多不同連接度水平的鄰居，這些鄰居會(huì)學(xué)習(xí)高連接度個(gè)體的合作行為，進(jìn)而使得其他連接度個(gè)體也更多地選擇合作行為。

4.3 高階結(jié)構(gòu)對(duì)個(gè)體鄰居策略結(jié)構(gòu)的影響分析

采用和圖8實(shí)驗(yàn)相同的參數(shù)條件，進(jìn)一步分析在不同高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G下，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上連接度為k的個(gè)體的鄰居策略結(jié)構(gòu)。根據(jù)1.2.2小節(jié)所描述的博弈交互作用情境，只有當(dāng)某個(gè)個(gè)體的兩個(gè)鄰居的策略相同，即鄰居形成了統(tǒng)一策略，個(gè)體才會(huì)基于三角形面與兩個(gè)鄰居進(jìn)行博弈。本節(jié)分析在博弈的最終演化時(shí)刻，連接度為k的個(gè)體鄰居所形成的C，C策略結(jié)構(gòu)和D，D策略結(jié)構(gòu)的平均數(shù)量。具體計(jì)算方法如下：對(duì)于給定的仿真參數(shù)，在群體一次演化的最后時(shí)刻，統(tǒng)計(jì)連接度為k的博弈個(gè)體數(shù)量nlk，并對(duì)該連接度下所有個(gè)體的鄰居所形成的C，C策略結(jié)構(gòu)數(shù)量nCClk和D，D策略結(jié)構(gòu)數(shù)量nDDlk分別進(jìn)行加和。對(duì)于連接度為k的個(gè)體，其鄰居中C，C策略結(jié)構(gòu)的平均數(shù)量為numCCk=∑lnCClk/∑lnlk，其鄰居中D，D策略結(jié)構(gòu)的平均數(shù)量為numDDk=∑lnDDlk/∑lnlk。圖10給出無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上連接度為k的個(gè)體鄰居在最終演化時(shí)刻所形成的D，D策略結(jié)構(gòu)和C，C策略結(jié)構(gòu)的平均數(shù)量，各子圖給出不同高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G條件下的結(jié)果。

由圖10可以看出，隨著高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G的增大，連接度為k的個(gè)體的鄰居所形成的D，D策略結(jié)構(gòu)數(shù)量越來(lái)越少。具體而言，在連接度大于100的范圍內(nèi)，當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=0時(shí)，一共有10個(gè)連接度的個(gè)體鄰居形成了D，D策略結(jié)構(gòu)；當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=2時(shí)，僅有3個(gè)連接度的個(gè)體的鄰居形成了D，D策略結(jié)構(gòu)；當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)增大到G=5和G=10時(shí)，沒(méi)有任何連接度的個(gè)體的鄰居形成D，D策略結(jié)構(gòu)。而在連接度小于50的范圍，對(duì)比高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=5和G=10條件下的結(jié)果，可以看出G=10條件下更少連接度的個(gè)體的鄰居形成D，D策略結(jié)構(gòu)。這些分析結(jié)果說(shuō)明，高階結(jié)構(gòu)有效降低了網(wǎng)絡(luò)中D，D策略結(jié)構(gòu)的數(shù)量，進(jìn)而驗(yàn)證了2.1小節(jié)得出的結(jié)論。

5 結(jié)語(yǔ)

本文將高階結(jié)構(gòu)引入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化博弈的研究中，在原有的成對(duì)連接關(guān)系博弈的基礎(chǔ)上考慮三角形面博弈。對(duì)個(gè)體博弈交互作用及博弈收益重新定義，以一個(gè)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)刻畫(huà)高階結(jié)構(gòu)對(duì)群體合作行為產(chǎn)生的影響，搭建起本研究和以往研究的關(guān)系。

