王曉陽， 滕飛*， 徐小斌， 王琪偉， 周曉娜， 田亞男，馬官營， 李勇

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190；3.北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191）

1 引 言

光子帶隙效應(yīng)是利用光子晶體結(jié)構(gòu)限制特定光波長傳輸?shù)囊环N現(xiàn)象，在光傳輸、光纖色散補(bǔ)償和激光器等多個(gè)領(lǐng)域有著重要應(yīng)用［1-2］。光子帶隙光纖是基于光子帶隙效應(yīng)的一種新型微結(jié)構(gòu)光纖。光子帶隙光纖導(dǎo)光機(jī)理不同于傳統(tǒng)光纖，光可以在空氣纖芯中傳播。由于空氣對(duì)溫度、磁場(chǎng)和輻射等環(huán)境的敏感性遠(yuǎn)低于SiO2材料［3-5］，因此光子帶隙光纖天然具有溫度敏感性低、抗磁場(chǎng)干擾和抗輻射等優(yōu)勢(shì)。光子帶隙光纖陀螺采用光子帶隙光纖繞制的光纖環(huán)，可以從根本上解決光纖陀螺的環(huán)境適應(yīng)性問題。但光子帶隙光纖的引入會(huì)導(dǎo)致光纖陀螺背向散射次波強(qiáng)度增加，進(jìn)而引起額外的非互易誤差。

為了抑制光子帶隙光纖背向散射次波，需要對(duì)背向散射次波的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行分析和建模。傳統(tǒng)光纖背向散射次波的主要來源是瑞利散射［6］。對(duì)于光子帶隙光纖而言，光在空氣中傳播，因此瑞利散射影響較小。但光子帶隙光纖纖芯內(nèi)壁表面形貌起伏較大，由此引起的波導(dǎo)散射才是產(chǎn)生背向散射次波的主要原因［7］。目前有三種理論可以分析光子帶隙光纖背向散射次波：體積電流法、耦合模理論和電偶極子輻射理論。

體積電流法需要對(duì)光纖端面結(jié)構(gòu)求解格林函數(shù)。由于光子帶隙光纖端面結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，因此求解過程非常困難［8］；2009年，斯坦福大學(xué)Dangui V.等人利用耦合模理論對(duì)光子帶隙光纖背向散射次波進(jìn)行建模。耦合模理論認(rèn)為光子帶隙光纖纖芯內(nèi)壁粗糙度使光纖內(nèi)傳輸?shù)母鱾€(gè)模式之間發(fā)生耦合，模式耦合主要發(fā)生在基模與其他模式之間。模式可以分為前向傳播模式和后向傳播模式，通過計(jì)算基模耦合到后向傳播模式的能量得到背向散射次波強(qiáng)度為1.5×10-9/mm，與實(shí)際測(cè)量結(jié)果1.5×10-9/mm一致［9］。但是該方法至少需要計(jì)算上百個(gè)模式，計(jì)算過程較為復(fù)雜且耗時(shí)較長，對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求高［10］；2012年，F(xiàn)okoua E. N.等人利用電偶極子輻射理論建立了光子帶隙光纖散射損耗模型［7，11］。該模型認(rèn)為在輸入光場(chǎng)的作用下，光子帶隙光纖粗糙的纖芯內(nèi)壁形成的凹凸面會(huì)產(chǎn)生正負(fù)誘導(dǎo)電荷，一對(duì)正負(fù)電荷可以看成電偶極子。根據(jù)電偶極子輻射理論，電偶極子向各個(gè)方向輻射能量，設(shè)角度?為能量輻射方向與光傳輸方向之間的夾角，不同角度?（0≤?≤π）的散射能量與纖芯內(nèi)壁表面形貌空間頻率有關(guān)，低頻表面形貌在?角較小的方向上產(chǎn)生散射能量，高頻表面形貌則在?角較大的方向輻射能量，將各個(gè)角度的輻射能量進(jìn)行積分可以得到光纖損耗。電偶極子輻射理論建立了光子帶隙光纖損耗與纖芯內(nèi)壁電場(chǎng)強(qiáng)度分布和表面形貌空間頻率之間的關(guān)系。電偶極子輻射理論同樣可以用于分析背向散射次波，且相較于體積電流法和耦合模理論更為簡(jiǎn)單，但目前并沒有相關(guān)的研究報(bào)道。

