許 磊, 張維聲, 朱 寶, 郭 旭

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系, 遼寧 大連 116024)

0 引 言

近幾十年來,結(jié)構(gòu)設(shè)備和電子器件的聲學(xué)性能逐漸成為工程設(shè)計(jì)中的一個(gè)研究熱點(diǎn)．隨著聲學(xué)器件的性能需求的提升,相關(guān)設(shè)計(jì)問題也不斷面臨新的挑戰(zhàn)．

為了滿足聲學(xué)設(shè)計(jì)要求,拓?fù)鋬?yōu)化[1-3]已被廣泛地應(yīng)用于聲學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)中．2007年,Yoon等[4]提出了一種混合有限元公式,并結(jié)合變密度法(SIMP)有效地解決了材料在結(jié)構(gòu)域與聲學(xué)域之間的平穩(wěn)過渡,實(shí)現(xiàn)了參考域內(nèi)的聲壓水平最小化設(shè)計(jì)．Du等[5]考慮了結(jié)構(gòu)與周圍聲學(xué)介質(zhì)間發(fā)生耦合作用,通過對(duì)無阻尼振動(dòng)雙材料彈性結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)湓O(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)振動(dòng)傳遞到聲介質(zhì)的聲能最小化．Lee等[6]采用正態(tài)導(dǎo)數(shù)積分方程求解了薄體結(jié)構(gòu)的聲學(xué)問題,并使用遺傳算法對(duì)薄體結(jié)構(gòu)的孔洞設(shè)計(jì)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化．Hu等[7]提出了一種基于混合有限元公式和替代材料模型的浮動(dòng)投影拓?fù)鋬?yōu)化方法,能夠有效地降低聲學(xué)優(yōu)化問題中由極高的質(zhì)量和剛度比引起的人工局部振動(dòng)模式．

盡管現(xiàn)階段在聲學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方面已開展了諸多研究,但大多關(guān)注的是單一頻率下的聲壓/聲能最小化設(shè)計(jì)[8-10],而對(duì)頻帶內(nèi)音質(zhì)的提升關(guān)注較少．在電子聲學(xué)器件中,音質(zhì)指的是在某一頻帶內(nèi),聲音能夠以一定的幅值強(qiáng)度平穩(wěn)輸出．音質(zhì)優(yōu)化一般將關(guān)注頻帶離散成一定數(shù)量的頻點(diǎn),并對(duì)所有頻點(diǎn)的聲學(xué)響應(yīng)進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化．事實(shí)上,當(dāng)頻帶內(nèi)離散的頻點(diǎn)數(shù)量足夠多時(shí),聲頻響曲線的表現(xiàn)精度會(huì)更高．然而伴隨著高精度的聲曲線輸出,大規(guī)模頻點(diǎn)響應(yīng)的反復(fù)優(yōu)化使得問題的可求解性大幅降低．

針對(duì)上述問題,本文提出了一種基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聲-結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)的顯式拓?fù)鋬?yōu)化框架．在該框架下,采用MMC[11]顯式描述結(jié)構(gòu)域與聲學(xué)域的邊界,并以人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型代替求解耗時(shí)的有限元計(jì)算模型對(duì)聲-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的聲頻響進(jìn)行預(yù)測,從而實(shí)現(xiàn)音質(zhì)優(yōu)化問題的快速求解．

1 聲-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化模型

在本文中,音質(zhì)優(yōu)化的目標(biāo)是通過改變設(shè)計(jì)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來找到最優(yōu)的聲學(xué)結(jié)構(gòu)(如圖1所示),從而提高某一頻帶內(nèi)聲壓頻響的幅值,改善頻帶內(nèi)聲頻響的均勻性．引入2014年由Guo等[11]提出的MMC法,以聲學(xué)指標(biāo)I最小化為目標(biāo)函數(shù),優(yōu)化列式可以表述為

圖1 聲學(xué)優(yōu)化問題示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the acoustic optimization problem

(1)

其中,di(i=1,2,…,N)為第i個(gè)組件的設(shè)計(jì)變量向量,N為組件總數(shù);Ud為d的可行集;I為由聲壓表示的目標(biāo)函數(shù);K為總體剛度矩陣;F為全局載荷向量;U為包括機(jī)械場和聲場的結(jié)構(gòu)響應(yīng);Da為給定的設(shè)計(jì)域;γ為在0和1之間的體積分?jǐn)?shù)．

