張青云

（天津財(cái)經(jīng)大學(xué)珠江學(xué)院 數(shù)據(jù)工程學(xué)院，天津 301811）

近年來，空間機(jī)器人協(xié)同辦公在分揀物品、精密儀器組裝以及航天領(lǐng)域引起了極大關(guān)注，對其機(jī)械特性、振動(dòng)特性及控制策略進(jìn)行分析已成為空間技術(shù)發(fā)展的重要領(lǐng)域之一[1-3]?；诟咚倩透呔然l(fā)展需求，空間機(jī)器人各構(gòu)件逐步輕質(zhì)化，使得空間機(jī)器人柔性特性愈發(fā)凸顯，為了進(jìn)一步了解含柔性變形的空間機(jī)器人性能，對其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析必不可少[4-6]。目前，空間機(jī)器人柔性性能分析主要集中在空間串聯(lián)機(jī)械臂和空間雙臂機(jī)器人[7-8]。但由于其累計(jì)誤差較大，承載力較小等，應(yīng)用范圍存在一定局限性。因此，采用空間并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行高速高精度協(xié)同辦公的領(lǐng)域越來越多，該系統(tǒng)結(jié)合了柔性關(guān)節(jié)間隙及摩擦力小和并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度大及結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，使其在精密測量、醫(yī)療微操作等領(lǐng)域具有巨大作用[9]。雖然空間并聯(lián)機(jī)器人提高了系統(tǒng)自由度和運(yùn)動(dòng)精度，但在高速操作下連桿柔性引起的重力變形、剛性連桿和柔性連桿之間的耦合變形以及柔性連桿和柔性鉸鏈之間的耦合變形將影響系統(tǒng)穩(wěn)定性和軌跡跟蹤精度[10-11]。部分學(xué)者針對機(jī)器人中構(gòu)件細(xì)長比大于20 的構(gòu)件進(jìn)行柔性分析，結(jié)果表明其產(chǎn)生的彈性變形將引起末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生微小位移，降低軌跡跟蹤精度；還有些學(xué)者研究關(guān)節(jié)柔性對機(jī)器人動(dòng)力學(xué)性能的影響，發(fā)現(xiàn)合理利用其動(dòng)力學(xué)模型，可提高機(jī)器人被動(dòng)順應(yīng)能力，減少間隙振動(dòng)，從而提高機(jī)器人使用壽命[12-15]。

現(xiàn)階段，在分析空間并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性時(shí)，一般先研究其中一條運(yùn)動(dòng)支鏈動(dòng)力學(xué)模型，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)支鏈之間的位姿關(guān)系獲得其余運(yùn)動(dòng)支鏈動(dòng)力學(xué)方程，將其進(jìn)行組裝即可構(gòu)成空間并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程。為了簡化分析，大多數(shù)運(yùn)動(dòng)支鏈都是平面串聯(lián)機(jī)構(gòu)，剛度矩陣為常數(shù)矩陣，忽略了柔性變形對剛度矩陣的影響[16-18]。為了分析關(guān)節(jié)柔性、連桿柔性及剛?cè)狁詈咸匦詫臻g機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性的影響，將3-RRRU 空間并聯(lián)機(jī)器人作為研究對象，考慮在柔性關(guān)節(jié)和柔性空間連桿雙重柔性作用下的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性，并分析不同關(guān)節(jié)材料對系統(tǒng)固有頻率的影響、關(guān)節(jié)接觸力變化特性及柔性變形對末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。

1 物理模型

為實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)過程中的高速高精度軌跡跟蹤控制，通常使用輕型空間并聯(lián)機(jī)器人輔助貨物分揀、精密儀器組裝等任務(wù)。鑒于輕型結(jié)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中將產(chǎn)生彈性變形，因此，通過對存在關(guān)節(jié)柔性和連桿柔性的3-RRRU 空間并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖1 所示。