本文基于電偶極子輻射理論建立了一種簡(jiǎn)單的光子帶隙光纖背向散射次波理論模型。為了驗(yàn)證模型的正確性，以NKT公司的HC-1550-02型光子帶隙光纖為研究對(duì)象，通過聚焦離子束微納加工法制備了纖芯內(nèi)壁暴露的光子帶隙光纖樣品，并采用原子力顯微鏡測(cè)量得到了纖芯內(nèi)壁表面形貌功率譜密度，將得到的功率譜密度代入背向散射次波模型，得到HC-1550-02型光子帶隙光纖背向散射系數(shù)理論值為2.61×10-9/mm。采用背向反射散射儀測(cè)量得到光子帶隙光纖的背向散射系數(shù)為~1.82×10-9/mm，與理論值誤差為~7.9×10-10/mm，初步驗(yàn)證了背向散射次波模型的正確性，為光子帶隙光纖背向散射次波抑制技術(shù)研究奠定了基礎(chǔ)。

2 光子帶隙光纖背向散射次波建模

2.1 電偶極子輻射理論

典型的電偶極子物理模型如圖1所示，電偶極子是由一對(duì)正負(fù)點(diǎn)電荷+q和-q組成，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的距離為l，方向由-q指向+q，兩個(gè)點(diǎn)電荷的中點(diǎn)設(shè)為原點(diǎn)O，場(chǎng)點(diǎn)P為待求點(diǎn)，P點(diǎn)在球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(r，θ，?)，電偶極矩為可以表示為：

圖1 電偶極子物理模型圖Fig.1 Diagram of physical model of electric dipole

此時(shí)可以得到電偶極子在任意一點(diǎn)P的輻射電場(chǎng)表達(dá)式為［12］：

其中：er代表從原點(diǎn)到任意一點(diǎn)P(r，θ，?)的單位向量，k為波矢，μ和ε分別是介質(zhì)中的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)。

2.2 基于電偶極子輻射理論的背向散射次波模型

光子帶隙光纖端面結(jié)構(gòu)如圖2（a）所示，利用包層中SiO2材料和空氣孔的周期性排列構(gòu)成的光子晶體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生光子帶隙效應(yīng)，從而限制特定波長的光在空氣纖芯中傳輸［13-14］。受光纖拉制過程中高溫環(huán)境的影響，纖芯內(nèi)壁表層分子的分子熱運(yùn)動(dòng)會(huì)激發(fā)出表面毛細(xì)波。隨著光纖溫度的冷卻，表面毛細(xì)波固化從而在纖芯內(nèi)壁形成具有一定粗糙度的表面。通過圖2（b）基模電場(chǎng)能量分布可以看出光不完全在纖芯中傳輸，部分能量場(chǎng)與纖芯內(nèi)壁有交疊。交疊區(qū)的能量與纖芯內(nèi)壁粗糙的表面相互作用會(huì)產(chǎn)生散射次波，如圖3所示，按傳播方向劃分，向四周散射的光稱為周向散射次波，與輸入光波方向相反的光稱為背向散射次波。

圖2 光子帶隙光纖Fig.2 Photonic bandgap fiber

圖3 散射次波產(chǎn)生示意圖Fig.3 Diagram of generation of scattering secondary wave

根據(jù)電偶極子輻射理論，纖芯內(nèi)壁表面粗糙度引起的高低起伏可以近似看成凸起或凹陷的微球。當(dāng)粗糙度遠(yuǎn)小于傳輸波長時(shí)，在入射光場(chǎng)的作用下，微球受激產(chǎn)生電荷。設(shè)凸起的微球帶正電荷，凹陷的微球帶負(fù)電荷，正負(fù)電荷形成一對(duì)電偶極子，電偶極子向遠(yuǎn)場(chǎng)輻射能量，從而產(chǎn)生散射次波。散射次波能量的積分即為散射損耗。

