江蘇如皋市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 （226500） 丁 洪

結(jié)構(gòu)是事物存在的基本方式，也是一個(gè)重要概念和研究視角。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的生成、關(guān)聯(lián)和拓展，是發(fā)展學(xué)生結(jié)構(gòu)思維的重要內(nèi)容，也是培育學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效載體?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，教學(xué)需要“基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律”。如何將“冰冷的”數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為“火熱的”數(shù)學(xué)思考？筆者嘗試通過(guò)“追本溯源—直面現(xiàn)實(shí)—優(yōu)化策略”的過(guò)程，弄清結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)“到底是什么”，剖析結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)“問(wèn)題在哪里”，明確結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)“可以怎么做”，以此增強(qiáng)教與學(xué)的底氣和活力。

一、結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)“到底是什么”

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是指基于知識(shí)本體、課程本意和學(xué)生本位，研究數(shù)學(xué)對(duì)象自身各種要素之間的相互關(guān)系以及作用方式，側(cè)重考量研究對(duì)象構(gòu)成要素的數(shù)量比例、排列次序、結(jié)合形式以及變化規(guī)律，以基礎(chǔ)學(xué)力與素養(yǎng)導(dǎo)向貫穿始終的學(xué)習(xí)方式和方法。從整體性、層次性、有序性和穩(wěn)定性四個(gè)方面去理解結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，能夠觸摸其概念本質(zhì)，明確結(jié)構(gòu)認(rèn)知。

（一）整體性

數(shù)學(xué)研究對(duì)象內(nèi)部要素關(guān)聯(lián)方式的內(nèi)在規(guī)定集中反映了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性，同時(shí)也決定了結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的底層邏輯，即“整體性”。一般系統(tǒng)論的創(chuàng)始人貝塔朗菲認(rèn)為，“系統(tǒng)整體不等于各孤立部分的總和”。如果將系統(tǒng)整體解構(gòu)成孤立部分，可以窺探數(shù)學(xué)要素的個(gè)性特點(diǎn)，而將孤立部分重構(gòu)于上位整體，則可以把脈數(shù)學(xué)要素的有機(jī)聯(lián)系。

以“數(shù)與運(yùn)算”專題的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)為例。首先，計(jì)數(shù)單位的建構(gòu)規(guī)則整體關(guān)聯(lián)。計(jì)數(shù)單位可以追本溯源為“實(shí)物”和“狀態(tài)”兩個(gè)序列。“實(shí)物”序列的計(jì)數(shù)單位生活意蘊(yùn)較濃，它以單位“1”（整體）為基準(zhǔn)建構(gòu)，通過(guò)單位“1”的十進(jìn)制累加產(chǎn)生整數(shù)單位，通過(guò)單位“1”的十進(jìn)制細(xì)分產(chǎn)生小數(shù)單位，通過(guò)單位“1”的任意整份數(shù)均分產(chǎn)生分?jǐn)?shù)單位，這類單位序列起點(diǎn)相同、需求互補(bǔ)?！盃顟B(tài)”序列的計(jì)數(shù)單位數(shù)學(xué)意蘊(yùn)較濃，它以“0”（原點(diǎn)）為分界，創(chuàng)造、描述和記錄位于分界線左右、上下和高低等狀態(tài)，這類單位序列起點(diǎn)相同、意義相反。其次，單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則整體關(guān)聯(lián)。單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算可以分類為累加和遞減兩個(gè)方向。單位個(gè)數(shù)累加的基礎(chǔ)形式是加法運(yùn)算，遞減的基礎(chǔ)形式是減法運(yùn)算，乘、除法只是加、減法的簡(jiǎn)便和高級(jí)形式而已。需要注意的是，加法、減法運(yùn)算是相同計(jì)數(shù)單位的直接累加或遞減，乘法（除法）運(yùn)算則需要先用“單位×單位（單位÷單位）”確定新單位，再用“個(gè)數(shù)×個(gè)數(shù)（個(gè)數(shù)÷個(gè)數(shù)）”確定新個(gè)數(shù)。換個(gè)角度來(lái)看，單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算都可以拆解為“表內(nèi)加減法”和“表內(nèi)乘除法”的口算，化繁為簡(jiǎn)，由分到合，四則運(yùn)算也是內(nèi)在一致的。顯然，整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)部要素的關(guān)聯(lián)方式，有助于學(xué)生理解結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的本質(zhì)。

