管婷婷

［摘 要］將數(shù)學(xué)史浸潤課堂，有助于落實立德樹人的根本任務(wù)?！暗罐D(zhuǎn)”歷史，體現(xiàn)知識之諧，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，建構(gòu)認(rèn)知；以具身經(jīng)驗喚醒知識之源，讓學(xué)生逐步內(nèi)化，共享學(xué)習(xí)經(jīng)驗；以高階任務(wù)重現(xiàn)經(jīng)典時刻，讓學(xué)生以史為鑒，實現(xiàn)“再創(chuàng)造”。通過這樣的路徑可助力數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂的有效融合。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)史；學(xué)科育人；小學(xué)數(shù)學(xué)

［中圖分類號］ G623.5［文獻標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）02-0033-03

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科。縱觀數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)知識都經(jīng)歷了推理、誕生以及繼承創(chuàng)新和互相包容的過程。將數(shù)學(xué)史引入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，可深化數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，對發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能、落實立德樹人的根本任務(wù)具有重要意義。

一、數(shù)學(xué)史育人功能

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，教材編修要注重教材創(chuàng)新，展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展史中偉大數(shù)學(xué)家，特別是中國古代與近現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家，以及他們的數(shù)學(xué)成果在人類文明發(fā)展中的作用，增強學(xué)生的愛國情懷和民族自豪感。

（一）增強學(xué)生的文化自信

立德樹人是當(dāng)代教師教育教學(xué)工作的根本任務(wù)。教師要圍繞學(xué)科育人的目標(biāo)進行教學(xué)。數(shù)學(xué)史不僅包含重要的數(shù)學(xué)知識與結(jié)論，還有著豐富的數(shù)學(xué)文化韻味。另外，數(shù)學(xué)史中蘊藏著“育人”的關(guān)鍵要素——學(xué)生能感受到前人在探索數(shù)學(xué)知識的過程中永不放棄、堅持鉆研、合作探索的精神。在數(shù)學(xué)課堂中融入中國數(shù)學(xué)史，能讓課堂散發(fā)理性的光輝與人文氣息。經(jīng)過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生會增強文化自信及民族自豪感。

（二）提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

了解數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識。了解相關(guān)概念、公式的發(fā)展歷程后，學(xué)生可以借鑒數(shù)學(xué)家們的研究方法對知識重難點進行深入研究，從而加深認(rèn)識。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐步打破原有的數(shù)學(xué)思維方式，將已有的結(jié)論放到新時代中去“完整”地學(xué)，在傳承中進行突破、創(chuàng)新，不斷完善數(shù)學(xué)思維，發(fā)展核心素養(yǎng)。

（三）活化教師課堂教學(xué)

要想讓數(shù)學(xué)史更好地浸潤數(shù)學(xué)課堂，教師不僅要把握好數(shù)學(xué)史的內(nèi)容選擇、呈現(xiàn)方式和呈現(xiàn)時機，還要不斷地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，嘗試將知識的原始樣態(tài)與現(xiàn)今的發(fā)展成果進行關(guān)聯(lián)，深入剖析知識發(fā)展的節(jié)點，解決學(xué)生學(xué)習(xí)的痛點?！耙允窞殍b”，若教師能從歷史經(jīng)驗中汲取智慧，那教學(xué)時方向?qū)忧逦?，也能更好地處理學(xué)生在學(xué)習(xí)上遇到的困難。

二、數(shù)學(xué)史浸潤課堂的現(xiàn)實困境

（一）部分教師對數(shù)學(xué)史的理解有偏差

部分教師將數(shù)學(xué)史當(dāng)作簡單的數(shù)學(xué)閱讀材料，在課的開始或結(jié)束如蜻蜓點水般一筆帶過，致使學(xué)生只是大致了解故事的梗概，沒有深入體會其內(nèi)涵。還有的教師將數(shù)學(xué)史視作課堂的備選知識，或者將其安排在可有可無的拓展環(huán)節(jié)，或者粗暴地堆砌數(shù)學(xué)史料，沒有挖掘數(shù)學(xué)史的育人價值。數(shù)學(xué)史的教學(xué)不應(yīng)是簡單的知識科普，也不應(yīng)是說故事般的教學(xué)，教師要深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，不斷豐富自身的知識儲備，將數(shù)學(xué)史靈活運用于教學(xué)中，讓其中的數(shù)學(xué)精神與文化內(nèi)涵潤澤學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（二）數(shù)學(xué)史融入課堂的形式單一