式(1)中,忽略體積力,聲-結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)控制方程KU=F的離散形式為

(2)

其中,ω=2πf為角頻率;ρa(bǔ)為聲學(xué)材料密度;Kuu和Muu分別為結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣;Kpp和Mpp分別為聲學(xué)剛度矩陣和聲學(xué)質(zhì)量矩陣;Kup為耦合矩陣;u和p分別為結(jié)構(gòu)位移向量和聲壓向量;fu和fp分別為結(jié)構(gòu)載荷向量和聲力向量．式(2)的詳細(xì)推導(dǎo)過程和公式表達(dá)可參見文獻(xiàn)[12-13]．

對(duì)于聲壓級(jí)最大化問題,目標(biāo)函數(shù)可以表示為

I1=-‖pi‖2, ?i∈[fl,fu],

(3)

其中,pi表示頻帶[fl,fu]內(nèi)頻點(diǎn)i的聲壓頻響．而對(duì)于音質(zhì)優(yōu)化,需要對(duì)聲壓幅值和均勻性同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化,目標(biāo)函數(shù)可以表示為

(4)

(5)

其中,Nf是離散頻率點(diǎn)的總數(shù),p是一個(gè)懲罰因子,在本文中,p=6．

2 方 法 介 紹

2.1 MMC方法介紹

在MMC拓?fù)鋬?yōu)化框架中,結(jié)構(gòu)構(gòu)型可以由一系列組件通過移動(dòng)、變形、旋轉(zhuǎn)等行為搭建而成,這些組件可以由拓?fù)涿枋龊瘮?shù)顯式表達(dá)．在本文中,一個(gè)2維結(jié)構(gòu)組件的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)[14]可以表示如下:

(6)

其中

(7)

(8)

在這里,向量d=(x0,y0,L,t1,t2,t3,θ)表示組件的設(shè)計(jì)變量．其中,(x0,y0)表示組件中心點(diǎn)的坐標(biāo),L表示組件的半長,t1,t2,t3分別為組件兩端和中間的半寬,θ表示坐標(biāo)系x′O′y′相對(duì)于坐標(biāo)系xOy的傾斜角,m為一個(gè)較大的偶數(shù),在本文中,m=6．向量d所描述的組件如圖2所示．

圖2 一個(gè)二維結(jié)構(gòu)組件Fig. 2 A 2D structural component

對(duì)于每個(gè)組件,第i個(gè)組件占據(jù)材料域Ωi和邊界?Ωi的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)如下:

(9)

其中,x為設(shè)計(jì)域Da中的任意一點(diǎn)并且Ωi?Da,φi(i=1,2,…,N)為第i個(gè)組件的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)．由此,設(shè)計(jì)域內(nèi)所有結(jié)構(gòu)組件的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)可以寫為

(10)

2.2 靈敏度計(jì)算

為了求解優(yōu)化公式,采用伴隨法求出目標(biāo)函數(shù)/約束函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度．式(4)中音質(zhì)問題的目標(biāo)函數(shù)I2關(guān)于設(shè)計(jì)變量x的導(dǎo)數(shù)為

(11)

其中

(12)

(13)

在本文中,由于目標(biāo)函數(shù)I是由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測獲得的,因此可以直接通過有限差分法來計(jì)算目標(biāo)函數(shù)I對(duì)設(shè)計(jì)變量x的導(dǎo)數(shù),這對(duì)復(fù)雜問題的靈敏度計(jì)算十分有效．

2.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型原理

近些年來,數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法得到了快速發(fā)展,并在力學(xué)領(lǐng)域的求解計(jì)算方面開展了諸多應(yīng)用[15-17]．本文通過構(gòu)建基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聲-結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)頻響預(yù)估模型,可以快速準(zhǔn)確地預(yù)測聲頻響．典型的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分為3個(gè)層次:輸入層、隱藏層、輸出層．每一層包含一組神經(jīng)元,神經(jīng)元和連接它們的各種權(quán)重組成了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)．通過輸入一定數(shù)量的數(shù)據(jù)集,并對(duì)其進(jìn)行訓(xùn)練,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以快速準(zhǔn)確地預(yù)測一系列輸入所對(duì)應(yīng)的輸出．