（二）層次性

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)經(jīng)歷從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從低級(jí)到高級(jí)的過(guò)程，一般分為橫向和縱向兩個(gè)層次。橫向?qū)哟巫⒅赝?jí)結(jié)構(gòu)的側(cè)面性理解，體現(xiàn)相關(guān)、相聯(lián)和相補(bǔ)的融合關(guān)系；縱向?qū)哟巫⒅馗叩徒Y(jié)構(gòu)的等級(jí)性理解，凸顯包容、發(fā)展和深入的遞進(jìn)關(guān)系。兩種結(jié)構(gòu)層次在一定時(shí)空里縱橫交匯、編織成網(wǎng)、架構(gòu)成體，反映了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的多樣與統(tǒng)一。

以長(zhǎng)方形的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)為例。首先，從橫向?qū)哟慰?，學(xué)生需要經(jīng)歷“認(rèn)識(shí)—測(cè)量—位置—運(yùn)動(dòng)”四個(gè)階段。具體來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)側(cè)重圖形的抽象，從外觀“長(zhǎng)長(zhǎng)方方”的簡(jiǎn)單辨認(rèn)，漸進(jìn)為“有四條邊，對(duì)邊相等”和“有四個(gè)角，都是直角”的特征概括，結(jié)構(gòu)體驗(yàn)從“定性”走向“定量”。長(zhǎng)方形的測(cè)量側(cè)重圖形的大小，既確定“一周邊線的長(zhǎng)短”，又確定“面的大小”。外“線”內(nèi)“面”，“合”而不同，但是“定單位、去測(cè)量和得結(jié)果”的度量路徑相同，結(jié)構(gòu)體驗(yàn)從“殊途”走向“同歸”。長(zhǎng)方形的位置側(cè)重圖形的定位，主要借助數(shù)對(duì)確定四個(gè)頂點(diǎn)的相對(duì)位置，對(duì)比“同行不同列”和“同列不同行”的數(shù)學(xué)信息，可以推理出長(zhǎng)方形的形狀、周長(zhǎng)和面積。結(jié)構(gòu)體驗(yàn)從“定點(diǎn)”走向“定形”。長(zhǎng)方形的運(yùn)動(dòng)側(cè)重圖形的關(guān)聯(lián)，平移“走直線”，對(duì)應(yīng)點(diǎn)、線“等距離”變化；旋轉(zhuǎn)“繞點(diǎn)轉(zhuǎn)”，對(duì)應(yīng)線“等角度”變化；軸對(duì)稱“玩對(duì)折”，對(duì)應(yīng)點(diǎn)、線“等距離”分布；放大或縮小“巧判斷”，對(duì)應(yīng)邊“等比例”變化。變中有不變，結(jié)構(gòu)體驗(yàn)從“無(wú)關(guān)”走向“相關(guān)”。其次，從縱向?qū)哟慰矗L(zhǎng)方形的學(xué)習(xí)可以下位解構(gòu)為點(diǎn)、線的關(guān)系判斷，上位重構(gòu)可以發(fā)展成長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、位置和運(yùn)動(dòng)。前后一致、上下貫通，結(jié)構(gòu)體驗(yàn)從“碎片”走向“系統(tǒng)”。顯然，縱橫交錯(cuò)的層次經(jīng)歷與深度體驗(yàn)，有助于學(xué)生結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的通透認(rèn)知。

（三）有序性

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)要素的數(shù)量比例、排列次序、結(jié)合形式以及變化規(guī)律，通常表現(xiàn)為空間上的序列呈現(xiàn)和時(shí)間上的順序認(rèn)知。序列呈現(xiàn)剖析知識(shí)“從哪來(lái)，到哪去”，側(cè)重學(xué)習(xí)的邏輯性、歸屬性和等級(jí)性，“科學(xué)的數(shù)學(xué)”意蘊(yùn)較濃。順序認(rèn)知經(jīng)歷知識(shí)“先學(xué)誰(shuí)，再學(xué)誰(shuí)”，側(cè)重學(xué)習(xí)的規(guī)劃性、生成性和層次性，“育人的數(shù)學(xué)”目標(biāo)明確。

