梅滋亞

［摘? 要］ 高中數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中需要滲透數(shù)學(xué)建模思想，文章以一節(jié)概念課為例進行教學(xué)實施，嘗試通過創(chuàng)設(shè)開放的情境與問題，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、歸納、概括等思維活動抽象出數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)建模；教學(xué)實施；開放情境；抽象；核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素提出，對數(shù)學(xué)建模育人價值深度挖掘與進一步提升，這必然會對數(shù)學(xué)建模的教學(xué)提出新的要求，所以在核心素養(yǎng)的視域下對數(shù)學(xué)建模進行審視就顯得十分必要［1］． 數(shù)學(xué)建?；顒咏滩牡恼w設(shè)計包含兩個方面，一是在函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計等內(nèi)容中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的要素，滲透數(shù)學(xué)建?；顒拥倪^程和方法；二是設(shè)置專門的數(shù)學(xué)建模活動專題，讓學(xué)生完整經(jīng)歷用數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程［2］． 因此，在高中數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，用數(shù)學(xué)建?；顒舆^程的要素指導(dǎo)教材與教學(xué)設(shè)計，既是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容特點的反映，又是轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的需要． 本文以人教A版選擇性必修第三冊（2019版）教材中的“離散型隨機變量及其分布列”為例進行設(shè)計和分析，嘗試通過創(chuàng)設(shè)開放的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、歸納，概括等思維活動抽象出數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容的本質(zhì)

隨機變量的引入，是對概率研究對象的進一步抽象，是對隨機試驗可能結(jié)果的量化表示，本質(zhì)上是樣本空間到實數(shù)集上的映射． 隨機變量概念的引入，實現(xiàn)了借助數(shù)學(xué)工具和方法系統(tǒng)全面地研究隨機現(xiàn)象的目的． 隨機變量能夠反映隨機現(xiàn)象的共性，隨機變量的分布描述了隨機變量取值的概率規(guī)律，這樣得出的有關(guān)隨機變量的一般性結(jié)論，可以應(yīng)用到具有不同背景的實際問題之中．

2. 內(nèi)容所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法

（1）模型思想是把握現(xiàn)實世界中一類問題的本質(zhì)與規(guī)律，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題的本質(zhì)與規(guī)律，用合適的數(shù)學(xué)符號表達問題的本質(zhì)與規(guī)律，最后得到刻畫一類事物的數(shù)學(xué)模型［3］． 隨機變量概念的引入體現(xiàn)了以簡潔、統(tǒng)一的數(shù)學(xué)方式研究問題的思想，這就是模型思想. （２）通過類比的方法學(xué)習(xí)新的知識是一種重要的認(rèn)知途徑. 在本節(jié)課中可以類比函數(shù)的概念建立隨機變量的概念、類比函數(shù)的表示方法來表示分布列、類比研究過的函數(shù)的性質(zhì)來研究分布列的性質(zhì). （3）離散型隨機變量及其分布列概念的形成，都是從特殊到一般、從具體到抽象，通過歸納得出來的，這些是數(shù)學(xué)研究中常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該遵循的原則．

教學(xué)目標(biāo)與重點、難點

1． 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過具體實例，抽象出離散型隨機變量的概念，重點提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；

（2）通過具體實例，理解離散型隨機變量的分布列，重點提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．

2． 教學(xué)重點、難點

重點：離散型隨機變量及其分布列的概念．

難點：抽象隨機變量的概念，用隨機變量描述隨機現(xiàn)象的規(guī)律．

教學(xué)過程設(shè)計

1． 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

導(dǎo)語1 我們知道，求隨機事件的概率時，往往需要為隨機試驗建立樣本空間，這就會涉及樣本點和隨機事件表示的問題，樣本空間的確定是研究概率的基礎(chǔ)．

問題1 你能給出以下隨機試驗的樣本空間，并嘗試建立樣本點與實數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？

（1）擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；

（2）擲兩枚骰子，觀察兩個點數(shù)之和；

（3）擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上；

（4）從裝有5個紅球、3個白球的袋中同時摸出兩球，觀察兩球的顏色．

師生活動 讓學(xué)生獨立完成以上隨機試驗的樣本空間的建立，體現(xiàn)開放． （1）（2）隨機試驗的樣本點與數(shù)值有關(guān)系，容易直接與實數(shù)建立對應(yīng)關(guān)系；（3）（4）隨機試驗的樣本點與數(shù)值沒有直接關(guān)系，需要想辦法建立樣本點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系．

設(shè)計意圖 通過幾個典型實例，先讓學(xué)生自己動手建立樣本空間，再通過教師引導(dǎo)，體會在不同問題背景下的隨機試驗的樣本空間中，都可以建立樣本點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，為隨機變量概念的生成奠定認(rèn)知基礎(chǔ)．

2． 歸納概括，形成概念

導(dǎo)語2 我們發(fā)現(xiàn)，有些隨機試驗的樣本點與數(shù)值并沒有直接關(guān)系，這時我們需要采取適當(dāng)?shù)姆椒ń⑵饦颖军c與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系．

