紀(jì)華山

［摘? 要］ 學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的活動(dòng)可習(xí)得數(shù)學(xué)思維、獲得數(shù)學(xué)品格、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 文章認(rèn)為初中數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課程的實(shí)施需遵循“以學(xué)生為主體的原則”“以問(wèn)題為載體的原則”“以活動(dòng)為形式的原則”“過(guò)程化教育的原則”，并以“分割三角形”的綜合實(shí)踐教學(xué)為例，具體談?wù)勗凇皢?wèn)題”的引領(lǐng)下數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐教學(xué)的具體措施.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐；問(wèn)題；教學(xué)；原則

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課是對(duì)數(shù)學(xué)常規(guī)授課模式的必要補(bǔ)充，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提煉數(shù)學(xué)思想方法以及培養(yǎng)思維品質(zhì)與創(chuàng)新意識(shí)等具有重要促進(jìn)作用. 調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前仍有不少教師在實(shí)施綜合實(shí)踐教學(xué)時(shí)，缺少操作性的課程開發(fā)，只是流于形式地走個(gè)過(guò)場(chǎng)，喪失了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重要契機(jī). 為此，筆者對(duì)初中數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課程的實(shí)施展開了大量研究.

實(shí)施原則

1. 堅(jiān)持以學(xué)生為主體的原則

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在原有的基礎(chǔ)上，再次強(qiáng)調(diào)了學(xué)生是課堂的主人，課堂教學(xué)應(yīng)建立在“以生為本”的原則上，充分尊重學(xué)生的個(gè)體差異性，讓每個(gè)學(xué)生都能在學(xué)習(xí)中獲得發(fā)展［1］. 綜合實(shí)踐活動(dòng)的開展雖說(shuō)著重在實(shí)踐與綜合上，但實(shí)踐與綜合的主體必須是學(xué)生，只有認(rèn)清這個(gè)事實(shí)，才能讓課程教學(xué)效益最大化.

學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中應(yīng)積極、主動(dòng)、全程參與，并通過(guò)手腦并用的方式啟發(fā)思維、挖掘潛能，充分認(rèn)識(shí)到生活與數(shù)學(xué)、其他學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科以及數(shù)學(xué)內(nèi)部各知識(shí)間的聯(lián)系. 實(shí)施綜合實(shí)踐教學(xué)時(shí)，教師作為課堂的組織者與引導(dǎo)者，需在充分尊重學(xué)生的基礎(chǔ)上帶領(lǐng)學(xué)生親歷實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生自發(fā)地促進(jìn)自身數(shù)學(xué)意識(shí)的發(fā)展.

2. 秉承以問(wèn)題為載體的原則

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的核心，是思維的起點(diǎn)，創(chuàng)新的起點(diǎn)是一問(wèn). 沒(méi)有問(wèn)題的數(shù)學(xué)教學(xué)稱不上教學(xué)，有了問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)與引導(dǎo)，數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生的思維才有明確的方向［2］. 由此可見(jiàn)，問(wèn)題在數(shù)學(xué)領(lǐng)域乃至其他學(xué)科的教學(xué)中，都占有舉足輕重的地位. 數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的開展，應(yīng)秉承以問(wèn)題為載體的原則，讓學(xué)生的思維在問(wèn)題的引導(dǎo)下不斷得以突破與提升.

設(shè)置綜合實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)從培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、問(wèn)題意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)出發(fā)，讓學(xué)生在活動(dòng)中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，獲得發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問(wèn)題的能力. 任何實(shí)踐活動(dòng)的開展都應(yīng)圍繞核心問(wèn)題而展開，如此才能幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)脈絡(luò)，提升學(xué)生的“四基與四能”.

3. 落實(shí)以活動(dòng)為形式的原則

綜合實(shí)踐屬于一種活動(dòng)形式的教學(xué)，是基于核心問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生積極主動(dòng)地全程參與實(shí)踐的過(guò)程. 學(xué)生在活動(dòng)中感知完整的學(xué)習(xí)活動(dòng)，獲得相應(yīng)的學(xué)習(xí)體驗(yàn). 綜合實(shí)踐課程的特點(diǎn)是以活動(dòng)的形式進(jìn)行思維的啟發(fā)，學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中獲得感知、體驗(yàn)與領(lǐng)悟，實(shí)現(xiàn)從“要我學(xué)—我要學(xué)—我會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變.