以“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)為例。首先，從序列呈現(xiàn)看，“表內(nèi)乘法和除法”“除數(shù)是一位數(shù)的除法”和“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是必要前提。在口算除法中，整十?dāng)?shù)、整百數(shù)除以整十?dāng)?shù)可以轉(zhuǎn)化成表內(nèi)除法，單位大小雖然發(fā)生改變，但是個(gè)數(shù)運(yùn)算的過(guò)程完全相同。在筆算除法中，雖然被除數(shù)的前幾位數(shù)隨除數(shù)的大小在動(dòng)態(tài)調(diào)整，但是“除到哪一位，商寫(xiě)在那一位上”和“余數(shù)必須比除數(shù)小”的運(yùn)算規(guī)則一脈相承。后續(xù)學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容有“小數(shù)乘法和除法”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”和“比的基本性質(zhì)”，結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)、對(duì)比和互補(bǔ)的意圖明顯。其次，從順序認(rèn)知看，一般先學(xué)口算，再學(xué)筆算；先學(xué)商是一位數(shù)的，再學(xué)商是兩位數(shù)的；先學(xué)沒(méi)有余數(shù)的，再學(xué)有余數(shù)的；先學(xué)不調(diào)商的，再學(xué)要調(diào)商的；先學(xué)正確求商的方法，再探究商不變規(guī)律。但是，不同版本教材的編排又各具特色。對(duì)于口算除法，人教版教材注重口算與估算的結(jié)構(gòu)對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“被除數(shù)稍大一點(diǎn)，除數(shù)不變”或者“被除數(shù)不變，除數(shù)稍大一點(diǎn)或稍小一點(diǎn)”，以形成估算認(rèn)知；青島版教材注重將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為口算，引導(dǎo)學(xué)生得出“往大看298 噸，看成300 噸，6 次能運(yùn)完。實(shí)際要運(yùn)的比300噸少，所以6次肯定能運(yùn)完”，凸顯推理意識(shí)。在筆算除法中，同樣是“四舍五入”求商，蘇教版教材注重“線性遞進(jìn)”，從“一試就準(zhǔn)”到“先試再調(diào)”，助力結(jié)構(gòu)順應(yīng)；人教版教材注重“板塊推進(jìn)”，從“四舍試調(diào)”到“五入試調(diào)”，達(dá)成結(jié)構(gòu)同化。顯然，有序性的深刻解讀與生動(dòng)演繹，有助于學(xué)生結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的精準(zhǔn)表征。

（四）穩(wěn)定性

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)具有自我調(diào)節(jié)、自我組織和自我更新的特質(zhì)，它的穩(wěn)定性是相對(duì)的，表現(xiàn)為階段封閉、有序擴(kuò)張和前后一致，最終凝練為結(jié)構(gòu)認(rèn)知的確定性。概念、判斷和推理是結(jié)構(gòu)認(rèn)知的基本形式。概括和抽象事物的本質(zhì)屬性形成概念，區(qū)分和識(shí)別事物的各種關(guān)系用于判斷，從已知判斷得到未知判斷依靠推理實(shí)現(xiàn)。三者共同作用，可培育學(xué)生的理性精神。

以“認(rèn)識(shí)三角形”的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)為例。首先，從概念建構(gòu)來(lái)看，在線段和角的認(rèn)知基礎(chǔ)上，逐步揭示三角形內(nèi)涵——“三條線段首尾相接圍成的圖形”，刻畫(huà)圖形的空間本質(zhì)；在垂線的認(rèn)知基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)三角形的高，感受頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離唯一，間接反映“三個(gè)頂點(diǎn)不在同一條直線上”的要求，明確點(diǎn)的空間位置。其次，從關(guān)系判斷來(lái)看，一是邊的長(zhǎng)短關(guān)系，通過(guò)數(shù)據(jù)收集、整理和對(duì)比，發(fā)現(xiàn)“兩條短邊長(zhǎng)度之和大于第三條邊”的簡(jiǎn)化判斷，確定邊的空間關(guān)系，并知道如果“等于”或“小于”，則對(duì)應(yīng)判斷“三邊一條線”或“三邊有缺口”；二是角的大小關(guān)系，通過(guò)測(cè)量、折合、撕拼，發(fā)現(xiàn)三角形的形狀、大小不一樣，但是內(nèi)角和的總量不變，凸顯角的空間構(gòu)造。最后，從推理意識(shí)來(lái)看，一是標(biāo)準(zhǔn)的建立，在求多邊形的內(nèi)角和時(shí)，選用1°的角作標(biāo)準(zhǔn)，可以先測(cè)量多邊形每個(gè)角的角度再累加，但是這種方法難以避免誤差且過(guò)程復(fù)雜；選用360°的圖形作標(biāo)準(zhǔn)，則會(huì)出現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行不徹底的情況；選用180°的圖形作標(biāo)準(zhǔn)，可以將n邊形解構(gòu)成（n-2）份，標(biāo)準(zhǔn)前后貫通，推理意識(shí)得以激活。二是標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)用，除了從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造出（n-2）個(gè)三角形，也可以從邊上任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）出發(fā)構(gòu)造出（n-1）個(gè)三角形，還可以在多邊形內(nèi)部任意一點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造出n個(gè)三角形，構(gòu)造形式不一樣，但是（n-2）×180°=（n-1）×180°-180°=n×180°-360°，內(nèi)在道理卻相通。至此，學(xué)生的推理意識(shí)得以盤(pán)活。顯然，結(jié)構(gòu)認(rèn)知的路徑塑化和提質(zhì)增值，有助于學(xué)生結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的素養(yǎng)達(dá)成。