筆者深入課堂后發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教師已有在課堂中融入數(shù)學(xué)史的意識，但將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的形式還是比較單一，令學(xué)生感覺枯燥乏味。數(shù)學(xué)教育家張奠宙指出，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)往往局限于概念、定理和思想等局部歷史的介紹，缺乏宏觀歷史進程的綜合性描述，但后者才是揭示數(shù)學(xué)含義、加深數(shù)學(xué)知識文化理解的關(guān)鍵所在。那么，數(shù)學(xué)史在何時融入、怎么融入？這是值得廣大教師思考的問題。

（三）數(shù)學(xué)史教學(xué)脫離育人意義

現(xiàn)階段數(shù)學(xué)史的教學(xué)局限于數(shù)學(xué)歷史文化的熏陶，這樣的數(shù)學(xué)史教學(xué)以欣賞為主，是浮于表面的。為了讓數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)不再是簡短的口頭介紹或者看一段視頻，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)史中另一關(guān)鍵要素——經(jīng)驗，以前人的經(jīng)驗為知識發(fā)展的線索，并著眼于《課程標(biāo)準(zhǔn)》，基于教材且敢于跳脫出教材，真正為學(xué)生的發(fā)展而教。

三、數(shù)學(xué)史浸潤課堂的實踐路徑

（一）“倒轉(zhuǎn)”歷史，體現(xiàn)知識之諧

北京師范大學(xué)教育學(xué)院郭華教授曾提出數(shù)學(xué)教學(xué)中的“兩次倒轉(zhuǎn)”機制。第一次“倒轉(zhuǎn)”，從內(nèi)容上看體現(xiàn)在“學(xué)生認(rèn)識的起點是前人認(rèn)識的終點”，即學(xué)生習(xí)得的經(jīng)驗是傳承與延續(xù)先賢的智慧成果；第二次“倒轉(zhuǎn)”，從過程上看是學(xué)生在活動中經(jīng)歷知識的發(fā)展，即學(xué)生在教師的引導(dǎo)下“重走”歷史，這是一個將濃縮的知識重新引入課堂的過程，重在讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，實現(xiàn)知識的建構(gòu)。

1.圓，一中同長也

在歷史上的很長一段時間內(nèi)，人們都困惑于圓周長與直徑的比值究竟是多少。中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中有“周三徑一”的說法；劉徽用“割圓術(shù)”求得圓周率為3.1416；祖沖之求出圓周率的近似值在3.1415926和3.1415927之間；1706年，數(shù)學(xué)家威廉·瓊斯最先使用希臘字母“π”來表示圓周長與直徑的比值，即圓周率。教師將這些數(shù)學(xué)史融入課堂，讓學(xué)生知道圓周長公式的推導(dǎo)經(jīng)歷了從有限分割到無限分割，從而深刻體會“無限分割、化曲為直”的思想方法。

2.數(shù)，起源于數(shù)

在學(xué)生初識分?jǐn)?shù)時，教師要回望分?jǐn)?shù)的歷史起源，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分?jǐn)?shù)“部分與整體”的意義。以 “認(rèn)識幾分之一”為例，古人在分物品時，除了平均分給2個人，還會分給3個人、4個人……因此，“幾分之一”的教學(xué)除了從二分之一引入，還可以從四分之一入手，使教學(xué)內(nèi)容更加貼合多樣的生活實際。