數(shù)學(xué)活動(dòng)是實(shí)施“做中學(xué)”理念的根本. 豐富的活動(dòng)，能有效地激起學(xué)生的探究欲，助推學(xué)生的自我發(fā)展意識(shí)，讓學(xué)生在多維度的嘗試、思考與發(fā)現(xiàn)中不斷完善認(rèn)知，建構(gòu)綜合實(shí)踐課程的新樣態(tài).

4. 立足于過(guò)程化教育的原則

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重“過(guò)程性的教學(xué)”. 綜合實(shí)踐活動(dòng)的開展是師生、生生互動(dòng)與交流的過(guò)程，是教學(xué)相長(zhǎng)的過(guò)程，亦是讓學(xué)生感知知識(shí)形成與發(fā)展的過(guò)程. 綜合實(shí)踐雖然不強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握與理解程度，但對(duì)學(xué)生參與活動(dòng)過(guò)程中的表現(xiàn)、體驗(yàn)、領(lǐng)悟與反思等尤為關(guān)注.

綜合實(shí)踐著重強(qiáng)調(diào)學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累情況、應(yīng)用意識(shí)以及數(shù)學(xué)思想發(fā)展情況等. 而這一切并不是教師手把手地“傳授”給學(xué)生，而是學(xué)生通過(guò)參與活動(dòng)自主感受、體驗(yàn)而來(lái)的. 這些經(jīng)驗(yàn)與能力，學(xué)生唯有主動(dòng)參與活動(dòng)才能獲得. 因此，綜合實(shí)踐活動(dòng)需立足于過(guò)程化教育的原則.

實(shí)施策略

（一）選擇問(wèn)題，明確主題

綜合實(shí)踐活動(dòng)的開展都有一個(gè)明確的主題，恰當(dāng)?shù)剡x擇課堂切入問(wèn)題，常能讓學(xué)生明確活動(dòng)的方向. 高質(zhì)量的問(wèn)題，往往取決于它是否具有數(shù)學(xué)性、生活性、綜合性與實(shí)踐性等特征. 只有綜合性強(qiáng)，具有可實(shí)踐性的問(wèn)題才能有效指引學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，并學(xué)會(huì)綜合應(yīng)用“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”三大領(lǐng)域的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

實(shí)踐證明，實(shí)踐性強(qiáng)的問(wèn)題能有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生進(jìn)入手、腦、口協(xié)調(diào)的狀態(tài)，并積極、主動(dòng)地綜合應(yīng)用相應(yīng)的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題；充滿“數(shù)學(xué)味”的問(wèn)題能讓學(xué)生在實(shí)踐的基礎(chǔ)上從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行思考，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界；具有“現(xiàn)實(shí)”意義的問(wèn)題與學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗(yàn)相契合，能讓學(xué)生積極、主動(dòng)、全程地參與到活動(dòng)的探索中來(lái)，讓綜合實(shí)踐活動(dòng)發(fā)揮其教學(xué)價(jià)值與意義.

綜上幾類明確活動(dòng)主題的數(shù)學(xué)問(wèn)題是開展綜合實(shí)踐活動(dòng)的核心問(wèn)題，而這些核心問(wèn)題又可以從教學(xué)實(shí)踐中由師生自主開發(fā)而來(lái)，也可以從教材中提煉而來(lái). 值得注意的是，這些核心問(wèn)題與教材或教輔資料中的練習(xí)題有著本質(zhì)上的區(qū)別.

（二）圍繞主題，設(shè)計(jì)活動(dòng)

綜合實(shí)踐活動(dòng)的開展與實(shí)施需建立在核心問(wèn)題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生明確活動(dòng)主題. 學(xué)生的探索從核心問(wèn)題出發(fā)，遵循由淺入深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由感性到理性的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律. 教師在此過(guò)程中可設(shè)計(jì)一些層次分明的問(wèn)題串，讓學(xué)生在低起點(diǎn)、小跨度、高密度的問(wèn)題中實(shí)現(xiàn)思維循序漸進(jìn)的螺旋式上升.

在此，筆者以“分割三角形”的綜合實(shí)踐活動(dòng)教學(xué)為例，從核心問(wèn)題和分層問(wèn)題串的設(shè)計(jì)出發(fā)，具體談?wù)劸C合實(shí)踐活動(dòng)的實(shí)施與開展過(guò)程.