二、結(jié)構(gòu)性化學(xué)習(xí)“問(wèn)題在哪里”

通過(guò)課堂觀察、案例分析和梳理歸類，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)存在整體視域缺乏、層次聯(lián)結(jié)缺失、有序表征缺位和穩(wěn)定評(píng)價(jià)缺席等情況，這些問(wèn)題容易造成學(xué)生結(jié)構(gòu)認(rèn)知“不全面”、結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)“不通透”、結(jié)構(gòu)理解“不充分”和結(jié)構(gòu)反思“不靈動(dòng)”。問(wèn)題是挑戰(zhàn)，也是機(jī)遇，客觀記錄有助于聚焦和剖析。

（一）整體視域缺乏，結(jié)構(gòu)認(rèn)知“不全面”

整體觀念是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和常識(shí)，更是一種要求和高度，主要表現(xiàn)為全局視域、系統(tǒng)思維和多元表征。目前，課堂教學(xué)上出現(xiàn)了一些行為偏差，比如在“用數(shù)對(duì)確定位置”的教學(xué)中，注重知識(shí)形式，強(qiáng)調(diào)“先列后行”以及逗號(hào)、小括號(hào)的書(shū)寫(xiě)規(guī)則，忽視“平面上點(diǎn)的位置與數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)”的內(nèi)容本質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)生的結(jié)構(gòu)認(rèn)知“不得要領(lǐng)”；在“認(rèn)識(shí)2、3、5 的倍數(shù)”的教學(xué)中，注重結(jié)果運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)“只看個(gè)位上數(shù)的特征，判斷2 和5 的倍數(shù)”或“要看各數(shù)位上數(shù)字之和的特征，判斷3 的倍數(shù)”，忽視“十進(jìn)制計(jì)數(shù)結(jié)構(gòu)分析”的原因探尋，導(dǎo)致學(xué)生的結(jié)構(gòu)認(rèn)知“不講道理”；在“圓的面積”教學(xué)中，注重靜態(tài)接受，強(qiáng)調(diào)“把圓轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方形計(jì)算面積”，忽視“還可以將圓轉(zhuǎn)化成三角形、梯形等”的動(dòng)態(tài)建構(gòu)，導(dǎo)致學(xué)生的結(jié)構(gòu)認(rèn)知“不見(jiàn)主體”。除此之外，注重階段結(jié)論，忽視全程體驗(yàn)，導(dǎo)致學(xué)生的結(jié)構(gòu)認(rèn)知“不能關(guān)聯(lián)”；注重學(xué)科知識(shí)，忽視實(shí)踐運(yùn)用，學(xué)生的結(jié)構(gòu)認(rèn)知“不可持續(xù)”等問(wèn)題也比較突出。顯然，缺乏整體視域的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)容易催生自學(xué)虛化、探究虛弱和結(jié)論虛設(shè)等問(wèn)題，學(xué)生的結(jié)構(gòu)認(rèn)知不深入在所難免。

（二）層次聯(lián)結(jié)缺失，結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)“不通透”