在本文中,以結(jié)構(gòu)組件的幾何參數(shù)和激勵(lì)頻率作為輸入變量,以聲壓頻響作為輸出變量,構(gòu)建用于預(yù)測聲-結(jié)構(gòu)耦合模型聲頻響的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型．BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型詳細(xì)的構(gòu)建過程如下:

1) 采集數(shù)據(jù)．使用Latin超立方采樣(Latin hypercube sampling,LHS)均勻產(chǎn)生組件幾何參數(shù)d和激勵(lì)頻率f,并與仿真計(jì)算得到的目標(biāo)函數(shù)I一起作為數(shù)據(jù)樣本．

2) 預(yù)處理數(shù)據(jù)．為了避免奇異樣本的出現(xiàn),對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理,使得數(shù)據(jù)映射在[-1,1]之間．

3) 建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)．BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含1個(gè)輸入層、10個(gè)隱藏層、1個(gè)輸入層．輸入層包含15個(gè)神經(jīng)元,每個(gè)隱藏層包含200個(gè)神經(jīng)元,輸出層包含1個(gè)神經(jīng)元．

4) 設(shè)置訓(xùn)練參數(shù)、測試性能及計(jì)算誤差．設(shè)置包括學(xué)習(xí)率、一次性選取樣本數(shù)、訓(xùn)練周期等相關(guān)參數(shù)．對(duì)建立的模型性能進(jìn)行檢測,通過計(jì)算均相對(duì)誤差(mean relative error,MRE)對(duì)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行評(píng)估．

圖3為使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行音質(zhì)優(yōu)化的流程圖．

圖3 利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行音質(zhì)優(yōu)化流程Fig. 3 The flow chart for the sound quality optimization with the BP neural network

3 數(shù) 值 算 例

3.1 有限元模型

如圖4所示:聲-結(jié)構(gòu)耦合模型左側(cè)為結(jié)構(gòu)域, 材料為塑料, 尺寸為0.2×10, 上下為固定邊界, 載荷F=1 N;右側(cè)為聲學(xué)域并充滿空氣,尺寸為20×10,上下為聲場硬邊界,右邊界為聲場輻射邊界,左邊界為聲-結(jié)構(gòu)耦合邊界．聲學(xué)設(shè)計(jì)域尺寸為2.5×10,與耦合邊界相距5,點(diǎn)A為聲輻射邊界中點(diǎn)．在本文中,為了解決聲壓級(jí)最大化和音質(zhì)優(yōu)化兩個(gè)不同的問題,模型的尺寸單位分別采用mm和cm．整個(gè)結(jié)構(gòu)離散化采用202×100的均勻網(wǎng)格．

圖4 一個(gè)簡化的二維聲-結(jié)構(gòu)耦合模型Fig. 4 A simple 2D acoustic-structural coupled model

我們?yōu)榱撕喕?jì)算,隨機(jī)產(chǎn)生14個(gè)幾何參數(shù)生成2條結(jié)構(gòu)組件,然后通過對(duì)稱操作在設(shè)計(jì)域上方生成2個(gè)鏡像組件,組件的內(nèi)部材料為鋁．材料屬性如表1所示．

表1 3種材料的參數(shù)

針對(duì)聲壓級(jí)最大化和音質(zhì)優(yōu)化兩個(gè)問題,24萬組單頻(頻率為7 000 Hz)聲學(xué)響應(yīng)數(shù)據(jù)樣本和18萬組多頻(頻帶范圍為3 000～4 000 Hz)聲學(xué)響應(yīng)數(shù)據(jù)樣本分別被收集并用于訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),計(jì)算所得MRE均在1%以下．

3.2 聲壓級(jí)最大化問題

圖5 組件初始布置和最終優(yōu)化設(shè)計(jì)

圖7顯示了純空氣設(shè)計(jì)與最優(yōu)設(shè)計(jì)的聲壓級(jí)場分布．圖8為純空氣設(shè)計(jì)與最優(yōu)設(shè)計(jì)的聲壓級(jí)曲線,可以發(fā)現(xiàn)7 000 Hz下點(diǎn)A處的聲壓級(jí)由102.89 dB提升至107.43 dB,優(yōu)化效果顯著．

(a) 純空氣設(shè)計(jì) (b) 最優(yōu)設(shè)計(jì)(a) The pure air design (b) The optimized design