3.直，叁（三點）也

古人發(fā)現(xiàn)“鳥”的飛行可以超脫于其所在的平面，且鳥在一定高度上可以沿直線飛行，根據(jù)這一現(xiàn)象，為了強調(diào)直線的距離很長，人們便用“鳥道”來描述直線距離，意在突出“長”。后來，各派學(xué)者們又運用了“鳥飛準(zhǔn)繩”的概念，強調(diào)“直”的重要性。再后來，《墨子》一書中這樣描述：“三點共線即為直線。”

（二）具身經(jīng)驗喚醒知識之源

為了讓學(xué)生從數(shù)學(xué)史中深刻感受古人認(rèn)識“線”的歷程，筆者嘗試以具身經(jīng)驗“倒轉(zhuǎn)”至知識的起源，讓學(xué)生在操作中獲得具身認(rèn)知。

數(shù)學(xué)知識來源于人們的生產(chǎn)生活，如中華傳統(tǒng)文化的“六藝”——射、御、禮、樂、書、數(shù)，其中的“數(shù)”就是指數(shù)學(xué)知識。因此，當(dāng)學(xué)生在探索數(shù)學(xué)知識的過程中出現(xiàn)“詞不達(dá)意”的情況時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用比畫、畫圖等方式來表示。

具身認(rèn)知可以讓學(xué)生重走古人在勞動實踐中發(fā)現(xiàn)知識的過程，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與生活經(jīng)驗的互融共生。如《孔子家語》有云：“夫布指知寸，布手知尺，舒肘知尋，斯不遠(yuǎn)之則也?！贝?、尺、尋這樣的長度單位是通過具身操作建立的，這便是身體尺。教師在教學(xué)時融入這段史料，能讓學(xué)生對身體尺的認(rèn)識更深刻。

以“直線、射線和角”一課為例，筆者試著“不走尋常路”，用身體操作代替以往教學(xué)中的畫線段以及線段兩次延長的過程。依據(jù)具身認(rèn)知的理念，筆者先通過情境喚醒學(xué)生對線段的認(rèn)知，再基于學(xué)生已有的“比大小”“比多少”“比長短”的經(jīng)驗，以學(xué)生想著再“長一些”的認(rèn)知需求為契機，正向引導(dǎo)，喚醒學(xué)生的身體“細(xì)胞”。對于生活中很難體會到的“無限長”，則讓學(xué)生不斷地向身體兩側(cè)移動拳頭，感受這樣比畫出來的長度有限。通過幾個人手牽手，學(xué)生發(fā)現(xiàn)能找到更長的長度，而隨著人數(shù)增多，學(xué)生便會脫口而出“無限長”?！爸本€、射線和角”一課完整的具身體驗教學(xué)活動流程如圖1所示。

（三）高階任務(wù)重現(xiàn)經(jīng)典時刻

以史為鑒，方能確保知識的學(xué)習(xí)水到渠成。在教學(xué)“第二次倒轉(zhuǎn)”前，教師要精心篩選史料。

以“圓的周長”為例，筆者的教學(xué)過程如下。

師：這里有2個圓，哪個圓的周長大？再觀察2個圓的直徑，哪個圓的直徑大？對比圓的直徑和周長，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：直徑越大，周長越大。

師：怎么量出圓的周長呢？

生2：可以先用一條線沿著圓的邊線圍一圈，再量出所用的線的長度。

生3：在圓上做標(biāo)記，以直尺的0刻度線為起點將圓沿直線滾動一圈，滾動的距離即為圓的周長。

師：你們說的這兩種方法都是將圍成圓的曲線化為直線，這種轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)上稱之為“化曲為直”。我們知道正方形的周長是邊長的4倍。圓的周長與直徑是否存在倍數(shù)關(guān)系呢？先做一做（如圖2），再說一說。

生4：3個圓的周長除以直徑的商都是3倍多一些。

師：數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，所有圓的周長都比直徑的3倍大一些嗎？

筆者通過兩個數(shù)學(xué)活動將濃縮的圓周率的數(shù)學(xué)史在一節(jié)課中慢慢“泡”開，讓學(xué)生得以“細(xì)品”與“回味”。另外，在帶領(lǐng)學(xué)生探索圓的直徑與周長的關(guān)系時，筆者將教材的例題呈現(xiàn)順序進行了兩處改編。