圖1 3-RRRU 雙重柔性空間機(jī)器人Fig.1 3-RRRU dual flexible spatial robot

其中，固定平臺(tái)與機(jī)架固定，并通過轉(zhuǎn)動(dòng)副與3 條運(yùn)動(dòng)支鏈相連。運(yùn)動(dòng)支鏈之間夾角都為120°，且每條運(yùn)動(dòng)支鏈均由3 個(gè)連桿（主動(dòng)桿、中間桿和從動(dòng)桿）通過轉(zhuǎn)動(dòng)副連接而成。其中，主動(dòng)桿和中間桿在絕對坐標(biāo)系下繞x軸運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)桿繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。末端執(zhí)行器則通過虎克鉸與從動(dòng)桿進(jìn)行連接。

1.1 柔性空間連桿模型

由于從動(dòng)桿為圓形橫截面細(xì)長連桿，運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的彈性變形不可忽略，因此，采用簡支梁模型進(jìn)行簡化，再用有限元法將其離散，并根據(jù)浮動(dòng)坐標(biāo)系法描述位移場矢量。由于關(guān)節(jié)柔性也需進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，則在從動(dòng)桿模型中不再引入額外自由度，避免因自由度重復(fù)導(dǎo)致模型錯(cuò)誤等問題。柔化過程如下：

1）采用SOLODWORKS 軟件建立從動(dòng)桿3D模型，且存為“x_t”格式。

2）將3D 模型導(dǎo)入商品化仿真軟件，并添加物理屬性，如表1 所示。

3）由于從動(dòng)桿結(jié)構(gòu)簡單，直接采用商品化仿真軟件中的柔性模塊即可對構(gòu)件進(jìn)行柔化處理。

為了突出顯示從動(dòng)桿在剛性條件和柔性條件下的區(qū)別，其模型對比如圖2 所示。

圖2 柔性空間連桿模型Fig.2 Flexible spatial link model

1.2 柔性關(guān)節(jié)模型

從動(dòng)桿變形將引起末端執(zhí)行器產(chǎn)生微小位移，因此，將從動(dòng)桿與末端執(zhí)行器之間的虎克鉸視作柔性關(guān)節(jié)將更符合實(shí)際。為了研究柔性關(guān)節(jié)性能，一般將其簡化為具有恒定剛度的線性扭轉(zhuǎn)彈簧[19]，并對其連接方法進(jìn)行如下假設(shè)：

1）使用柔性關(guān)節(jié)作為柔性空間連桿的彈性約束。

2） 將柔性空間連桿和柔性關(guān)節(jié)簡化為具有單向彈性約束的兩個(gè)柔性構(gòu)件和一個(gè)簡支梁的雙重柔性模型。

3） 柔性關(guān)節(jié)與剛性連桿的連接采用剛性約束連接。

由于柔性虎克鉸能夠提供二維轉(zhuǎn)動(dòng)，為了簡化分析，將其橫截面設(shè)為圓形。其中，外圈1 和外圈2都由兩組“Y”型彈簧片構(gòu)成，分別沿x、z軸轉(zhuǎn)動(dòng)[20]。因此，空間機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，虎克鉸直線簧片將存在微小彈性轉(zhuǎn)動(dòng)，曲線簧片存在微小彎曲轉(zhuǎn)角，關(guān)節(jié)模型如圖3 所示。

圖3 柔性虎克鉸模型Fig.3 Flexible hooke hinge model

1.3 雙重柔性空間機(jī)器人模型

將柔性關(guān)節(jié)、柔性空間連桿、剛性主動(dòng)桿和剛性中間桿相連即可獲得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)支鏈模型，如圖4a）所示。其中，ai-xaiyaizai為主動(dòng)桿局部坐標(biāo)系，與全局坐標(biāo)系3 個(gè)坐標(biāo)軸方向一致；bi-xaiyaizai和ci-xciycizci分別為中間桿和從動(dòng)桿坐標(biāo)系。由于全局坐標(biāo)系下柔性空間連桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和剛性連桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸線不一樣，使得運(yùn)動(dòng)支鏈為空間機(jī)構(gòu)，增加建模難度，影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。為顯示柔性變形對空間機(jī)器人的影響，其與剛性狀態(tài)下的空間機(jī)器人對比圖如圖4b）所示。

