哈爾濱市第四十九中學(xué) 苗 繪

數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的基本元素。 有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)不僅是學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的主要手段， 也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要途徑。抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不僅要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過程，還要幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。 致力于改變教學(xué)現(xiàn)狀的初衷，近幾年，我校數(shù)學(xué)組一直開展關(guān)于數(shù)學(xué)概念課的課例研究， 在分析教學(xué)現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，試圖有主題、有目標(biāo)、有方法、有基點(diǎn)地針對(duì)課堂教學(xué)展開研究，其目的不僅僅是上好一堂課，更關(guān)鍵的是讓教師在研究一節(jié)課的過程中，掌握上好這類課或更多課的方法，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展與形成過程，感悟概念抽象，把數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)滲透其中。

從學(xué)生角度看，學(xué)生往往覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等同于解數(shù)學(xué)題，只要多解數(shù)學(xué)題，就能學(xué)好數(shù)學(xué)。而且各地中考考試題型相對(duì)固定，對(duì)概念的考查大多在平時(shí)的小測(cè)和階段考試中。 概念學(xué)習(xí)咬文嚼字，還可能枯燥無趣，對(duì)于抽象的概念，低學(xué)段的學(xué)生說不清，道不明；高學(xué)段的學(xué)生存在短期學(xué)習(xí)行為，認(rèn)為其不如解題方法、規(guī)律技巧讓他們更有抓手和現(xiàn)實(shí)意義。

從教材角度看，現(xiàn)行各版本初中數(shù)學(xué)教材改變了老教材中嚴(yán)密的知識(shí)體系，知識(shí)呈現(xiàn)更加生活化，語言通俗易懂， 許多重要的概念都是以描述性的語句出現(xiàn)在教材中，這種對(duì)概念的弱化處理使部分教師對(duì)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了偏差。

從教師角度看， 概念的高度概括性和抽象性也給教師以“概念課難上”的印象，于是，面對(duì)回避不了的概念課教學(xué)，一些教師采取壓縮概念教學(xué)的時(shí)間，縮短學(xué)生的感悟過程，只重結(jié)論的記憶和機(jī)械訓(xùn)練方式加以應(yīng)對(duì)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解不到位， 進(jìn)而對(duì)建立在概念基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)思想與方法缺乏深刻感悟， 不利于對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。

建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為: 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要進(jìn)行心理建構(gòu)，只有學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，調(diào)整自己的內(nèi)外認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，教師進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)要遵循一定的規(guī)律，力求從理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的角度，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握和理解。 通常概念教學(xué)的基本操作分為：概念的引入——概念的形成——概念的表示——概念的辨析——概念的鞏固——概念的提升等環(huán)節(jié)。文章就其中幾個(gè)容易被忽略的環(huán)節(jié)提出策略。

一、選擇科學(xué)恰切的方式，注重概念引入的有效性

教師需事先分析不同類型概念的邏輯結(jié)構(gòu)，明確是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系與空間形式的直接抽象，還是純數(shù)學(xué)抽象與邏輯思維的產(chǎn)物。 分析不同學(xué)生的認(rèn)知水平，適切地創(chuàng)設(shè)情境，實(shí)現(xiàn)概念的有效引入，避免繁而雜且拖沓無效的情境創(chuàng)設(shè)，常見引入方式有以下幾種：

（一） 以生活素材為背景引入

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，又服務(wù)于生活。很多數(shù)學(xué)概念本身就是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界事物與對(duì)象的直觀抽象，教師應(yīng)牢牢抓住這些數(shù)學(xué)概念與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，使學(xué)生清晰感受到數(shù)學(xué)概念就在我們身邊。 比如，教學(xué)幾何概念課“相交線（1）”時(shí)，教師可以這樣引入：“同學(xué)們對(duì)相交線、平行線一定不陌生，大橋上的鋼索和鋼梁、棋盤上的橫線和豎線、筆直的高速公路，都給我們以相交線、平行線的印象，從這一章起，我們正式研究平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系”[1]。 在教學(xué)代數(shù)概念課“算術(shù)平方根”時(shí)，教師可以給出生活中五彩繽紛、不同大小的正方形材料的面積，讓學(xué)生們求得正方形材料的邊長(zhǎng)，從而追問：這類問題的實(shí)質(zhì)是什么？以此來實(shí)現(xiàn)導(dǎo)課自然順暢，緊扣主題，取得良好的開篇效果。