第一處改編是將教材中例4的情境改為直接呈現(xiàn)2個大小不同的圓，以簡潔清晰的環(huán)節(jié)介紹圓的周長的含義，指出圓的周長與直徑的關(guān)系。這一改編避免了教學(xué)中可能出現(xiàn)的無關(guān)信息的干擾——英寸和厘米的轉(zhuǎn)換問題，以及將輪胎滾動一周的長度轉(zhuǎn)化為周長（空間想象）的問題。直接出示2個大小不同的圓，學(xué)生就能很明顯看出大圓的周長大。學(xué)生通過對比2個圓的直徑的大小很容易得出：圓的直徑越大，周長越大。將“輪胎滾動一周的長度就是圓的周長”這一知識點調(diào)整為“繞圓法”“滾圓法”后，也與“圓”的數(shù)學(xué)史發(fā)展進程一致。

第二處改編是實驗探究圓的周長除以直徑的商的規(guī)律，再通過對比，學(xué)生一致得出：圓的周長總是比直徑的3倍大一些。

從歸納推理到演繹推理，由“易”到“難”，這更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，也更貼合數(shù)學(xué)史上古人發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系的過程。

又如，在“認(rèn)識幾分之一”一課中，筆者帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的“第二次倒轉(zhuǎn)”，在引入分?jǐn)?shù)時重現(xiàn)分?jǐn)?shù)起源的關(guān)鍵步驟。如在“吃餅”的教學(xué)情境中，從“吃2個餅沒飽”到“再吃1個餅，吃不完一整個，但是還想再吃一小塊”，引導(dǎo)學(xué)生用一句話或一個數(shù)來表示，讓別人一聽就知道這一小塊餅是多大。學(xué)生的思維是發(fā)散的，每個人對“一小塊”的理解不一樣。有人說：“一小塊比較小，可以看作是一個餅的四分之一?！惫P者及時捕捉學(xué)生交流中出現(xiàn)的“四分之一”，緊扣四分之一中“四”與“一”的含義，引導(dǎo)學(xué)生理解部分與整體的關(guān)系，從而構(gòu)建分?jǐn)?shù)的意義。

在形成概念的過程中，教師要緊扣“以史為鑒”，同時鼓勵學(xué)生將數(shù)學(xué)史進行“再創(chuàng)造”，經(jīng)歷知識內(nèi)化過程中的“重演”“評判”“選擇”（如圖3），讓學(xué)生真正收獲知識。

在“圓的周長”一課即將結(jié)束前，筆者沒有立即進行習(xí)題檢測，而是讓學(xué)生欣賞“圓周率鋼琴曲”。在美妙的音樂中，人類探索圓周率的一幕幕如電影般浮現(xiàn)在學(xué)生眼前。學(xué)生沉浸其中，不斷地回味這節(jié)課的學(xué)習(xí)過程。

數(shù)學(xué)史中有精彩的故事，也有具體的人——杰出的數(shù)學(xué)家，以及數(shù)學(xué)家的探究精神。將數(shù)學(xué)史浸潤課堂，不僅能讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)文化的熏陶，增強文化自信和民族自豪感，還能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)家的人格魅力，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，樹立為數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展做貢獻的遠(yuǎn)大志向。如此，數(shù)學(xué)的“學(xué)科育人”才是真正落到實處。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 張奠宙.關(guān)于數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008（1）：18-22.

[2] 郭華.帶領(lǐng)學(xué)生進入歷史：“兩次倒轉(zhuǎn)”教學(xué)機制的理論意義[J].北京大學(xué)教育評論，2016（2）：8-26，187-188.

[3] 蔡宏圣.數(shù)學(xué)史走進小學(xué)數(shù)學(xué)課堂：案例與剖析[M].北京：教育科學(xué)出版社，2016.

[4] 李淑文，張同君.“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型及其啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002（1）：21-23.