問題2 隨機抽一件產(chǎn)品，有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能的結(jié)果．你能建立起樣本點與實數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？

師生活動 教師通過問題啟發(fā)學(xué)生思考，借鑒問題1中的（3）（4）的試驗經(jīng)驗，建立起樣本點與實數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系．

教師總結(jié) 對于任何一個隨機試驗，總可以把它的每一個樣本點與一個實數(shù)對應(yīng)，即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化．因為在隨機試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性．

設(shè)計意圖 通過具體實例，讓學(xué)生了解可以通過引入一個變量來刻畫一個隨機現(xiàn)象，隨機試驗的樣本點不論是否與數(shù)值直接有關(guān)，都可以數(shù)量化．

問題3 考察下列隨機試驗及其引入的變量.

（1）從100個電子元件（至少含3個以上次品）中隨機抽取3個進行檢驗，變量X表示3個元件中的次品數(shù)；

（2）拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù)．

這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么？各個樣本點與變量的值是如何對應(yīng)的？

師生活動 先讓學(xué)生獨立思考、作答，再讓學(xué)生表達交流，在此基礎(chǔ)上教師和學(xué)生一起總結(jié)（過程略）．

追問1：觀察上述兩個隨機試驗，請你歸納試驗（1）和試驗（2）的樣本空間中的樣本點與對應(yīng)變量有什么共同點.

師生活動 學(xué)生發(fā)現(xiàn)，教師補充：兩個隨機試驗中，每一個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng)．變量X，Y有如下共同點.

（1）取值依賴于樣本點；

（2）所有可能取值是明確的．

追問2：你能類比函數(shù)的定義，用集合與對應(yīng)的語言表示樣本空間中的樣本點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系嗎？

師生活動 先請學(xué)生回憶函數(shù)的定義，然后類比函數(shù)的定義進行表達，接著師生交流、討論，最后由教師規(guī)范地表達隨機變量的概念．

追問3：閱讀第57頁的后半頁和第58頁的第一段話，并回答下列問題：

（1）什么叫離散型隨機變量？

（2）隨機變量和隨機變量的取值如何表示？

（3）比較隨機變量的定義與函數(shù)的定義，它們有何異同？

（4）你能舉出一些離散型隨機變量和非離散型隨機變量的例子嗎？

師生活動？搖先由學(xué)生自由發(fā)言，然后教師與學(xué)生共同完善解答． 在學(xué)生舉例、教師點評的基礎(chǔ)上理解概念．

設(shè)計意圖 通過類比函數(shù)的定義，歸納形成隨機變量和離散型隨機變量的概念；通過舉例，加深學(xué)生對離散型隨機變量的概念的理解．

3． 聯(lián)系拓展，逐步深化

導(dǎo)語3 根據(jù)問題引入合適的隨機變量，有利于我們簡潔地表示所關(guān)心的隨機事件，并利用數(shù)學(xué)工具研究隨機試驗中的概率問題．下面我們先研究如何利用隨機變量表達隨機事件．

問題4 以“擲一枚質(zhì)地均勻的骰子”為例，你能用隨機變量表示隨機事件嗎？

師生活動 先讓學(xué)生自主探究，然后小組合作交流，最后小組派代表進行班級發(fā)言，教師對學(xué)生的發(fā)言進行點評．

設(shè)計意圖 讓學(xué)生學(xué)會用隨機變量表示隨機事件，為求隨機變量的概率分布列做準(zhǔn)備．

導(dǎo)語4 如果我們知道了隨機變量X取每一個可能值時的概率，就可以利用其解決一些實際問題．

問題5 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，X表示擲出的點數(shù)，那么X取每一個可能值時的概率是多少？類比函數(shù)的表示法，我們可以用哪些方法來表示？

師生活動 師生交流后引出分布列的概念以及表示，根據(jù)不同問題的需要可以選擇不同的表示方式．

設(shè)計意圖 有了分布列，相應(yīng)的隨機試驗的所有情況都得到了反映．只要對分布列進行了研究，了解了它的性質(zhì)，那么就把握了相應(yīng)隨機試驗的基本特征，從而為進一步研究其他問題奠定了基礎(chǔ)．

問題6 類比函數(shù)的研究過程（定義—表示—性質(zhì)—應(yīng)用），在引入隨機變量的概念，定義離散型隨機變量的概率分布列并對分布列做出表示之后，你認(rèn)為接下來應(yīng)研究什么？

師生活動 類比函數(shù)的研究過程，學(xué)生想到應(yīng)研究離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，但對研究內(nèi)容還不太清楚． 教師引導(dǎo)學(xué)生回憶概率的性質(zhì)，幫助學(xué)生總結(jié)分布列的性質(zhì)．

設(shè)計意圖 創(chuàng)設(shè)開放的問題情境啟發(fā)學(xué)生思考，而不是直接告知學(xué)生性質(zhì)． 類比函數(shù)進行自主探究，有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力．