1）通過(guò)理論分析給出二階高階結(jié)構(gòu)對(duì)群體策略行為選擇的影響，并將結(jié)論在三階高階結(jié)構(gòu)上進(jìn)行推廣。結(jié)果表明，博弈群體在二階高階結(jié)構(gòu)和三階高階結(jié)構(gòu)的作用下均表現(xiàn)出更高的合作水平，一旦個(gè)體間形成了C，C，C三角形策略結(jié)構(gòu)或C，C，C，C四面體策略結(jié)構(gòu)，就可以顯著提高每個(gè)C策略個(gè)體的收益，使得策略結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性極高。相反，雖然D，C，C策略結(jié)構(gòu)和D，C，C，C策略結(jié)構(gòu)中的D策略個(gè)體能夠獲得比C，C，C策略結(jié)構(gòu)和C，C，C，C策略結(jié)構(gòu)中的C策略個(gè)體更高的博弈收益，但D，C，C策略結(jié)構(gòu)和D，C，C，C卻極不穩(wěn)定，很快會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)镈，D，D策略結(jié)構(gòu)和D，D，D，D策略結(jié)構(gòu)。D，D，D三角形策略結(jié)構(gòu)和D，D，D，D四面體策略結(jié)構(gòu)在收益獲得方面沒(méi)有任何優(yōu)勢(shì)，從而會(huì)在策略演化過(guò)程中學(xué)習(xí)周?chē)暮献髡?，選擇合作行為。

2）在仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)，在更強(qiáng)的高階結(jié)構(gòu)作用下，不同連接度的個(gè)體均表現(xiàn)出更強(qiáng)的抵御背叛行為的能力，主要原因是高階結(jié)構(gòu)作用顯著影響了群體中高連接度個(gè)體對(duì)合作行為的選擇，并使其博弈收益水平明顯提高。高連接度個(gè)體有著很多不同連接度水平的鄰居，這些鄰居會(huì)學(xué)習(xí)高連接度個(gè)體的合作行為，進(jìn)而使得其他連接度個(gè)體也更多地選擇合作行為。

在本文構(gòu)建的理論模型中，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)合作策略或背叛策略沒(méi)有任何偏好。但理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，高階結(jié)構(gòu)有效地提高了群體的合作水平，從而給出了一個(gè)新的理解現(xiàn)實(shí)世界自利個(gè)體間產(chǎn)生合作行為的關(guān)鍵因素。這為進(jìn)一步深入研究更高階的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（如單純形復(fù)合體）對(duì)群體合作行為演化的影響提供了思路。

參考文獻(xiàn)：

［1］NOWAK M A. Five rules for the evolution of cooperation［J］. Science，2006，314（5805）：1560－1563.

［2］WEIBULL J W. Evolutionary game theory［M］. Cambridge： MIT Press，1997.

［3］NOWAK M A， MAY R M. Evolutionary games and spatial chaos［J］. Nature，1992，359（6398）：826－829.

［4］SZAB G， TKE C. Evolutionary prisoners dilemma game on a square lattice［J］. Physical Review E，1998，58（1）：69.

［5］SZAB G， VUKOV J， SZOLNOKI A. Phase diagrams for an evolutionary prisoner′s dilemma game on two-dimensional lattices［J］. Physical Review E，2005，72（4）：047107.

［6］PERC M， SZOLNOKI A. Social diversity and promotion of cooperation in the spatial prisoners dilemma game［J］. Physical Review E，2008，77（1）：011904.

［7］SANTOS F C， SANTOS M D， PACHECO J M. Social diversity promotes the emergence of cooperation in public goods games［J］. Nature，2008，454（7201）：213－216.

［8］LIMING W， WU F. Effects of empty sites on cooperation in the prisoners dilemma game based on social diversity［J］. Discrete Dynamics in Nature and Society， 2014，2014（1）：1－8.

［9］XIA C Y， MENG X K， WANG Z. Heterogeneous coupling between interdependent lattices promotes the cooperation in the prisoners dilemma game［J］. PloS One，2015，10（6）： e0129542.

［10］ ZHU C， SUN S， WANG J， et al. Role of population density and increasing neighborhood in the evolution of cooperation on diluted lattices［J］. Physica A： Statistical Mechanics and Its Applications，2013，392（24）：6353－6360.

［11］ BARABSI A L， ALBERT R. Emergence of scaling in random networks［J］. Science，1999，286（5439）：509－512.

［12］ SANTOS F C， PACHECO J M. Scale-free networks provide a unifying framework for the emergence of cooperation［J］. Physical Review Letters，2005，95（9）：098104.

［13］ 謝逢潔，崔文田，孫笑明.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的群聚性對(duì)合作行為的影響［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2010，25（2）：152－158.

XIE F J， CUI W T， SUN X M. Influence of clustering on cooperative behavior in scale-free networks［J］. Journal of Systems Engineering，2010，25（2）：152－158.

［14］ WU Y， LI X， ZHANG Z， et al. The different cooperative behaviors on a kind of scale-free networks with identical degree sequence［J］. Chaos， Solitons & Fractals，2013，56：91－95.