1. 設(shè)計(jì)核心問(wèn)題，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)

問(wèn)題1？搖 若在一個(gè)三角形的內(nèi)部任意取2020個(gè)點(diǎn)，加上三角形本身的3個(gè)頂點(diǎn)，則有2023個(gè)點(diǎn)，若將這2023個(gè)點(diǎn)進(jìn)行兩兩相連，同時(shí)讓這些連接而成的線段除了端點(diǎn)不存在其他公共點(diǎn)，這樣的圖形容易畫出來(lái)嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖？搖 此問(wèn)是對(duì)本節(jié)課核心知識(shí)點(diǎn)的分解，為探索分割三角形的數(shù)量服務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生從能否畫出圖形著手，進(jìn)入探究狀態(tài). 此問(wèn)的設(shè)置，意在讓學(xué)生感知這樣的圖形不好畫的原因是從三角形內(nèi)部可以任意取的點(diǎn)太多了.

追問(wèn)1？搖 經(jīng)探索，大家發(fā)現(xiàn)想從三角形的內(nèi)部任意取2020個(gè)點(diǎn)，確實(shí)比較困難. 那么我們可以怎么理解兩兩相連的線段將原三角形分割成多少個(gè)小三角形呢？

活動(dòng)1？搖 試一試、畫一畫，小組交流畫法與體驗(yàn).

設(shè)計(jì)意圖？搖 追問(wèn)與活動(dòng)的開展，意在點(diǎn)撥學(xué)生從簡(jiǎn)單的圖形著手進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)取三角形內(nèi)部1、2、3個(gè)點(diǎn)進(jìn)行畫圖分析.

2. 設(shè)計(jì)分層問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)

問(wèn)題2？搖 通過(guò)以上活動(dòng)的開展，大家畫出了從三角形內(nèi)部分別任取1、2、3個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圖形，這種畫法對(duì)研究本節(jié)課的主題（分割三角形）有什么幫助？

設(shè)計(jì)意圖？搖 讓學(xué)生思考并形成解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的策略“特殊—一般—特殊”. 學(xué)生在對(duì)三個(gè)最簡(jiǎn)單的特例研究中自主歸納出三角形內(nèi)部任意取點(diǎn)的數(shù)量和連線可將原三角形分割成小三角形的數(shù)量之間存在著怎樣的一般性關(guān)系，并應(yīng)用這個(gè)一般性關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題1. 同時(shí)，也滲透了特殊到一般、猜想與歸納等數(shù)學(xué)思想方法，為促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展奠定基礎(chǔ).

追問(wèn)2？搖 說(shuō)一說(shuō)三角形內(nèi)部任意取點(diǎn)的數(shù)量和連線可將原三角形分割成小三角形的數(shù)量之間存在怎樣的一般性關(guān)系（簡(jiǎn)稱一般性關(guān)系）？

活動(dòng)2？搖 猜想并歸納出這種一般性關(guān)系.

追問(wèn)3？搖 這種一般性關(guān)系的探索，可以從哪些角度進(jìn)行？

活動(dòng)3？搖 分別從“數(shù)”與“形”的角度來(lái)探索這種一般性的關(guān)系.

追問(wèn)4？搖 以上探索、歸納與猜想出的結(jié)論是否一定是正確的？

活動(dòng)4？搖 該怎樣應(yīng)用更具一般性的合情推理，獲取以上一般性的關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖？搖 追問(wèn)與活動(dòng)的應(yīng)用，促使每個(gè)學(xué)生都進(jìn)入獨(dú)立思考與探索之中，并通過(guò)與同伴的交流，對(duì)這種“一般性的關(guān)系”產(chǎn)生了更深層次的理解與認(rèn)識(shí). 學(xué)生在交流過(guò)程中，感知、歸納、提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，并獲得嘗試從不同的角度來(lái)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略，如：

策略1？搖 將在三角形內(nèi)部分別任意取1、2、3個(gè)點(diǎn)的情況整理成表格形式（見(jiàn)表1）.

學(xué)生嘗試從“數(shù)”的角度進(jìn)行猜想，獲得結(jié)論：在三角形的內(nèi)部任意取n個(gè)點(diǎn)，再加上原三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，共存在“n+3”個(gè)點(diǎn)，將n+3個(gè)點(diǎn)進(jìn)行兩兩相連，且讓所連線段除了端點(diǎn)不存在其他公共點(diǎn)，可把原三角形分割出（2n+1）個(gè)小三角形.