圖4 雙重柔性空間機(jī)器人模型Fig.4 Dual flexible spatial robot model

2 動(dòng)力學(xué)建模

2.1 柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)圖3 可知，柔性關(guān)節(jié)兩端存在微小轉(zhuǎn)角θjoint-j（j=1, 2），根據(jù)動(dòng)能定理即可獲得柔性關(guān)節(jié)動(dòng)能和勢能分別為：

式中：θjoint和Jjoint分別為柔性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角矩陣及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，θjoint=和Jjoint=；Kjoint為柔性關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)剛度，Kjoint=；ωjoint為柔性關(guān)節(jié)角速度，根據(jù)絕對轉(zhuǎn)角與中間變量z的關(guān)系即可求出，具體表達(dá)式為

將式（1）代入第一類拉格朗日方程即可獲得柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)方程組為

式中τjoint為柔性關(guān)節(jié)輸出力矩。

為了簡化分析，在轉(zhuǎn)動(dòng)中心繞軸x進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，只計(jì)入鉸鏈偏轉(zhuǎn)位移，而忽略剛性區(qū)域變形。因此，柔性虎克鉸可用平面梁的柔度矩陣來分析，其等效剛度[21]為

式中： δ為轉(zhuǎn)角位移，由直線簧片彎曲轉(zhuǎn)角θjoint-1和曲線簧片變形轉(zhuǎn)角θjoint-2構(gòu)成。

2.2 柔性空間連桿動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)圖4 可得柔性空間連桿坐標(biāo)系簡圖如圖5所示。

圖5 柔性空間連桿坐標(biāo)系簡圖Fig.5 Coordinate system of flexible spatial link

在全局坐標(biāo)系o-xyz下，采用浮動(dòng)坐標(biāo)系法即可描述構(gòu)件上任意一點(diǎn)k的位移場矢量。為了逼近構(gòu)件變形對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，通過有限元法將構(gòu)件離散為有限維梁單元， 并根據(jù)多項(xiàng)式法對梁單元形函數(shù)N進(jìn)行表示，則

式中：梁單元橫向位移Nx和Ny用一次插值函數(shù)描述，軸向位移Nz用三次插值函數(shù)表示。

柔性空間連桿任一點(diǎn)k坐標(biāo)可表示為

式中：r0為柔性空間連桿坐標(biāo)系原點(diǎn)在全局坐標(biāo)下的位移場矢量；T為柔性空間連桿坐標(biāo)系變換到全局坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣；u0和uf為柔性空間連桿變形前和變形后的坐標(biāo)矢量，uf=Nqf，qf為梁單元廣義坐標(biāo)。

根據(jù)動(dòng)能公式可得柔性空間連桿動(dòng)能[22]為

式中： ρ為柔性空間連桿密度；Jc為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；lcipi為長度。

柔性空間連桿勢能[22]為

式中：A為柔性空間連桿橫截面面積；E和G分別為彈性模量和剪切模量；Iyy和Izz分別為橫截面對y軸和z軸的慣性矩函數(shù)；Ip為橫截面對x軸的極慣性矩函數(shù)； ψx為柔性空間連桿繞x軸的彈性轉(zhuǎn)角函數(shù)。

2.3 剛性連桿動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)運(yùn)動(dòng)支鏈坐標(biāo)系圖4a）可知全局坐標(biāo)系下主動(dòng)桿和中間桿的位移矢量，再根據(jù)動(dòng)能定理可推導(dǎo)出其動(dòng)能[22]表達(dá)式為：

式中：laibi、lbici、lcipi分別為主動(dòng)桿、從動(dòng)桿和柔性空間連桿長度；maibi、mbici、mcipi分別為主動(dòng)桿、從動(dòng)桿和柔性連桿質(zhì)量。