論文將光子帶隙光纖背向散射次波強(qiáng)度定義為輻射角度與主波傳輸方向相反，且在光子帶隙接收角內(nèi)的所有散射光能量的積分。根據(jù)此定義可以推導(dǎo)出背向散射系數(shù)理論表達(dá)式，從而建立背向散射次波理論模型。從圖4可以看出，光子帶隙接收角，即背向散射次波與主波的夾角?的取值范圍為π-arcsinNA≤?≤π，NA是光子帶隙光纖數(shù)值孔徑。

圖4 光子帶隙接收角Fig.4 Photonic bandgap acceptance angle

根據(jù)電偶極子模型推導(dǎo)出散射次波在角度?上輻射光功率P（?）表達(dá)式［8］為：

其中：L為光纖長度，c為真空中的光速，n為基模折射率，ε0為介電常數(shù)，k為波矢，α0為極化率，以上參數(shù)均為常數(shù)項(xiàng)。E（θ）與纖芯內(nèi)壁電場(chǎng)強(qiáng)度分布有關(guān)，可以根據(jù)HC-1550-02型光子帶隙光纖結(jié)構(gòu)參數(shù)［15］，通過平面波展開法［16］或有限元分析法［17］建立光子帶隙光纖模型，進(jìn)而對(duì)纖芯內(nèi)壁電場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行仿真求解。Sz（κ）是沿光纖軸向的表面形貌功率譜密度，z代表光纖軸向，κ為空間頻率，代表單位長度上表面形貌變化周期個(gè)數(shù)。根據(jù)式（3）對(duì)光子帶隙接收角內(nèi)的光能量進(jìn)行積分得到光子帶隙光纖背向散射系數(shù)αsc表達(dá)式如式（4）所示：

其中：P0為輸入光強(qiáng)，在光子帶隙光纖模型中，表面形貌功率譜密度Sz（κ）的求取至關(guān)重要。

根據(jù)表面毛細(xì)波理論［18-19］，表面形貌功率譜密度可以表示為：

其中：kB為玻爾茲曼常數(shù)，W為纖芯周長，κ為空間頻率。散射次波的輻射角度?受空間頻率κ的影響，兩者之間的關(guān)系式為κ=β-k0cos?［8］。根據(jù)光子帶隙光纖數(shù)值孔徑，背向散射次波與主波夾角?的取值范圍是2.94≤?≤3.14，從而得到影響背向散射次波的空間頻率范圍是8 μm-1≤κ≤8.08 μm-1。

式（5）中Tg是玻璃轉(zhuǎn)化溫度，γ是表面張力，Tg和γ都是與光纖材料特性有關(guān)的參數(shù)。純SiO2材料的Tg和γ的典型值分別是~1 500 K和0.3 Jm-2［20-21］。但不同的拉制工藝會(huì)對(duì)Tg和γ產(chǎn)生影響，尤其對(duì)表面張力γ的影響更大。Roberts P.J.通過原子力顯微鏡測(cè)試了直徑3 μm的包層孔表面形貌，得到了包層孔的功率譜密度，進(jìn)而得到表面張力γ為1 Jm-2，與純SiO2材料差異較大［18］。Phan-Huy M. C.等人測(cè)試得到表面張力γ為0.3 Jm-2［22］，與純SiO2材料較為接近。為了對(duì)HC-1550-02型光子帶隙光纖進(jìn)行準(zhǔn)確建模，需要精確測(cè)量纖芯內(nèi)壁表面形貌功率譜密度，以得到準(zhǔn)確的表面張力γ。