層次聯(lián)結(jié)是知識(shí)結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)的需要，雖然存在縱橫之別，但是建構(gòu)邏輯是前后一致、螺旋上升和緊密聯(lián)系的。目前，課堂上出現(xiàn)了一些教學(xué)誤區(qū)，比如在“度量單位”專題中，長(zhǎng)度描述空間距離，定量指向一維空間，但是“毫米、厘米、分米和米”相鄰單位之間的進(jìn)率是10，“米和千米”之間的進(jìn)率卻是1000，進(jìn)率不統(tǒng)一造成學(xué)生認(rèn)知困擾，學(xué)習(xí)時(shí)若僅從生活情景建構(gòu)，結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)將“形式單一”；面積描述物體表面大小，定量指向二維空間，這里存在兩個(gè)不統(tǒng)一，一是“公頃”單位的形式，二是面積單位的進(jìn)率，學(xué)習(xí)時(shí)若僅從現(xiàn)有概念出發(fā)，結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)將“浮于表面”；體積描述物體所占空間大小，量化指向三維空間，雖然常用體積單位之間的進(jìn)率相對(duì)統(tǒng)一，但是進(jìn)率產(chǎn)生的原因未能深究，學(xué)習(xí)若僅從有限對(duì)象開(kāi)展，結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)將“就事論事”。該如何改進(jìn)教學(xué)？如圖1 所示，可以增加“十米”“百米”“平方十米”和“平方百米”等單位縫合結(jié)構(gòu)斷層，可以增加“立方十米”“立方百米”和“立方千米”延續(xù)結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)，這樣以國(guó)際單位制基本單位“米”為起點(diǎn)，橫向有序、縱向?qū)?yīng)、渾然一體，辯證共識(shí)“數(shù)學(xué)創(chuàng)造的嚴(yán)謹(jǐn)性”與“生活實(shí)踐的適用性”。顯然，缺失層次聯(lián)結(jié)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)容易催生感知斷片、體驗(yàn)斷序和認(rèn)知斷層等問(wèn)題，結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)不通透如影隨形。

圖1 長(zhǎng)度、面積和體積單位之間的縱橫結(jié)構(gòu)

（三）有序表征缺位，結(jié)構(gòu)理解“不充分”

有序表征是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的操作關(guān)鍵，需要處理好“序列呈現(xiàn)”和“順序認(rèn)知”的客觀矛盾，以便充分理解數(shù)量關(guān)系和空間形式。目前，課堂上出現(xiàn)了一些紊亂行為，比如在學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”時(shí)，學(xué)生一般需要經(jīng)歷“自然結(jié)構(gòu)”和“加工結(jié)構(gòu)”兩個(gè)層次，前者側(cè)重運(yùn)算與概念的吻合，C=a+b+a+b的表征形式相對(duì)原始和生態(tài)，結(jié)構(gòu)理解“表里如一”；后者側(cè)重將運(yùn)算對(duì)象進(jìn)行分類和加工，C=a× 2 +b× 2 以對(duì)邊相等為標(biāo)準(zhǔn)，C=(a+b) × 2 以鄰邊長(zhǎng)度和相等為標(biāo)準(zhǔn)，表征形式逐漸概括和精密，結(jié)構(gòu)理解“另辟蹊徑”。知識(shí)還有“歷史結(jié)構(gòu)”和“現(xiàn)代結(jié)構(gòu)”之分，它們也需要有序表征，比如在“三角形的面積”學(xué)習(xí)中，先經(jīng)歷“用兩個(gè)完全一樣的三角形拼接成一個(gè)平行四邊形”，在確認(rèn)“等底等高”和“倍拼轉(zhuǎn)化”的基礎(chǔ)上，再推理得到S=a×h÷ 2，這是“現(xiàn)代結(jié)構(gòu)”，結(jié)構(gòu)理解“有理有據(jù)”；教師還可以引導(dǎo)學(xué)生積極閱讀、欣賞和對(duì)比劉徽“以盈補(bǔ)虛”的方法，體會(huì)“等底半高”“半底等高”的“等積轉(zhuǎn)化”，再推理得到S=a×(h÷ 2) 或S=(a÷ 2) ×h，這是“歷史結(jié)構(gòu)”，結(jié)構(gòu)理解“殊途同歸”。應(yīng)該說(shuō)，準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、抽象是有序表征的必然走向，過(guò)程蘊(yùn)含著“更大的普遍性、更大的嚴(yán)格性、更大的簡(jiǎn)單性”的價(jià)值訴求。但是，將“加工結(jié)構(gòu)”和“現(xiàn)代結(jié)構(gòu)”作為學(xué)習(xí)的唯一目標(biāo)，輕視“自然結(jié)構(gòu)”和“歷史結(jié)構(gòu)”的獨(dú)特價(jià)值，將“主角”降格為“配角”，將“互補(bǔ)”誤認(rèn)為“取代”，這樣的想法不成熟，做法不可取。顯然，缺位有序表征的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)容易催生急功近利、丟失源頭活水、忽視對(duì)比體驗(yàn)等問(wèn)題，結(jié)構(gòu)理解不充分的情況接踵而至。

（四）穩(wěn)定評(píng)價(jià)缺席，結(jié)構(gòu)反思“不靈動(dòng)”

