胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué),甘肅 白銀 730900)

圓錐曲線綜合題中的定直線問題較為復(fù)雜,其解題方法也是多種多樣.求動點坐標證明動點在定直線上,運算量較大,屬于一類難度較大的問題.本文從2023年的一道高考題入手,對這一問題再研究.

1 試題再現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于點P.證明:點P在定直線上.

這是一道直線與圓錐曲線綜合題,考查了計算能力、轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力,考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).(1)由題意求得a,b的值即可確定雙曲線方程;(2)雙曲線方程中的定直線問題,根據(jù)設(shè)而不求的思想,可用韋達定理法、非對稱結(jié)構(gòu)韋達定理轉(zhuǎn)化法、點乘雙根法、定比點差法、交軌法探析.

2 追根溯源

以極點與極線理論為背景,如果把點P作為該雙曲線的極點,那么它對應(yīng)的極線必然過(-4,0),根據(jù)極點極線的對偶性質(zhì),極線共點,則極點必共線,故點P必在一條定直線上,這條直線即點(-4,0)的極線x=-1.

3 解法探析

下面對(2)進行解法探析.

解法1 ( 韋達定理法)由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

x1<-2且x2<-2.

顯然直線的斜率不為0.

所以設(shè)直線MN的方程為

(4m2-1)y2-32my+48=0,

且△=64(4m2+3)>0.

圖1 第(2)問解析圖

即xP=-1.

據(jù)此可得點P在定直線x=-1上運動.

評注聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程,得到一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系同位置關(guān)系相結(jié)合來求解,是通解通法[1].

解法2 (非對稱結(jié)構(gòu)韋達定理轉(zhuǎn)化法)由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0).

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

x1<-2且x2<-2.

顯然直線的斜率不為0.

所以設(shè)直線MN的方程為

(4m2-1)y2-32my+48=0,

且△=64(4m2+3)>0.

所以2my1y2=3(y1+y2).

即xP=-1.

據(jù)此可得點P在定直線x=-1上運動.

評注遇到非對稱結(jié)構(gòu)表達式時,可以通過x1+x2,x1x2整體關(guān)系,得出x1x2=λ(x1+x2)+μ,和積轉(zhuǎn)換成對稱結(jié)構(gòu)的形式,應(yīng)用韋達定理處理.本題亦可由

=-1.

解法3 (點乘雙根法)由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

x1<-2且x2<-2.

兩邊平方,得

即xP=-1.

若過點(-4,0)的直線的斜率存在,不妨設(shè)直線MN的方程為y=k(x+4),

(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=0.

因為x1,x2是方程(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=0的兩個根,

所以(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=(4-k2)(x1-x)(x2-x).

(*)

在(*)式中令x=-2,得

(4-k2)4+16k2-16k2-16=(4-k2)(x1+2)·(x2+2).

即-4k2=(4-k2)(x1+2)(x2+2).

在(*)式中令x=2,得

(4-k2)4-16k2-16k2-16=(4-k2)(x1-2)·(x2-2).

即-36k2=(4-k2)(x1-2)(x2-2).

可得x=-1.

即xP=-1.

據(jù)此可得點P在定直線x=-1上運動.

二次函數(shù)的雙根式y(tǒng)=ax2+bx+c=a(x-x1)·(x-x2),通過雙根式來解決解析幾何中涉及(x-x1)(x-x2)的問題,可以減少計算量[2].

即x1+λx2=-4(1+λ),y1+λy2=0.

因為M,N在雙曲線上,

兩式相減,得

所以-(x1-λx2)=1-λ.

又x1+λx2=-4(1+λ),

所以x=-1.

即xP=-1.

據(jù)此可得點P在定直線x=-1上運動.

解法5 (交軌法)由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),T(-4,0),則

x1<-2且x2<-2.

直線MA1的方程為x=my-2,

直線NA2的方程為x=ny+2,

(4m2-1)y2-16my=0.

顯然4m2-1≠0,

(4n2-1)y2+16my=0.

顯然4n2-1≠0,

由題意,M,T,N三點共線.

當MN⊥x軸時,|A1A2|=2|A1T|,所以A1是△A2MN的重心,從而P是線段A2N的中點,P的橫坐標為-1.

當MN不垂直x軸時,kMN=kMT,即

即(4m2-1)(3m+n)=0.

所以3m+n=0.

由x=my-2,x=ny+2,得

3x+x=(3m+n)y-4.

所以x=-1.

即xP=-1.

據(jù)此可得點P在定直線x=-1上運動.

評注求兩條直線交點的軌跡常用交軌法,先寫出兩條直線的方程,然后尋求它們之間的關(guān)系.

4 結(jié)束語

圓錐曲線綜合問題是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的有效載體,充分考查了學(xué)生靈活應(yīng)用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.縱觀2023年Ⅱ卷的解析幾何試題,運算量比較大,而且直線MA1,NA2的交點P的橫坐標表達式形式不對稱,直接代入計算將無法求解,需要對根與系數(shù)關(guān)系進行局部轉(zhuǎn)換,構(gòu)造對稱的形式進行化簡求解.由于解析幾何解答題綜合性強,代數(shù)推理要求高,解題過程中復(fù)雜冗長的運算不可避免,在復(fù)習(xí)備考中,要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注代數(shù)的本質(zhì)———結(jié)構(gòu)特征,多想少算,培養(yǎng)學(xué)生嚴謹、耐心細致的運算習(xí)慣,從而提高運算求解能力,發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).