同理，主動(dòng)桿和中間桿的勢能[22]表達(dá)式為：

柔性空間連桿的變形運(yùn)動(dòng)將引起末端執(zhí)行器位移和轉(zhuǎn)角產(chǎn)生微小移動(dòng)。因此，通過協(xié)調(diào)矩陣[23]描述末端執(zhí)行器微小位移，具體表達(dá)式為：

式中：mp為末端執(zhí)行器質(zhì)量；p為末端執(zhí)行器在全局坐標(biāo)系下的位移矢量；Jp為協(xié)調(diào)矩陣；wp為末端執(zhí)行器絕對角速度。

2.4 雙重柔性空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模

將剛性構(gòu)件、柔性關(guān)節(jié)和柔性空間連桿的動(dòng)能和勢能進(jìn)行組裝即可獲得運(yùn)動(dòng)支鏈動(dòng)能和勢能，再將其帶入第一類拉格朗日方程，可得

式中：M為支鏈質(zhì)量矩陣；K為支鏈剛度矩陣；C為系統(tǒng)約束方程；Q為廣義力。

由于運(yùn)動(dòng)支鏈之間的夾角為120°，將運(yùn)動(dòng)支鏈動(dòng)力學(xué)一般方程通過位姿變換即可求出其余兩條運(yùn)動(dòng)支鏈動(dòng)力學(xué)方程。再與末端執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行組裝即可獲得雙重柔性空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程。

3 仿真校驗(yàn)

為了驗(yàn)證仿真模型圖4 正確性，可先對模型約束關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，其結(jié)果如圖6 所示。

圖6 雙重柔性空間機(jī)器人商品化仿真模型
Fig.6 Commercialization simulation model for dual flexible spatial robot

由圖6 可知：模型自由度與理論計(jì)算一致，說明模型約束關(guān)系正確。通過商品化仿真軟件中GSTIFF 積分器、SI2 積分格式對雙重柔性空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)進(jìn)行仿真。其中，空間機(jī)器人主要用于裝配現(xiàn)場，其構(gòu)件尺寸符合常規(guī)工業(yè)機(jī)器人需求，具體幾何參數(shù)如表1 所示。

為驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)正確性，基于全局坐標(biāo)系對雙重柔性空間機(jī)器人z方向施加重力場，并將MATLAB 逆動(dòng)力學(xué)數(shù)值運(yùn)算結(jié)果加載到3 個(gè)主動(dòng)構(gòu)件，使得末端執(zhí)行器在局部坐標(biāo)系xoy平面做圓形運(yùn)動(dòng)，其空間軌跡對比結(jié)果如圖7 所示。

圖7 末端執(zhí)行器空間軌跡Fig.7 End effector spatial trajectory

根據(jù)圖7 可得：在柔性關(guān)節(jié)和柔性空間連桿變形影響下，末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生振動(dòng)。為了更直觀看到本文數(shù)值模型和商品化軟件仿真模型的結(jié)果，將運(yùn)動(dòng)軌跡分別投影到3 個(gè)坐標(biāo)軸，則其偏差結(jié)果如表2 所示。

表2 運(yùn)動(dòng)軌跡偏差Tab.2 Motion trajectory deviation

根據(jù)表2 結(jié)果可知：本文數(shù)值模型和商品化仿真模型運(yùn)動(dòng)趨勢基本一致，由于商品化仿真模型及既考慮了關(guān)節(jié)柔性，又考慮連桿柔性，其在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)減少間隙對末端軌跡的影響，因此，其數(shù)值波動(dòng)范圍小于本文數(shù)值模型。其中，z方向的偏差范圍為0 ～ 0.311 mm，x方向的偏差范圍為0 ～ 2.68 mm，y方向的偏差為0 ～ 3.02 mm。由此可知，商品化仿真模型在一定程度上能反應(yīng)數(shù)值模型特性，通過商品化仿真模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)性能分析以及控制策略研究具有可靠性，且便于模型參數(shù)修改，提高分析效率。