2.3 纖芯內(nèi)壁表面形貌功率譜密度測(cè)量

為了測(cè)試?yán)w芯內(nèi)壁表面形貌，首先需要制備纖芯內(nèi)壁暴露的光纖樣品。由于HC-1550-02型光子帶隙光纖直徑（~120 μm）和纖芯直徑（~12 μm）較小，對(duì)操作精度要求高。另外纖芯孔壁很薄（~100 nm），并且材料質(zhì)地較脆，操作過程中很容易破碎。因此常規(guī)的切割方式不可行，為此需要對(duì)纖芯內(nèi)壁暴露的光纖樣品制備方法進(jìn)行研究。

現(xiàn)有的制備方法有壓碎法［18］、研磨法［22］和熱膨脹法［23］。壓碎法將光子帶隙光纖壓成碎片，碎片中包含破碎的包層孔和纖芯孔，由于包層孔和纖芯孔的直徑不同，因此可以通過顯微鏡測(cè)量每一個(gè)碎片的直徑，進(jìn)而得到纖芯孔碎片；研磨法將光子帶隙光纖彎曲，然后在研磨臺(tái)上研磨光纖外側(cè)，直到纖芯內(nèi)壁暴露，再通過原子力顯微鏡測(cè)試?yán)w芯內(nèi)壁表面形貌；熱膨脹法將光子帶隙光纖用硬性環(huán)氧樹脂膠包裹，沿光纖軸向挖個(gè)槽，在槽內(nèi)放入金屬棒并貼緊光纖。隨后整體在液氮中放置一段時(shí)間，然后迅速取出放置在室溫中。依靠金屬棒和膠的熱膨脹系數(shù)不同使光纖上產(chǎn)生應(yīng)力，導(dǎo)致光子帶隙光纖沿槽的方向斷裂，從而得到纖芯內(nèi)壁暴露的光子帶隙光纖樣品。

由于壓碎法和研磨法會(huì)產(chǎn)生玻璃碎屑，碎屑吸附在纖芯內(nèi)壁表面難以清洗，嚴(yán)重影響后續(xù)表面形貌測(cè)試。而熱膨脹法雖然能保證纖芯內(nèi)壁不被污染，但是光纖太細(xì)，挖槽和放置金屬棒過程對(duì)操作精度要求太高。為了簡(jiǎn)化樣品制備方法，提高制樣精度，論文首次采用了聚焦離子束微納加工法制備纖芯內(nèi)壁暴露的光子帶隙光纖樣品。該方法將高能量離子束照射到材料表面，高能離子束通過逐層去除原子的方式切割樣品，加工精度可以達(dá)到納米級(jí)。

聚焦離子束切割區(qū)域如圖5（a）所示，從光纖側(cè)面進(jìn)行切割，切掉一半使纖芯內(nèi)壁充分暴露出來。切割后的電鏡俯視照片如圖5（b）所示，可以看出在100 μm長的區(qū)域內(nèi)，纖芯內(nèi)壁完整暴露出來，最終得到了表面平整無明顯污染的光子帶隙光纖樣品。

圖5 聚焦離子束加工法Fig.5 Focused ion beam processing technique

利用原子力顯微鏡對(duì)切割后的光子帶隙光纖樣品表面形貌進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量位置如圖6所示。

圖6 原子力顯微鏡測(cè)量位置Fig.6 Measuring position of AFM

測(cè)量范圍為3 μm×0.6 μm的矩形區(qū)域，測(cè)量得到光子帶隙光纖纖芯內(nèi)壁二維表面形貌如圖7所示（彩圖見期刊電子版）。不同顏色代表高度不同，高度單位是nm，X方向?yàn)楣饫w軸向，Y方向?yàn)楣饫w橫向。

圖7 光子帶隙光纖纖芯內(nèi)壁二維表面形貌圖Fig.7 Two-dimensional surface topography of inner wall of photonic bandgap fiber core

