李姜悅 沈慈慈 王偉杰

(淮北理工學(xué)院 安徽淮北 235000)

隨著全球金融市場(chǎng)的日益相互聯(lián)系和國(guó)際金融風(fēng)險(xiǎn)的增加，金融市場(chǎng)的波動(dòng)性成為重要的研究領(lǐng)域。美國(guó)作為全球最大的經(jīng)濟(jì)體，其金融市場(chǎng)的波動(dòng)性對(duì)全球經(jīng)濟(jì)有著巨大的影響。

為了更好地刻畫時(shí)間序列的波動(dòng)率，Bollerslev(1986)[1]對(duì)自回歸條件異方差(Autoregressive Conditional Heterosc edasticity，ARCH)模型進(jìn)行了拓展，建立了廣義自回歸條件異方差模型(Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，GARCH模型)。因?yàn)椴▌?dòng)性是市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的度量，可以反映市場(chǎng)的不確定性，反映投資者對(duì)市場(chǎng)的情緒和態(tài)度，因此國(guó)外學(xué)者借助GARCH類模型對(duì)股市波動(dòng)性的研究層出不窮；Edbert和Sigit(2018)[2]基于GARCH類模型對(duì)東盟五國(guó)的油價(jià)波動(dòng)和股票收益進(jìn)行了實(shí)證分析；Takwi(2023)[3]通過(guò)GARCH模型對(duì)喀麥隆股市的波動(dòng)率進(jìn)行實(shí)證分析，表明相比ARCH模型，GARCH模型能夠很好地衡量喀麥隆股市的波動(dòng)率；Maria等(2023)[4]利用英國(guó)上市公司高管內(nèi)幕交易的月度數(shù)據(jù)分析了內(nèi)幕交易總量( AIT )與股市波動(dòng)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)較高的AIT會(huì)導(dǎo)致股市波動(dòng)率的短期上升。

國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)中國(guó)股市波動(dòng)性的研究也取得了一些研究成果；王孜(2022)[5]通過(guò)構(gòu)建GARCH模型實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，融資業(yè)務(wù)會(huì)平抑中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)，融券業(yè)務(wù)則會(huì)加劇股票市場(chǎng)的波動(dòng)；蘇晴(2022)[6]通過(guò)比較分析認(rèn)為，GARCH-t模型能較好地刻畫滬深300指數(shù)收益率的變動(dòng)趨勢(shì)；周健等(2022)[7]基于ARCH類模型實(shí)證分析了新三板市場(chǎng)股票收益率的波動(dòng)性，研究得出收益率波動(dòng)頻繁且幅度較大，存在明顯的非對(duì)稱效應(yīng)，且高收益與高風(fēng)險(xiǎn)呈正相關(guān)關(guān)系。

本文選取2010年6月1日—2020年10月31日美國(guó)股市的Nasdaq指數(shù)和Russel2000指數(shù)的日交易數(shù)據(jù)作為樣本，同時(shí)運(yùn)用GARCH(1，1)模型和APARCH(1，1)模型探究?jī)煞N股指的波動(dòng)性特征，從而對(duì)美國(guó)股市進(jìn)行對(duì)比分析，并對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)，可為投資者更好地投資提供參考。

1 研究基礎(chǔ)

GARCH(1，1)模型和APARCH(1，1)模型均是探索時(shí)間序列波動(dòng)性的有效模型。本文對(duì)美國(guó)股市的股指采用兩種模型建模，并進(jìn)行對(duì)比分析，GARCH(1，1)模型表達(dá)式為：

均值方程：

方差方程：

APARCH(1，1)模型表達(dá)式為：

均值方程：

方差方程：

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)選取與處理

本文從雅虎財(cái)經(jīng)網(wǎng)分別選取2010年6月1日—2020年10月31日美國(guó)股市的納斯達(dá)克指數(shù)(Nasdaq)和羅素2000指數(shù)(Russel2000)2623個(gè)交易日的收盤價(jià)數(shù)據(jù)，因?yàn)橘Y產(chǎn)收益率序列比價(jià)格序列易處理且更具研究意義，因此對(duì)收盤價(jià)作日對(duì)數(shù)收益率處理：

式(5)中：Rt是每個(gè)指數(shù)的日收益率，Pt是每個(gè)指數(shù)在t交易日的日收盤價(jià)，Pt-1是上一交易日的日收盤價(jià)，對(duì)每個(gè)指數(shù)的2623個(gè)收盤價(jià)計(jì)算，可以得到2622個(gè)對(duì)數(shù)收益率。