穩(wěn)定評(píng)價(jià)是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的節(jié)奏調(diào)控，是一種認(rèn)知覺(jué)醒前提下的動(dòng)態(tài)決策，旨在引發(fā)知識(shí)的本質(zhì)探尋、過(guò)程體驗(yàn)和反思內(nèi)化。目前，課堂上出現(xiàn)了一些僵化行為。

比如在“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)中，只是延續(xù)低年級(jí)“份數(shù)思想”表征分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)，認(rèn)為“分一分”就是確定總份數(shù)和分母，“數(shù)一數(shù)”就是確定表示的份數(shù)和分子，這是典型的“熱鍋炒冷飯”。分?jǐn)?shù)的意義不局限于此，應(yīng)從“份數(shù)思想”漸進(jìn)為“單位思想”，并尋求兩種思想之間的對(duì)應(yīng)聯(lián)系，以獲得分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位累加的結(jié)構(gòu)新體驗(yàn)，達(dá)成數(shù)認(rèn)識(shí)的一般性，否則結(jié)構(gòu)反思“居于一隅”，后續(xù)的假分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)寸步難行。

又如，在“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形”學(xué)習(xí)中，對(duì)于“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”的關(guān)系判斷，不能止于直觀猜測(cè)、接受結(jié)論和機(jī)械記憶，否則結(jié)構(gòu)反思“層級(jí)失調(diào)”。對(duì)此，需要先確定“屬加種差”定義中的“屬”，即長(zhǎng)方形“對(duì)邊相等”和“四個(gè)直角”，再確定正方形“長(zhǎng)寬相等”這個(gè)“種差”，并用集合圖逐步展示包含關(guān)系。

再如，在“可能性”的相關(guān)知識(shí)中，“一定”和“不可能”是極端狀態(tài)，推理結(jié)果是必然的，“可能”是中間狀態(tài)，只要袋中有紅球就有可能摸到紅球，但是摸到紅球的可能性大小不能僅僅通過(guò)摸后的數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單推理，因?yàn)榭赡苄源笮∈怯擅凹t球數(shù)量的占比來(lái)定性的，在頻次較少的操作下，可能性大小的規(guī)律是或然的，不具備定量刻畫(huà)的界定功能，結(jié)構(gòu)反思就會(huì)“搖擺不定”。

綜上，缺席穩(wěn)定評(píng)價(jià)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)容易催生概念窄化、判斷無(wú)力和推理失衡等問(wèn)題，結(jié)構(gòu)反思“不靈動(dòng)”。

三、結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)“可以怎么做”

數(shù)學(xué)課程以結(jié)構(gòu)化的方式呈現(xiàn)，以主題式的情境推進(jìn)，折射出學(xué)科的本質(zhì)特征和學(xué)生的發(fā)展需求。結(jié)構(gòu)化理念下的課堂實(shí)踐，需要參與者著眼整體視域、著力層次聯(lián)結(jié)、著手有序表征和著重穩(wěn)定評(píng)價(jià)，努力實(shí)現(xiàn)求同存異“看明白”、縱橫開(kāi)合“想清楚”、取長(zhǎng)補(bǔ)短“融到位”和深入淺出“帶得走”。這種學(xué)習(xí)行為和價(jià)值取向，既是認(rèn)知的自然回歸，也是理性的必然超越。

（一）著眼整體視域，求同存異“看明白”

鄭樂(lè)雋教授在《數(shù)學(xué)思維》一書(shū)中提出“數(shù)學(xué)是由它的研究方法來(lái)定義的，而它的研究對(duì)象則是那些研究方法決定的”，并強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)研究的方法是邏輯，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指向思維規(guī)律，需要經(jīng)歷“抽象化”和“廣義化”兩個(gè)完整過(guò)程。具體而言，抽象化是一個(gè)由多變少、由外到內(nèi)、由個(gè)性到共性的概括，它可以將看似不相關(guān)的研究對(duì)象，經(jīng)過(guò)邏輯方法的有序梳理使結(jié)構(gòu)變得“大同小異”。比如，在“商不變的性質(zhì)”“小數(shù)的基本性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“比的基本性質(zhì)”和“比例的基本性質(zhì)”的學(xué)習(xí)中，可以根據(jù)“商不變的性質(zhì)”說(shuō)明“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，看明白除法算式與分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)；可以依據(jù)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”涵蓋“小數(shù)的基本性質(zhì)”，看明白分?jǐn)?shù)和小數(shù)的結(jié)構(gòu)兼容；可以通過(guò)“比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值分別相當(dāng)于除法算式或分?jǐn)?shù)中的什么”看明白除法算式、分?jǐn)?shù)和比的結(jié)構(gòu)互動(dòng)；可以運(yùn)用“比的基本性質(zhì)”推理“比例的基本性質(zhì)”，看明白比和比例的結(jié)構(gòu)依存。這樣，小學(xué)階段“數(shù)與運(yùn)算”中的五種基本性質(zhì)得以完整建構(gòu)，如圖2 所示。廣義化是基于熟知的研究對(duì)象和相同的邏輯方法，去建構(gòu)更為復(fù)雜、豐富和一般的研究對(duì)象，可以鏈接生活或數(shù)學(xué)，讓結(jié)構(gòu)變得“根深葉茂”。比如，“數(shù)與式”“方程與不等式”以及函數(shù)的后續(xù)探究體驗(yàn)便是如此。