［15］ 謝逢潔，武小平，崔文田，等.博弈參與水平對(duì)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上合作行為演化的影響［J］.中國(guó)管理科學(xué)，2017，25（5）：116－124.

XIE F J， WU X P， CUI W T， et al. Influence of game participation level on the evolution of cooperative behavior in scale-free networks［J］. Chinese Journal of Management Science，2017，25（5）：116－124.

［16］ MAO Y J， RONG Z H， WU Z X， et al. Effect of collective influence on the evolution of cooperation in evolutionary prisoners dilemma games［J］. Applied Mathematics and Computation，2021，392：125679.

［17］ HU X T， WU M Y. The analysis of evolutionary prisoners dilemma game based on weighting effect［J］. International Journal of Modern Physics C，2021，32（5）：2150066.

［18］ ASSENZA S， GMEZ-GARDEES J， LATORA V. Enhancement of cooperation in highly clustered scale-free networks［J］. Physical Review E，2008，78（1）：017101.

［19］ KLEINEBERG K K. Metric clusters in evolutionary games on scale-free networks［J］. Nature Communications， 2017，8（1）：1－8.

［20］ XIE F J， CUI W T， LIN J. Structural heterogeneity mediates the effect of community structure on cooperation［J］. Complexity，2012，17（4）：40－48.

［21］ ZHANG J L， ZHU Y Y， CHEN Z Q， et al. Evolutionary game dynamics of multiagent systems on multiple community networks［J］. IEEE Transactions on Systems， Man， and Cybernetics： Systems，2019，50（11）：1－17.

［22］ RONG Z H， LI X， WANG X F. Roles of mixing patterns in cooperation on a scale-free networked game［J］. Physical Review E，2007，76（2）：027101.

［23］ WANG Z， WANG L， PERC M， et al. Degree mixing in multilayer networks impedes the evolution of cooperation［J］. Physical Review E， Statistical， Nonlinear， and Soft Matter Physics，2014，89（5）：052813.

［24］ BATTISTON F， CENCETTI G， IACOPINI I， et al. Networks beyond pairwise interactions： structure and dynamics［J］. Physics Reports，2020，874：1－92.

［25］ MAJHI S， PERC M， GHOSH D. Dynamics on higher-order networks： a review［J］. Journal of the Royal Society Interface，2022，19（188）：20220043.

［26］ IACOPINI I， PETRI G， BARRAT A， et al. Simplicial models of social contagion［J］. Nature Communi-cations，2019，10（1）：1－9.

［27］ WANG D， ZHAO Y， LENG H， et al. A social communication model based on simplicial complexes［J］. Physics Letters A，2020，384（35）：126895.

［28］ KUMAR A， CHOWDHARY S， CAPRARO V， et al. Evolution of honesty in higher-order social networks［J］. Physical Review E，2021，104（5）：054308.

［29］ SKARDAL P S， AROLA-FERNáNDEZ L， TAYLOR D， et al. Higher-order interactions can better optimize network synchronization［J］. Physical Review Research，2021，3（4）：043193.

［30］ BATTISTON F， AMICO E， BARRAT A， et al. The physics of higher-order interactions in complex systems［J］. Nature Physics，2021，17（10）：1093－1098.

［31］ CENCETTI G， BATTISTON F， LEPRI B， et al. Temporal properties of higher-order interactions in social networks［J］. Scientific Reports，2021，11（1）：7028.

［32］ MALETIC′ S， ANDJELKOVIC′ M， RAJKOVIC′ M. Potential grouping of nodes induced by higher-order structures in complex networks［J］. Chaos，2021，31（12）：123115.

［33］ SHI D H， CHEN G R. Simplicial networks： a powerful tool for characterizing higher-order interactions［J］. National Science Review，2022，9（5）： nwac038.

（責(zé)任編輯 耿金花）

收稿日期： 2022－10－03；修回日期： 2022－11－26

基金項(xiàng)目： NSFC－云南聯(lián)合基金（U2102221）；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目（2023－JC－QN－0261）；陜西省教育廳研究計(jì)劃項(xiàng)目（23JK0675）

第一作者： 謝逢潔（1974－），女，重慶人，博士，教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用。

通信作者： 王思一（1994－），女，陜西漢中人，博士，講師，主要研究方向?yàn)檠莼┺恼摷捌鋺?yīng)用。