根據(jù)電偶極子輻射理論，只考慮光纖軸向的表面形貌高度變化對(duì)背向散射次波的影響。按圖8（a）紅線進(jìn)行采樣，得到一維表面形貌高度變化曲線如圖8（b）所示（彩圖見期刊電子版）。

圖8 一維表面形貌Fig.8 One-dimensional surface topography

得到一維表面形貌高度變化曲線后，利用周期圖法計(jì)算表面形貌功率譜密度［24］，離散的表面形貌功率譜密度計(jì)算公式為［25］：

其中：N代表圖8（b）曲線上采樣點(diǎn)序號(hào)，Z（n）代表第n個(gè)采樣點(diǎn)的高度，Δx為采樣點(diǎn)間隔，采樣長度可以表示為L=NΔx。m為空間頻率點(diǎn)序號(hào)，根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性，只需要計(jì)算半邊的功率譜密度，因此0≤m≤N/2。m和離散化的空間頻率κm是一一對(duì)應(yīng)的，且κm=m/（NΔx）。

根據(jù)式（6）計(jì)算一維表面形貌功率譜密度，得到功率譜密度隨空間頻率的變化如圖9（a）所示，X軸為空間頻率，Y坐標(biāo)為功率譜密度。為了提高估計(jì)值的一致性，沿光纖橫向選取多條采樣線，對(duì)每一條采樣線分別計(jì)算功率譜密度，并對(duì)同一空間頻率處的功率譜密度進(jìn)行算術(shù)平均，得到圖9（b）平均后的表面形貌功率譜密度?；疑€為每一條采樣線得到的表面形貌功率譜密度，黑色線為平均后的表面形貌功率譜密度。

圖9 功率譜密度Fig.9 Power spectral density

利用式（5）表面形貌功率譜密度模型對(duì)多次采樣平均后的功率譜密度進(jìn)行最小二乘法擬合，擬合結(jié)果如圖10所示?？梢钥闯鰧?shí)際測(cè)試曲線與理論模型趨勢(shì)一致，根據(jù)擬合結(jié)果得到HC-1550-02型光子帶隙光纖表面張力γ實(shí)測(cè)值為~0.17 Jm-2。

圖10 表面形貌功率譜密度擬合結(jié)果Fig.10 Fitting results of surface topography power spectral density

將得到的纖芯內(nèi)壁表面形貌功率譜密度代入式（4）背向散射次波模型中，計(jì)算得到背向散射系數(shù)理論值為2.61×10-9/mm。

3 背向散射系數(shù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證背向散射次波模型的正確性，本節(jié)測(cè)量了HC-1550-02型光子帶隙光纖的背向散射系數(shù)。目前光子帶隙光纖背向散射系數(shù)測(cè)量方法有光時(shí)域反射技術(shù)、光學(xué)低相干反射技術(shù)和光頻域反射技術(shù)。

由于光時(shí)域反射技術(shù)探測(cè)靈敏度只有-65 dB，但光子帶隙光纖背向散射系數(shù)一般小于-80 dB/mm［26］，因此光時(shí)域反射技術(shù)無法滿足光子帶隙光纖的測(cè)量需求；光學(xué)低相干反射技術(shù)雖然靈敏度高達(dá)-152 dB，但測(cè)量長度只有幾十厘米且系統(tǒng)復(fù)雜，應(yīng)用領(lǐng)域有限，因此沒有合適的商用產(chǎn)品；光頻域反射技術(shù)靈敏度達(dá)到-130 dB，可以滿足光子帶隙光纖測(cè)試需求，且有成熟的商用化產(chǎn)品，如光頻域背向反射散射儀。本文采用光頻域背向反射散射儀測(cè)量光子帶隙光纖的背向散射系數(shù)。