3.1 不同關(guān)節(jié)材料對系統(tǒng)固有頻率影響

柔性關(guān)節(jié)可降低構(gòu)件之間的摩擦、減少裝配間隙，提高設(shè)備運(yùn)動(dòng)精度等。不同關(guān)節(jié)材料對系統(tǒng)固有頻率影響不同，因此，分別采用鋁合金、鋼、銅作為柔性關(guān)節(jié)材料，分析3 個(gè)階次模態(tài)固有頻率的變化值如表3 所示。

表3 柔性關(guān)節(jié)材料對系統(tǒng)固有頻率的影響Tab.3 The influence of flexible joint materials on the natural frequency of the system

由表3 可知：同一階次下不同材料對應(yīng)不同固有頻率，其中彈性模量越大、剛性越強(qiáng)，其固有頻率越低。圖8 為3 組固有頻率變形。

圖8 固有頻率對比圖Fig.8 Comparison of natural frequencies

通過分析固有頻率變化，可得到系統(tǒng)危險(xiǎn)點(diǎn)，再根據(jù)危險(xiǎn)點(diǎn)與激勵(lì)源對比即可求出共振點(diǎn)位置，為優(yōu)化系統(tǒng)性能提供分析基礎(chǔ)。綜合表3 和圖9 可知：隨著關(guān)節(jié)彈性模量增大，構(gòu)件剛度增強(qiáng)，固有頻率隨之變大，導(dǎo)致裝配間隙減少，沖擊力變大。其中，剛性關(guān)節(jié)引起變形最小，銅次之，鋁合金最大。與此同時(shí)，柔性連桿中心點(diǎn)和柔性關(guān)節(jié)連接點(diǎn)變形最大，應(yīng)對其進(jìn)行優(yōu)化，提供系統(tǒng)振動(dòng)性能。

圖9 不同彈性模量下關(guān)節(jié)接觸力Fig.9 Joint contact force under different elastic moduli

3.2 不同關(guān)節(jié)材料接觸力分析

基于柔性從動(dòng)桿條件下，虎克鉸在剛性和柔性情況下的接觸力隨時(shí)間的變化如圖9 所示。

由圖9 可知：3 條運(yùn)動(dòng)支鏈從動(dòng)桿柔性狀態(tài)下的接觸力在開始階段大于剛性狀態(tài)，但隨著時(shí)間推移，通過關(guān)節(jié)柔性變形，將減少關(guān)節(jié)間隙，其接觸力得到部分抵消。因此，處于基本平穩(wěn)狀態(tài)下時(shí)，柔性關(guān)節(jié)接觸力將小于剛性關(guān)節(jié)。通過合理選用關(guān)節(jié)材料，利用柔性變形特性，可減少關(guān)節(jié)沖擊力，提高系統(tǒng)使用壽命。

4 結(jié)論

對含柔性連桿和柔性關(guān)節(jié)的雙重柔性空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性分析可知：

1） 柔性關(guān)節(jié)和柔性連桿在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的彈性變形對系統(tǒng)末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡具有重要影響。因此，建立精確空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，其構(gòu)件和關(guān)節(jié)柔性不可忽略。

2） 系統(tǒng)運(yùn)行過程中，柔性關(guān)節(jié)與剛性連桿、柔性關(guān)節(jié)與柔性空間連桿之間的耦合效應(yīng)十分復(fù)雜，考慮高階模態(tài)才能反應(yīng)耦合效應(yīng)對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。

3） 不同材料對柔性變形影響不同，隨著其彈性模量增加，剛度增大，裝配間隙減少，振動(dòng)沖擊力隨之增加，通過合理選擇材料可改善系統(tǒng)振動(dòng)性能，提高系統(tǒng)使用壽命。

4） 商品化仿真模型約束關(guān)系及動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)性能與本文數(shù)值模型相一致，因此，通過商品化仿真模型研究雙重柔性空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性及控制策略具有科學(xué)性。