圖8 純空氣設(shè)計(jì)和最優(yōu)設(shè)計(jì)的聲壓級(jí)曲線([6 000 Hz, 10 000 Hz])Fig. 8 SPL curves of pure air design and the optimized design ([6 000 Hz, 10 000 Hz])

3.3 音質(zhì)優(yōu)化問題

接下來是音質(zhì)優(yōu)化．在3 300～3 700 Hz頻帶范圍內(nèi)均勻選取41個(gè)頻點(diǎn),目標(biāo)函數(shù)為I2,系數(shù)η=0.01．圖9顯示了最終優(yōu)化構(gòu)型,可以發(fā)現(xiàn)組件在設(shè)計(jì)域內(nèi)形成了3個(gè)聲通道,中間的聲通道成左寬右窄狀,上下兩端各有一個(gè)不規(guī)則的狹窄聲通道．其中,上下兩端的聲通道有利于聲波向目標(biāo)點(diǎn)A處聚集,能夠在一定程度上提升聲壓級(jí)值;而中間的聲通道形狀比較復(fù)雜,對(duì)聲波起到一定的反射和抑制作用,這一復(fù)雜的聲腔結(jié)構(gòu)能夠有效地提高目標(biāo)頻帶內(nèi)聲壓級(jí)值的均勻性,有利于改善音質(zhì)．圖10為目標(biāo)函數(shù)和體積約束的歷史迭代過程,可以發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)快速下降并在第46步后收斂．對(duì)最優(yōu)構(gòu)型進(jìn)行有限元掃頻計(jì)算,圖11為純空氣設(shè)計(jì)和最優(yōu)設(shè)計(jì)的聲壓級(jí)曲線,可以發(fā)現(xiàn)在3 300～3 700 Hz頻帶內(nèi),純空氣結(jié)構(gòu)的聲壓級(jí)曲線出現(xiàn)了明顯的波峰與波谷,聲壓級(jí)大小在32.99 dB至77.88 dB范圍內(nèi)(差值為44.89 dB)．而最優(yōu)結(jié)構(gòu)的聲壓級(jí)在68.93 dB至75.42 dB范圍內(nèi)(差值為6.49 dB),聲壓級(jí)頻響曲線更加平穩(wěn),音質(zhì)得到了顯著提升．另外,本算例中,200迭代步只花費(fèi)了446 s,相比完全基于有限元與解析敏度的優(yōu)化計(jì)算(41個(gè)頻點(diǎn),200迭代步花費(fèi)7 300 s),求解速度約為之前的16.3倍．對(duì)于三維聲學(xué)器件模型,使用上述優(yōu)化方法同樣可以快速得到最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型,并能夠有效改善音質(zhì)．三維算例的具體流程與二維情況相同,這里不再贅述．

圖9 最終優(yōu)化構(gòu)型Fig. 9 The final optimized design

圖11 純空氣設(shè)計(jì)和最優(yōu)設(shè)計(jì)的聲壓級(jí)曲線([3 000 Hz, 4 000 Hz])Fig. 11 SPL curves of the pure air design and the optimized design ([3 000 Hz, 4 000 Hz])

4 結(jié) 論

本文針對(duì)音質(zhì)優(yōu)化問題,利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了聲-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的聲頻響預(yù)測模型,解決了由于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)、激勵(lì)頻率與聲頻響之間的非線性關(guān)系造成理論建模困難的問題．結(jié)合MMC顯式拓?fù)鋬?yōu)化方法的少量幾何參數(shù),極大地降低了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入維度．利用LHS得到均勻分布的幾何設(shè)計(jì)變量和激勵(lì)頻率,與有限元計(jì)算的聲頻響作為數(shù)據(jù)樣本,通過訓(xùn)練得到了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型．?dāng)?shù)值算例驗(yàn)證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)構(gòu)聲頻響的準(zhǔn)確性,預(yù)測值和優(yōu)化過程的真實(shí)值之間的吻合性很好．利用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)聲學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行音質(zhì)優(yōu)化,所得最優(yōu)結(jié)構(gòu)可以有效地將目標(biāo)頻帶內(nèi)的聲壓級(jí)范圍差從44.89 dB縮小至6.49 dB,聲學(xué)器件音質(zhì)改善明顯．另外,在該方法下,目標(biāo)函數(shù)可以快速收斂,相較于基于有限元與解析靈敏度的優(yōu)化計(jì)算,求解速度約為之前的16.3倍,計(jì)算效率得到了大幅提升．