2.2 數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)信息

對(duì)Nasdaq和Russel2000兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，結(jié)果如表1所示。

表1 Nasdaq、VIX的日對(duì)數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)量信息

由表1可知：第一，兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率最小值都為負(fù)值，最大值都為正值，均值都接近零值且大于零，表明兩種指數(shù)的波動(dòng)方向相同，且美國(guó)股市長(zhǎng)期處于波動(dòng)上升期，認(rèn)定為“牛市階段”，尤其是兩大指數(shù)的最小值與最大值相差不大，所以市場(chǎng)調(diào)節(jié)靈活度較高；第二，兩種指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差都為正值且都接近零值，Russel2000相對(duì)Nasdaq的標(biāo)準(zhǔn)差稍小一些，表明Russel2000指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率的波動(dòng)性低于Nasdaq的波動(dòng)性，Russel2000的風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較低，更適合投資；第三，Nasdaq和Russel2000的偏度值均為負(fù)值，即其日收益率序列存在左偏現(xiàn)象，不符合正態(tài)分布的對(duì)稱性，且對(duì)兩種指數(shù)的偏度取絕對(duì)值發(fā)現(xiàn)，Nasdaq的偏度值較大，Russel2000的偏度值較小，Nasdaq的左偏更嚴(yán)重；第四，兩種指數(shù)的峰度最小值為10.310140，比正態(tài)分布的峰度值3大得多，表明兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率序列都存在尖峰肥尾現(xiàn)象，不滿足正態(tài)分布；第五，兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率J-B統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)下的P值都小于2.2e-16，在0.1%的顯著水平上都顯著，進(jìn)一步表明兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率序列都不滿足正態(tài)分布。

2.3 分位數(shù)-分位數(shù)(Q-Q)圖

在運(yùn)用GARCH(1，1)模型對(duì)這兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率的波動(dòng)性分析建模之前，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。本文采用分位數(shù)-分位數(shù)(Q-Q)圖檢驗(yàn)所選取的兩種指數(shù)是否具有非正態(tài)性。

如圖1所示，兩種指數(shù)的Q-Q圖都呈黑色曲線，正態(tài)分布的Q-Q圖是一條直線，兩種指數(shù)的日收益率序列都不與圖中的直線重合，所以兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率都具有非正態(tài)性。

圖1 Nasdaq和Russel2000日對(duì)數(shù)收益率Q-Q圖

2.4 日收益率曲線時(shí)序圖

考慮到日收益率序列波動(dòng)幅度小，序列較平穩(wěn)，因此進(jìn)一步利用日對(duì)數(shù)收益率時(shí)序圖觀察波動(dòng)聚類現(xiàn)象的存在及分布的非正太性。

由圖2可知：第一，兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率在平均值零的上下范圍內(nèi)波動(dòng)，且低波動(dòng)周期持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)。Nasdaq在2011年和2017年上半年呈高波動(dòng)周期，并在2017年上半年達(dá)到最大幅度波動(dòng)。Russel2000在2011年和2020年呈高波動(dòng)周期，并在2020年上半年達(dá)到最大幅度波動(dòng)；第二，2011年、2017年上半年和2020年上半年高波動(dòng)周期的持續(xù)時(shí)間都較短，這種低波動(dòng)之后高波動(dòng)的隨機(jī)過(guò)程表明美國(guó)股市存在波動(dòng)聚類現(xiàn)象和非正態(tài)性，且兩種指數(shù)日收益率序列的方差是時(shí)變的；第三，低波動(dòng)周期表明指數(shù)日收益率在此階段的風(fēng)險(xiǎn)較低，高波動(dòng)周期則表明風(fēng)險(xiǎn)較高，兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率從2011—2017年是低波動(dòng)周期且持續(xù)時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，表明美國(guó)股市在這段時(shí)期存在低收益和低風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)象，而在2011年、2017年上半年和2020年上半年存在高收益和高風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)象。

圖2 Nasdaq和Russel2000日對(duì)數(shù)收益率曲線時(shí)序圖

2.5 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

為了使行時(shí)間序列分析具有意義，需對(duì)兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)。平穩(wěn)性檢驗(yàn)一般有6種方法，現(xiàn)對(duì)兩種指數(shù)分別使用ADF(Augmented Dickey-Fuller)檢驗(yàn)和P-P(Phillips-Perron Unit Root test)檢驗(yàn)兩種方法，結(jié)果如表2所示。

