陳禮弦

(貴州省貴安新區(qū)普貢中學(xué),貴州 貴安新區(qū) 561113)

與線段之和或差有關(guān)的幾何最值問題是中考熱點,通常以中考壓軸題的形式出現(xiàn),具有一定的選拔性功能,對學(xué)生而言具有一定的難度.這類問題是教學(xué)的難點,是核心素養(yǎng)的重點考查對象[1].在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師該如何引導(dǎo)學(xué)生利用“兩點之間線段最短”解決最值問題呢?根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗,只要弄清三個數(shù)學(xué)模型,學(xué)生在解決這類問題時便會收到事半功倍之效.

1 模型1 “一線兩點”型

1.1 利用“兩點之間線段最短”求線段和的最小值

1.1.1點在直線兩側(cè)時,線段和的最小值問題

例1 如圖1,兩定點C、D位于直線a兩側(cè),在直線a上找一點M,使得MC+MD的值最小.

圖1 點在線段兩側(cè)示意圖

解析如圖2,連接CD交直線a于點M,點M就是所找的點.理由是“兩點之間線段最短”.

1.1.2點在直線同側(cè)時,線段和的最小值問題

例2 如圖3,兩定點C、D位于直線a的同側(cè),在直線a上找一點M,使得MC+MD的值最小.

圖3 點在直線同側(cè)示意圖

解析如圖4,作點D關(guān)于直線a的對稱點D′,連接CD′與直線a交于點M,點M就是所找的點.顯然,將直線a同側(cè)兩個定點轉(zhuǎn)化為兩側(cè)兩個定點,便可以利用點在直線兩側(cè)時線段和的最小值問題的處理方法解決最值問題.

1.1.3模型應(yīng)用

例3 如圖5,已知△DEF中,DE=DE,GH是DE的垂直平分線,M是GH上一動點,點N是EF的中點,如果DE=13,△DEF的周長是36,求EM+MN的最小值.

圖5 例3題圖

1.2 利用“兩點之間線段最短”求線段差最大值

1.2.1點在直線同側(cè)時,線段差的最大值問題

例4 如圖7,兩定點M,N位于直線b的同側(cè),在直線b上找一點H,使得|HM-HN|的值最大.

圖7 點在直線同側(cè)示意圖

解析如圖8,連接MN并延長與直線b交于點H,點H就是所找的點.

1.2.2點在直線兩側(cè)時,線段差的最大值問題

例5 如圖9,兩定點B,C位于直線l的兩側(cè),在直線n上找一點M,使得︱MB-MC|的值最大.

圖9 點在直線兩側(cè)示意圖

解析如圖10,作點C關(guān)于直線n的對稱點C′,連接BC′并延長與直線n交于點M,點M就是所找的點.顯然,將已知直線兩側(cè)的兩個定點轉(zhuǎn)化為同側(cè)的兩個定點,便可以用同側(cè)線段差最大值的方法解決問題.

1.2.3模型應(yīng)用

例6 如圖11,在正方形DEFG中,DE=6,點I是對角線EG上靠近點E的三等分點,點H是DG邊上的一點,且GH=2.J為EF上一點,連接JH、JI.

圖11 例6題圖

①在圖中畫JH-JI的最大值時點J的位置(為區(qū)分點J,請用字母J’標(biāo)記);

②求JH-JI的最大值.

解析如圖12,連接HI并延長交BC于點J′,則點J′即為所求作的點.

2 模型2 “一定兩線”型

2.1 利用“兩點之間線段最短”求周長最小值

例7 如圖13,點D是∠BOC的內(nèi)部一定點,在OB上找一點N,在OC上找一點M,使得△DMN的周長最小.

圖13 例7題圖

解析如圖14,分別作點D關(guān)于OB、OC的對稱點D′、D″,連接D′D″,交OB、OC于點N、M,點N、M便是所找的點.

2.2 利用“兩點之間線段最短”求線段和的最小值

例8 如圖15,點M是∠DEF的內(nèi)部一定點M,在ED上找一點A,在EF上找一點B,使得MB+AB的值最小.

圖15 例8題圖

解析如圖16,作點M關(guān)于EF的對稱點M′,過點M′作ED的垂線,分別與ED、EF交于點A、B,點A、B是所找的點.

2.3 模型應(yīng)用

例9 如圖17,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,DC=6,BC=8,DE是∠BDC的平分線.若M、N分別是DC、DE上的動點,求NC+NM的最小值.

圖17 例9題圖

3 模型3 “一定長,兩定點”型

3.1 異側(cè)線段和最小值問題

例10 如圖19,已知直線a∥b,直線a和直線b之間距離為c,在直線a和直線b上分別找點A、B兩點,使AB⊥a,且MA+AB+BN的值最小.

圖19 例10題圖

解析如圖20,將點M向下平移c個單位到M′,連接M′N交直線b于點B,過點B作BA⊥l1于點A,點A、B兩點是所找的點.

3.2 同側(cè)線段和的最小值問題

例11 如圖21,在直線a上找A、B兩點(A在B左側(cè)),使得AB=k,且MA+AB+BN的值最小.

圖21 例11題圖

解析如圖22,將點M向右平移k個單位到點M′,作點M′關(guān)于直線a的對稱點M″,連接M″N交直線a于點B,將點B向左平移k個單位到點A,A、B兩點是所找的點.

4 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷并弄清“一線兩點”型、“一定兩線”型、“一定長,兩定點”型最值問題的求解方法,不僅能夠提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,而且能夠使教師的教學(xué)效果達到“教是為了不教”之目的[2].