圖2 “數(shù)與運(yùn)算”中五種基本性質(zhì)的結(jié)構(gòu)圖

（二）著力層次聯(lián)結(jié)，縱橫開(kāi)合“想清楚”

如果整體視域是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)寬度上的追求，指向“如何看”，那么層次聯(lián)結(jié)可以算是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)深度上的探索，著力“怎么想”。但是，要將研究對(duì)象的層次縱橫開(kāi)合想清楚，并非一朝一夕可以完成，需要長(zhǎng)程思考。

首先，橫向融合，形成“知識(shí)鏈”。以“統(tǒng)計(jì)與概率”為例，“數(shù)據(jù)分類”是前提，從實(shí)物到數(shù)據(jù)，引入研究對(duì)象；“數(shù)據(jù)收集、整理與表達(dá)”是主體，先收集匯總，再分段整理，最后用統(tǒng)計(jì)圖表、平均數(shù)和百分?jǐn)?shù)多樣化表達(dá)，數(shù)據(jù)分析側(cè)重觀察、歸納和檢驗(yàn)；“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”是后續(xù)，改變角度用數(shù)據(jù)“說(shuō)話”，雖然數(shù)據(jù)分析側(cè)重檢驗(yàn)、演繹和推論，但是激發(fā)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)目標(biāo)始終未變。

其次，縱向拉伸，整理成“知識(shí)包”。以“三位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)需要“兩位數(shù)的乘法”和“一位數(shù)的乘法”等下位知識(shí)的支撐，也需要“數(shù)的組成”“10 及其冪的乘法”“位值制概念”和“乘法分配律”等通用方法的對(duì)接；結(jié)構(gòu)進(jìn)階離不開(kāi)“兩位數(shù)的乘法”的橋梁樞紐，也離不開(kāi)“位值制概念”的本質(zhì)助力。這樣，從算法到算理，從過(guò)程到概念，學(xué)生的推理意識(shí)得到培育。

最后，縱橫貫通，構(gòu)成“知識(shí)塊”。以度量的學(xué)習(xí)為例，無(wú)論是線、面、體，或是物體質(zhì)量、時(shí)間等，“定單位、數(shù)個(gè)數(shù)和得結(jié)果”是學(xué)習(xí)三部曲，其中單位定制側(cè)重需求激發(fā)、標(biāo)準(zhǔn)建立和相互聯(lián)系，單位個(gè)數(shù)側(cè)重一般確認(rèn)到巧妙計(jì)算的過(guò)渡，結(jié)果表達(dá)側(cè)重比較、選擇和應(yīng)用。厘清了度量板塊的路徑，才能透過(guò)形式看到問(wèn)題本質(zhì)，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的量感。

（三）著手有序表征，取長(zhǎng)補(bǔ)短“融到位”

尊重、信任和依靠學(xué)生自我發(fā)展，說(shuō)到底就是經(jīng)驗(yàn)的激活、調(diào)用和深化。經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)隱性決定了表征的外顯差異，如能將差異變成資源，取長(zhǎng)補(bǔ)短、思維融合，結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)必然充實(shí)、充足和充分。

首先，融通階段表征，凸顯“是什么”。以“數(shù)的認(rèn)識(shí)”為例，低年級(jí)時(shí)通常采用“對(duì)應(yīng)的方法”來(lái)認(rèn)數(shù)，分為感性具體（實(shí)物操作）→感性一般（對(duì)數(shù)量本身的抽象）→理性具體（從數(shù)量到數(shù)的抽象）→理性一般（用字母表示數(shù)）四個(gè)階段，每個(gè)階段抽象的層次不同；高年級(jí)時(shí)通常采用“邏輯的方法”來(lái)認(rèn)數(shù)，比如十個(gè)千是一萬(wàn)，十個(gè)千萬(wàn)是一億，大數(shù)的認(rèn)識(shí)依靠推理，而非抽象。但是，不管是抽象還是推理，數(shù)就是一個(gè)一個(gè)“大”起來(lái)，一個(gè)一個(gè)數(shù)上去，這種數(shù)感前后一致。