表2 兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率平穩(wěn)性檢驗(yàn)

在表2中，兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率的ADF檢驗(yàn)和P-P檢驗(yàn)值是在滯后階數(shù)和截?cái)鄿髤?shù)均是13的條件下得出的，兩種檢驗(yàn)方法的p值都小于0.01，表明兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率不存在單位根，時(shí)間序列是平穩(wěn)的。

2.6 相關(guān)性檢驗(yàn)

在對(duì)日對(duì)數(shù)收益率建模前，還要檢驗(yàn)收益率的自相關(guān)性。ACF(Autocorrelation Function)圖和PACF(Partial Autocorrelation Function)圖是用來(lái)檢驗(yàn)收益率變量之間相關(guān)程度的兩種方法。一般來(lái)說(shuō)，PACF圖更能反映變量相關(guān)性的真實(shí)性，檢驗(yàn)結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 Nasdaq和Russel2000日對(duì)數(shù)收益率序列ACF圖

圖4 Nasdaq和Russel2000日對(duì)數(shù)收益率序列PACF圖

由圖3可以看出，ACF圖和PACF圖在滯后階數(shù)為0～30大部分函數(shù)值都在置信區(qū)間內(nèi)，即圖中虛線區(qū)域上下跳躍，所以收益率序列自相關(guān)性很低，因此在條件期望模型中不需要引入自相關(guān)性部分，滿足GARCH模型中的均值方程。

2.7 ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

在用GARCH模型擬合收益率之前，需要檢驗(yàn)收益率數(shù)據(jù)中是否存在自回歸條件異方差，即ARCH效應(yīng)。表3是采用拉格朗日乘子，即LM(Lagarnge Multiplier)檢驗(yàn)和平方收益率自相關(guān)的Ljung-Box檢驗(yàn)方法得到的檢驗(yàn)結(jié)果。

表3 兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

檢驗(yàn)的原假設(shè)是殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，由表3可知，兩種指數(shù)的ARCH-LM檢驗(yàn)和ARCH-Ljung-Box檢驗(yàn)的滯后階數(shù)都為13，對(duì)應(yīng)的p-value值都小于2.2e-16，即在99%的顯著性水平上拒絕不存在ARCH效應(yīng)的原假設(shè)，兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率序列殘差都存在ARCH效應(yīng)，即GARCH效應(yīng)，可以進(jìn)行GARCH模型的擬合。

2.8 GARCH(1，1)模型和APARCH(1，1)模型的建立

兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率序列的非正態(tài)性、平穩(wěn)性、弱自相關(guān)性及殘差序列的ARCH效應(yīng)都表明，美國(guó)股市兩種指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率序列都可以用GARCH模型擬合。假設(shè)在日對(duì)數(shù)收益率滿足正態(tài)分布和學(xué)生t分布的條件下，分別利用GARCH(1，1)模型和APARCH(1，1)模型對(duì)其進(jìn)行擬合，并對(duì)兩種指數(shù)滿足兩種分布下的兩個(gè)模型進(jìn)行比較。表4和表5分別是兩種指數(shù)在GARCH(1，1)模型和APARCH(1，1)模型下的系數(shù)值與p值。

表4 兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率GARCH(1，1)模型下的系數(shù)值與p值

表5 兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率APARCH(1，1)模型下的系數(shù)值與p值

由表4和表5可以得出兩種指數(shù)在滿足正態(tài)分布及學(xué)生t分布下的GARCH(1，1)模型和APARCH模型(1，1)表達(dá)式，本文將根據(jù)已建立的模型對(duì)兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率的波動(dòng)率進(jìn)行擬合及預(yù)測(cè)。

2.9 模型對(duì)比分析

完成上述模型的建立后，需對(duì)兩種模型的擬合效果進(jìn)行對(duì)比分析。表6和表7分別為兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率滿足正態(tài)分布和學(xué)生t分布的GARCH模型和APARCH模型的選擇信息。