追問：利用分布列的性質(zhì)，你能求出“擲出的點數(shù)不大于2”“擲出偶數(shù)點”的概率嗎？

設(shè)計意圖 讓學(xué)生體會利用分布列的性質(zhì)可以計算由離散型隨機變量表示的事件的概率．

4． 概念運用，鞏固提高

例1 一批產(chǎn)品中次品率為5%，隨機抽取1件，定義X=1，抽到次品，0，抽到正品，求X的分布列．

師生活動 學(xué)生獨立完成，教師補充完善，然后引出兩點分布．

追問：生活中哪些隨機現(xiàn)象也可以用兩點分布來描述？

設(shè)計意圖 通過開放的問題，讓學(xué)生感受到生活中同類型的隨機事件都可以用兩點分布來描述，進一步理解隨機變量的引入可以更好地描述隨機現(xiàn)象．

例2 某學(xué)校高二年級有200名學(xué)生，他們的體育綜合測試成績分5個等級，每個等級對應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如表1所示．

從這200名學(xué)生中任意選取1人，求所選同學(xué)分?jǐn)?shù)X的分布列，以及P（X≥4）．

師生活動 教師先組織學(xué)生討論事件｛Ｘ＝ｉ｝表示的意義，引導(dǎo)學(xué)生分析隨機事件符合古典概型的條件，然后請學(xué)生獨立解決，展示學(xué)生解題結(jié)果． 在學(xué)生解題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題的一般步驟．

追問：將等級成績進行量化這種思想在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，大家能否再舉出一些例子？

設(shè)計意圖 通過開放的問題，讓學(xué)生進一步理解隨機變量的引入體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔性和統(tǒng)一性．

5． 課堂小結(jié)，總結(jié)提升

問題7 回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，回答以下幾個問題.

（1）隨機變量的引入有何意義？通過類比函數(shù)定義引入隨機變量的概念，對你有什么啟示？

（2）離散型隨機變量的分布列有什么作用？

設(shè)計意圖 通過提問的形式，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和主要思想方法，引發(fā)學(xué)生深度思考，對隨機變量、隨機變量分布列的含義和作用作反思．

6． 目標(biāo)檢測，檢驗效果

一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺，從中隨機挑選2臺．

（1）求這2臺電腦中A品牌臺數(shù)的分布列；

（2）求這2臺電腦中至少有一臺A品牌的概率．

設(shè)計意圖 本題主要檢測隨機變量分布列的基本概念，求隨機變量分布列的基本步驟，以及利用分布列求隨機事件概念的基本方法．

教學(xué)設(shè)計說明

1． 關(guān)注本源，注重讓學(xué)生體會引入隨機變量的必要性

概率論中研究隨機現(xiàn)象的方法是：建立隨機試驗的樣本空間，構(gòu)建概率模型，計算或估計隨機事件的概率，利用事件的關(guān)系和概率的性質(zhì)，解決更復(fù)雜的概率計算問題． 然而，與具體背景緊密關(guān)聯(lián)的樣本點和樣本空間仍然使概率的研究處于抽象化的“初級階段”，其內(nèi)容、方法、結(jié)論表達的一般性不夠，需要進一步進行數(shù)學(xué)抽象． 引入隨機變量刻畫隨機現(xiàn)象，使概率的研究躍上了一個新的抽象層次，也使我們能更好地利用數(shù)學(xué)工具，以一種更本質(zhì)、更系統(tǒng)，同時也更簡潔的方式去研究概率，更深刻地認(rèn)識隨機現(xiàn)象，得出更具一般性的結(jié)論. 這是本節(jié)課要讓學(xué)生認(rèn)識到的首要問題，需要滲透在本節(jié)課以及整個章節(jié)教學(xué)的始終．

2． 適度開放，注重讓學(xué)生在現(xiàn)實問題中體會建模思想

在數(shù)學(xué)知識講解過程中加強將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實背景的分析中歸納、提煉數(shù)量關(guān)系、空間形式的數(shù)學(xué)表達并得出模型的過程，這樣的過程中就包含了與數(shù)學(xué)建模有直接關(guān)聯(lián)的內(nèi)容與環(huán)節(jié)［2］． 在本節(jié)課中，通過豐富的、有關(guān)聯(lián)性的情境，引導(dǎo)學(xué)生用映射（函數(shù)）的觀點觀察、分析具體實例，從現(xiàn)實情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷概念的形成（模型的建立）過程． 在這個過程中不是直接告知學(xué)生知識，而是設(shè)置開放的問題啟發(fā)學(xué)生思考，提升學(xué)生的抽象概括能力． 有了本節(jié)課的啟蒙，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中也會逐步體會本節(jié)課所蘊含的思想，逐步提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)．

參考文獻：

［1］ 史寧中，王尚志． 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀［M］． 北京：高等教育出版社，2018．

［2］ 章建躍，張艷嬌，金克勤． 數(shù)學(xué)建?；顒拥恼n程理解、教材設(shè)計與教學(xué)實施［J］． 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（13）：13-19．

［3］ 史寧中． 數(shù)學(xué)基本思想18講［M］． 北京：北京師范大學(xué)出版社，2017．