（二）以動(dòng)手實(shí)踐方式引入

實(shí)踐出真知，巧設(shè)有價(jià)值的動(dòng)手實(shí)踐環(huán)節(jié)，不但能讓學(xué)生深刻感悟“是什么”，還能充分感知“什么是”，從而增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵與外延的深入理解。 比如，教學(xué)“三角形的邊”一課時(shí)，教師可以將教材加工重組，加入動(dòng)手實(shí)踐環(huán)節(jié)，事先給出若干組不同長(zhǎng)度的線段，請(qǐng)學(xué)生分組合作拼三角形，通過拼圖過程進(jìn)行體驗(yàn)和反思。 這樣設(shè)計(jì)，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，合作意識(shí)，還有助于學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)與理解，讓學(xué)生從理性的高度認(rèn)識(shí)三角形，提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力，為定義的必要條件歸納做好鋪墊。

（三）以原有概念為模型引入

很多數(shù)學(xué)概念存在內(nèi)在邏輯關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。 它們之間或具有特殊與一般的邏輯關(guān)系，或具有可類比遷移屬性。比如“全等三角形與相似三角形的定義”“一元一次方程與一元一次不等式的定義”“分?jǐn)?shù)與分式的定義”“矩形、菱形、正方形”等都是通過類比、對(duì)比、遷移方式引入的，再如“平行四邊形的性質(zhì)”與“平行四邊形的判定”，就是很典型的借助學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，從互逆命題探究的角度加以展開思考的，體現(xiàn)思維的邏輯性建構(gòu)。

二、設(shè)計(jì)有效的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與

德國(guó)教育家第斯多惠說：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞?！苯處煈?yīng)注重概念建立過程中思維的有效性和思維“再創(chuàng)造”的過程，調(diào)動(dòng)全體學(xué)生積極參與，避免課堂成為少數(shù)學(xué)生的表演課。數(shù)學(xué)概念的承上啟下，要求教師精準(zhǔn)把握好概念教學(xué)的深度，而概念體系的初步形成，更要求教師把握好概念系統(tǒng)化的適度，讓學(xué)生以“發(fā)現(xiàn)者”角色經(jīng)歷概念的形成過程。

在教學(xué)“實(shí)數(shù)”一課時(shí)，由于無理數(shù)與實(shí)數(shù)都是比較抽象的數(shù)學(xué)概念，是從現(xiàn)實(shí)世界抽象出來的一類數(shù)，學(xué)生對(duì)它沒有什么感性認(rèn)識(shí)，因此認(rèn)識(shí)無理數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。怎樣突破這個(gè)難點(diǎn)呢？ 教師可以抓住學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備和知識(shí)間的聯(lián)系，無理數(shù)是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)和數(shù)的開方后，接觸的又一數(shù)學(xué)概念，從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，在教學(xué)中從學(xué)生熟悉的有理數(shù)入手，抓住學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)問題，不斷追問、層層深入地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考探究，最后得到無理數(shù)的概念。在探究的過程中，學(xué)生在對(duì)已經(jīng)認(rèn)識(shí)的“有理數(shù)”進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)形式的轉(zhuǎn)化過程中，自然而然地深化了對(duì)有理數(shù)的理解，感悟了有理數(shù)與小數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，再由 2■ 和π 激起學(xué)生思辨的火花， 揭示現(xiàn)實(shí)空間一類新數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)的存在，從中體會(huì)無理數(shù)與有理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別，以及它們之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系，會(huì)識(shí)別不同形式數(shù)的自然屬性，也為實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)做好知識(shí)鋪墊。

在此過程中，教師通過一個(gè)又一個(gè)問題的設(shè)計(jì)，逐漸把學(xué)生的思維引向深處，這樣問題化的課堂學(xué)習(xí)，是以學(xué)生為主體的課堂教學(xué)，學(xué)生以“發(fā)現(xiàn)者”角色經(jīng)歷概念的形成過程，積累了分析思考問題的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了“數(shù)學(xué)抽象”的學(xué)科核心素養(yǎng)。

三、抓住“三言”轉(zhuǎn)化和核心要素，體現(xiàn)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性

所謂“三言”轉(zhuǎn)化，即圖形語言、文字語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美。如，對(duì)于幾何圖形的定義、性質(zhì)和判定方法的表述，還應(yīng)從幾何圖形的核心要素角度，把握概念的本質(zhì)特征。

比如“銳角三角函數(shù)”教學(xué)中正弦概念的描述，是三種語言相互轉(zhuǎn)化的典型例子：

（1）文字語言描述：如圖，在Rt△ABC 中，∠C=90°， 我們把銳角A 的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sin）.