表6 兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率GARCH(1，1)模型的選擇信息

表7 兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率APARCH(1，1)模型的選擇信息

由表6和表7可知：

第一，由兩種指數(shù)AIC準(zhǔn)則、SIC準(zhǔn)則，以及對(duì)數(shù)似然準(zhǔn)則即Log likelihood值由大到小依次為滿足學(xué)生t分布的APARCH模型、滿足學(xué)生t分布的GARCH模型、滿足正態(tài)分布的GARCH模型、滿足正態(tài)分布的APARCH模型。因此，兩種指數(shù)最佳分布下的模型均為滿足學(xué)生t分布的APARCH模型，最差分布下的模型均為滿足正態(tài)分布的APARCH模型。

第二，滿足學(xué)生t分布的GARCH模型優(yōu)于正態(tài)分布下的GARCH模型，滿足學(xué)生t分布的APARCH模型優(yōu)于正態(tài)分布下的APARCH模型。因此，學(xué)生t分布比正態(tài)分布更適合對(duì)收益率的擬合，驗(yàn)證了上文結(jié)論。

第三，建模完成后，對(duì)殘差序列再次進(jìn)行LM檢驗(yàn)，由最后一行可知，檢驗(yàn)的p-Value值都遠(yuǎn)大于0.01，且在APARCH模型下的Nasdaq指數(shù)的p值超過(guò)了0.9，因此兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率在GARCH模型和APARCH模型下都是可行的，滿足學(xué)生t分布的APARCH(1，1)模型的擬合最優(yōu)，尤其是對(duì)Nasdaq指數(shù)收益率的擬合。

2.10 波動(dòng)率預(yù)測(cè)

對(duì)于波動(dòng)率較大的資產(chǎn)，價(jià)格的變動(dòng)范圍很大；對(duì)于波動(dòng)率較小的資產(chǎn)，價(jià)格更穩(wěn)定。對(duì)交易者來(lái)說(shuō)，波動(dòng)率為高回報(bào)創(chuàng)造了機(jī)會(huì)。當(dāng)波動(dòng)率較高時(shí)，意味著更大的操作空間，高拋低吸可以給投資者帶來(lái)較高收益，但同時(shí)高波動(dòng)率也增加了損失。本文運(yùn)用滿足學(xué)生t分布的APARCH(1，1)模型對(duì)Nasdaq指數(shù)和Russel2000指數(shù)的波動(dòng)率進(jìn)行超前三步預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果分別如圖5和圖6所示，藍(lán)色曲線為波動(dòng)率真實(shí)值走勢(shì)變化，黃色曲線為波動(dòng)率預(yù)測(cè)值走勢(shì)變化。由5和圖6可知，兩種指數(shù)在2020年10月14日—2020年10月29日均呈現(xiàn)低波動(dòng)率現(xiàn)象，且Nasdaq指數(shù)波動(dòng)率最大值大于0.020，Russel2000指數(shù)數(shù)波動(dòng)率最大值接近0.016，驗(yàn)證了上文Russel2000的風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較低，更適合投資這一結(jié)論。同時(shí)，波動(dòng)率預(yù)測(cè)值可為未來(lái)投資提供參考。

圖5 Russel2000指數(shù)波動(dòng)率預(yù)測(cè)結(jié)果圖

圖6 Nasdaq指數(shù)波動(dòng)率預(yù)測(cè)結(jié)果圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文選取美國(guó)股市的Nasdaq指數(shù)和Russel2000指數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，借助統(tǒng)計(jì)軟件，利用GARCH族模型對(duì)兩個(gè)股指的波動(dòng)性特征進(jìn)行實(shí)證分析。實(shí)證結(jié)果表明：(1)美國(guó)股市長(zhǎng)期處于波動(dòng)上升期，市場(chǎng)調(diào)節(jié)靈活度高，且Russel2000指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)較Nasdaq指數(shù)更穩(wěn)定，更適合投資；(2)兩種指數(shù)都在2011年和2019年下半年呈高波動(dòng)周期，并在2019年下半年達(dá)到最大幅度波動(dòng)，所以美國(guó)股市存在波動(dòng)聚類現(xiàn)象和非正態(tài)性，且兩種指數(shù)日收益率序列的方差是時(shí)變的；(3)兩種指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率序列都具有非正態(tài)性、平穩(wěn)性、弱自相關(guān)性及殘差序列的ARCH效應(yīng)，都可用GARCH模型和APARCH模型擬合，尤其是滿足學(xué)生t分布的APARCH模型的擬合效果更優(yōu)，且得到的兩種指數(shù)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)值可以為未來(lái)投資提供參考。