背向散射系數(shù)測(cè)量原理如圖11所示，將光子帶隙光纖熔接到光纖跳線上，跳線的光纖類型是SMF-28e傳統(tǒng)單模光纖。光纖跳線連接光頻域背向反射散射儀。由于光頻域背向反射散射儀動(dòng)態(tài)范圍小，若熔點(diǎn)產(chǎn)生的背向反射次波太強(qiáng)，會(huì)導(dǎo)致探測(cè)器飽和，因此需要通過熔點(diǎn)斜切的方式來抑制背向反射次波光強(qiáng)。光子帶隙光纖與傳統(tǒng)光纖熔接會(huì)產(chǎn)生額外的光纖損耗，因此實(shí)驗(yàn)后需要對(duì)熔點(diǎn)損耗進(jìn)行測(cè)試，根據(jù)熔點(diǎn)損耗對(duì)PBF段背向散射次波強(qiáng)度進(jìn)行補(bǔ)償。另外，為了抑制跳線連接點(diǎn)處產(chǎn)生的背向反射次波，實(shí)驗(yàn)裝置選用了斜頭跳線。

圖11 背向散射系數(shù)測(cè)量原理圖Fig.11 Diagram of backscattering coefficient measurement

圖12為測(cè)量得到的光子帶隙光纖背向散射次波強(qiáng)度。橫坐標(biāo)為背向散射次波產(chǎn)生的位置，縱坐標(biāo)為光纖的背向散射次波強(qiáng)度，單位為dB/mm，代表1 mm長度內(nèi)背向散射次波產(chǎn)生的總光強(qiáng)與入射光強(qiáng)的比值。圖12中的PBF測(cè)量區(qū)域已經(jīng)根據(jù)熔點(diǎn)損耗進(jìn)行了強(qiáng)度補(bǔ)償。從測(cè)量結(jié)果可以看出背向散射次波強(qiáng)度沿光纖軸向波動(dòng)較大，取測(cè)量平均值~-87.4 dB/mm作為背向散射次波強(qiáng)度的典型值，換算得到背向散射系數(shù)為~1.82×10-9/mm?？梢钥闯鰷y(cè)試結(jié)果與文獻(xiàn)［9］（1.5×10-9/mm）存在一定差異，其原因可能是光纖的批次性問題。背向散射系數(shù)實(shí)測(cè)值（~1.82×10-9/mm）與理論值（2.61×10-9/mm）之間誤差為~7.9×10-10/mm，初步驗(yàn)證了背向散射次波模型的正確性。

圖12 背向散射系數(shù)測(cè)量結(jié)果Fig.12 Measurement results of backscattering coefficient

4 結(jié) 論

本文基于電偶極子輻射理論建立了一種簡(jiǎn)單的光子帶隙光纖背向散射次波理論模型。為了精確測(cè)量纖芯內(nèi)壁表面形貌功率譜密度，首次采用了聚焦離子束微納加工法制備纖芯內(nèi)壁暴露的光子帶隙光纖樣品，并通過原子力顯微鏡得到準(zhǔn)確的纖芯內(nèi)壁表面形貌功率譜密度。根據(jù)背向散射次波模型計(jì)算得到HC-1550-02型光子帶隙光纖背向散射系數(shù)理論值為2.61×10-9/mm。為了驗(yàn)證背向散射次波模型的正確性，利用光頻域背向反射散射儀測(cè)量HC-1550-02型光子帶隙光纖的背向散射系數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，背向散射系數(shù)實(shí)測(cè)值為~1.82×10-9/mm，與理論值誤差為~7.9×10-10/mm，初步驗(yàn)證了背向散射次波模型的正確性。實(shí)測(cè)值與理論值仍然存在一定的誤差，其原因可能是纖芯內(nèi)壁暴露的光纖樣品制備后需要轉(zhuǎn)移到原子力顯微鏡下進(jìn)行測(cè)試，轉(zhuǎn)移過程無法保證光纖樣品處于潔凈環(huán)境，不可避免地會(huì)受到空氣塵埃影響，導(dǎo)致功率譜密度測(cè)試結(jié)果增大，最終引起理論計(jì)算結(jié)果增大。