（2）符號(hào)語言描述：記作sinA.

概念描述的三種語言中，幾何圖形語言和符號(hào)語言散發(fā)著簡(jiǎn)潔美的特質(zhì)， 從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興致和熱情。

而在學(xué)生幾何入門學(xué)習(xí)中，有的數(shù)學(xué)概念對(duì)于初學(xué)者來說，把握和描述起來會(huì)比較困難和無序，比如，教學(xué)“對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角”的概念時(shí)，教師會(huì)遇到學(xué)生只說數(shù)量關(guān)系卻不提位置關(guān)系就給這兩類角下定義的問題，當(dāng)學(xué)生對(duì)位置關(guān)系的描述茫然、無序時(shí)，教師的適時(shí)點(diǎn)撥很有必要：鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角都是特殊的角，那能不能從角的“頂點(diǎn)”和“邊”兩要素來入手加以描述呢？這樣可以讓學(xué)生從無序的表達(dá)變?yōu)橛行虻年U述。 這種學(xué)習(xí)方法的引領(lǐng)，學(xué)生可以體會(huì)到：從幾何圖形的基本組成要素中去體會(huì)，去辨析，有助于新概念的闡釋和理解，從而讓學(xué)生深入挖掘幾何概念的內(nèi)涵。 而定義表述的形象直觀，更要求教師把握好概念教學(xué)的難度。

概念的辨析、概念的鞏固、概念的提升環(huán)節(jié)都是教師平時(shí)教學(xué)關(guān)注的重點(diǎn)，需要注意根據(jù)學(xué)生水平，明確數(shù)學(xué)概念的理解程度；根據(jù)概念的邏輯關(guān)系，控制概念的內(nèi)涵與外延的講解程度；根據(jù)概念定義的表述特點(diǎn)，確定概念的分析深度；根據(jù)概念的抽象特點(diǎn)，控制應(yīng)用情境的變式廣度；促進(jìn)學(xué)生多角度、多方位的思考，避免思維定勢(shì)。 根據(jù)概念的相互聯(lián)系，把握思維的訓(xùn)練強(qiáng)度，注重教學(xué)手段的有效性，既要守住“傳統(tǒng)”，又要用好“現(xiàn)代”，起到“1+1＞2”的效果。 教師在讓概念教學(xué)的內(nèi)涵更豐富的同時(shí)，還要注意不人為增加教學(xué)難度，給學(xué)生帶來不必要的課業(yè)負(fù)擔(dān)。

經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念課課例研究的過程， 我們欣喜地看到：概念課教學(xué)的有效性在實(shí)踐中不斷提高，教師教學(xué)逐步由“知識(shí)核心”向“素養(yǎng)核心”轉(zhuǎn)變，大家遵循認(rèn)知心理學(xué)的概念獲得理論， 注意概念形成與概念同化相結(jié)合， 設(shè)計(jì)完整的“情境與問題——共性分析與歸納——本質(zhì)特征的抽象、 下定義——關(guān)鍵詞辨析——簡(jiǎn)單應(yīng)用——聯(lián)系與綜合”過程[2]。 將數(shù)學(xué)的工具性、理性思維和科學(xué)精神充分詮釋， 對(duì)于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)起到助推作用，也充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)的育人功能。

數(shù)學(xué)是全人類智慧的結(jié)晶，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能的沃土，有利于實(shí)施素質(zhì)教育，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能的雙豐收。 千里之行，始于足下。 在國(guó)家大力發(fā)展“強(qiáng)基計(jì)劃”的今天，作為基礎(chǔ)教育的工作者，做一個(gè)積極的科學(xué)實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的踐行者，為培養(yǎng)國(guó)家棟梁之才奉獻(xiàn)力量。