策略2？搖 嘗試從“形”的角度來(lái)剖析.

如圖1，在三角形的內(nèi)部取一個(gè)點(diǎn)，按照要求可獲得3個(gè)三角形；若增加1個(gè)點(diǎn)，則分成以下兩種情況：①如圖2，所增加的點(diǎn)位于分割而來(lái)的三角形的內(nèi)部，按照要求分割而成的三角形總數(shù)比取一個(gè)點(diǎn)時(shí)增加了2個(gè)；②如圖3，若增加的點(diǎn)恰巧位于分割線上，則此時(shí)分割而成的三角形總數(shù)比取一個(gè)點(diǎn)時(shí)也增加了2個(gè).

經(jīng)過(guò)分析，獲得猜想：于一個(gè)三角形的內(nèi)部任意取n個(gè)點(diǎn)，再加上原三角形的3個(gè)點(diǎn)，將所有點(diǎn)兩兩相連，使得所連線段除了端點(diǎn)不存在其他公共點(diǎn)，可將原三角形分割成3+2（n－1）=2n+1個(gè)小三角形.

策略3？搖 進(jìn)行一般推理，假設(shè)在一個(gè)三角形的內(nèi)部任意取n個(gè)點(diǎn)，加上原三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，一共有“n+3”個(gè)點(diǎn)，把這n+3個(gè)點(diǎn)按照以上要求連接，可將原三角形分成x個(gè)小三角形，那么這些分割而來(lái)的小三角形的所有內(nèi)角和就是180°·x.

這些分割而來(lái)的小三角形的內(nèi)角又存在兩種情況，一種是頂點(diǎn)為原來(lái)三個(gè)大三角形的頂點(diǎn)，它們的和是180°；還有一種情況就是小三角形的頂點(diǎn)是在三角形內(nèi)部任取的n個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)，那么以該點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)角恰好拼成了周角，因此以n個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的小三角形的內(nèi)角拼接在一起就形成一個(gè)周角，和為360°·n.

基于以上分析，不難獲得：180°·x=360·n+180°，解得x=2n+1.

3. 設(shè)計(jì)拓展問(wèn)題，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)

眾所周知，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐以問(wèn)題引領(lǐng)整個(gè)活動(dòng)過(guò)程. 當(dāng)學(xué)生解決了核心問(wèn)題后，課堂是否就此終止了呢？答案是否定的. 當(dāng)學(xué)生獲得相應(yīng)的結(jié)論后，需要通過(guò)問(wèn)題的縱橫延伸來(lái)深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，為發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)奠定基礎(chǔ)■［3］.

為了夯實(shí)學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的研究經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中遇到類似問(wèn)題能快速想出解決辦法，在學(xué)生已經(jīng)解決了取點(diǎn)連三角形問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師可提出拓展性的問(wèn)題供學(xué)生思考與探索，以增強(qiáng)學(xué)生的領(lǐng)悟能力.

問(wèn)題3？搖 將問(wèn)題1中的三角形替換成四邊形，取2020個(gè)點(diǎn)加四邊形原來(lái)的4個(gè)頂點(diǎn)后，求兩兩連線將原四邊形分割成的小三角形數(shù)量，同樣要求所有的連線段除了端點(diǎn)不可以有其他公共點(diǎn).

活動(dòng)5？搖 合作交流問(wèn)題3，思考解決這個(gè)問(wèn)題的方案，并設(shè)法提出其他拓展性的問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖？搖 問(wèn)題拓展環(huán)節(jié)，意在讓學(xué)生在原有活動(dòng)探究的基礎(chǔ)上，更進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)由淺入深、類比歸納、從特殊到一般以及從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法等，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)以及科學(xué)的鉆研精神奠定基礎(chǔ).

總之，綜合實(shí)踐活動(dòng)的關(guān)鍵在于問(wèn)題的擇取是否恰到好處. 在核心問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，教師組織學(xué)生積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是實(shí)施綜合實(shí)踐教學(xué)的重中之重. 教師應(yīng)從思想上重視綜合實(shí)踐活動(dòng)課程，通過(guò)逐層遞進(jìn)問(wèn)題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識(shí)，體悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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［3］章建躍，陶維林. 注重學(xué)生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學(xué)（續(xù)）［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（07）：26-31，60.