其次，融洽多元表征，突出“為什么”。以“數(shù)的運(yùn)算”為例，有操作小棒的體驗(yàn)表征，算理清晰；有分步計(jì)算的符號(hào)表征，程序充分；有分塊運(yùn)算的圖形表征，結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)；還有豎式記錄的言語(yǔ)表征，算法合理?？梢钥闯?，豎式計(jì)算是一種加工的結(jié)構(gòu)，有了其他形式的表征聯(lián)通和佐證，能夠平衡“怎么想”“怎么擺”和“怎么算”，推理意識(shí)滲透于無(wú)形。

最后，融解拓展表征，凸顯“還有什么”。比如，靜態(tài)解決的問(wèn)題能否動(dòng)態(tài)思考，算術(shù)思維解決的問(wèn)題能否用代數(shù)思維替換，數(shù)形問(wèn)題能否合理轉(zhuǎn)化并巧妙解決，常態(tài)方法解決的問(wèn)題能否創(chuàng)新解決方法，等等。只有不斷地追問(wèn)和探究，結(jié)構(gòu)思維才有發(fā)散的機(jī)會(huì)，結(jié)構(gòu)認(rèn)知才有突破階段封閉的可能，從而增進(jìn)對(duì)原有結(jié)構(gòu)的理解。

（四）著重穩(wěn)定評(píng)價(jià)，深入淺出“帶得走”

結(jié)構(gòu)化評(píng)價(jià)是比結(jié)構(gòu)化觀察、結(jié)構(gòu)化思考和結(jié)構(gòu)化表征更高階的一種認(rèn)知能力，演繹學(xué)得透、用得上和帶得走的認(rèn)知水平。一般情況下，結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)需要關(guān)注兩個(gè)維度，即基本原則和基本態(tài)度，這是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的階段成果，也是將數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作為工具孵化為核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路，具有承上啟下、繼往開(kāi)來(lái)的效用。具體而言，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基本原則包含基本概念、原理和規(guī)則等，因?yàn)樵砗鸵?guī)則都事出有因，所以概念之間相互關(guān)聯(lián)是必然的、系統(tǒng)的和穩(wěn)定的。這樣，數(shù)學(xué)實(shí)體知識(shí)存在“特殊標(biāo)準(zhǔn)”——正確性、有意義和關(guān)聯(lián)度，就不足為怪了。當(dāng)下教學(xué)就需要緊扣這些標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地去“觀察與比較”以進(jìn)行發(fā)現(xiàn)式的學(xué)習(xí)，或者注重“需求與創(chuàng)造”以進(jìn)行發(fā)明式的學(xué)習(xí)，使每一個(gè)人都能卷入其中，“像專家一樣思考”，為評(píng)價(jià)積累素材、積蓄力量和積淀思想。至于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基本態(tài)度，馬立平教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》一書(shū)中提出，它比數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基本原則更深入人心。比如，“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)”“用數(shù)學(xué)證明一個(gè)論斷”“在各種情景中保持概念的一致性”“用多種方法處理一個(gè)問(wèn)題”和“轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題常用的策略”等，可以看出，基本態(tài)度可以關(guān)聯(lián)和貫穿到每一個(gè)專題，但是基本原則卻不能。更進(jìn)一步，如果評(píng)價(jià)還能涉及“為什么存在？”“為什么選擇？”“為什么重要？”等本源性問(wèn)題，也許就能觸摸到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的底層邏輯，有效避免“高評(píng)價(jià)、低運(yùn)用”的尷尬局面。

總而言之，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》以結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)為突破口，注重結(jié)構(gòu)的生成、關(guān)聯(lián)和拓展，培育學(xué)生結(jié)構(gòu)地觀察、思考和表征，從低階思維逐漸走向高階思維，直至學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)化地評(píng)價(jià)。這條路徑是明確的，但是要辯證“學(xué)的主體”和“教的主導(dǎo)”，辨嘗“自主學(xué)習(xí)”和“合作探究”，辨別“學(xué)科知識(shí)”和“學(xué)科素養(yǎng)”……萬(wàn)不能用力過(guò)猛、矯枉過(guò)正，將“結(jié)構(gòu)主張”異化為“結(jié)構(gòu)主義”，丟失了育人的陣地和真諦。