? 西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 袁釗穎

1 單元教學(xué)

單元教學(xué)是指在一個明確的主題下,以整體性為原則,基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求,按照知識發(fā)生發(fā)展的脈絡(luò),選擇教學(xué)內(nèi)容,使其構(gòu)建成為一個具有完整知識體系的相對獨立的單元進行的教學(xué)[1].

單元教學(xué)從整體的角度分析教材,選擇內(nèi)容進行教學(xué)設(shè)計,能夠使學(xué)生厘清知識發(fā)生發(fā)展順序,建立完整的知識體系.同時,由于單元教學(xué)是按照一條主線或知識的某種聯(lián)系開展的,學(xué)生在探究的過程中,能夠掌握這一類知識背后蘊含的研究方法和數(shù)學(xué)思想,為以后的學(xué)習(xí)和工作打下良好基礎(chǔ).因此,單元教學(xué)能夠作為提高學(xué)生核心素養(yǎng)的有效實施路徑.

2 “三角函數(shù)”單元起始課教學(xué)過程設(shè)計

2.1 環(huán)節(jié)1:情境創(chuàng)設(shè),引入新知

問題1“在現(xiàn)實世界中,各種各樣的運動變化現(xiàn)象都可以用函數(shù)模型進行表示,從而把握物體的運動規(guī)律”,你能用函數(shù)描述以下情境嗎?

情境1：一個正方形場地的面積為S,請表示該正方形的邊長y與面積S之間的關(guān)系.

情境2：將一張正方形紙對折,你能表示出對折次數(shù)x與所得層數(shù)y之間的關(guān)系嗎?

指數(shù)型:y=2x.

情境3：將一張正方形紙對折,經(jīng)過幾次對折后,若已知所得層數(shù)為x,求對折次數(shù)y的表達式.

對數(shù)型:y=log2x.

情境4：如圖1,游客可以坐在摩天輪的座艙中俯瞰城市的景色,假設(shè)摩天輪做勻速圓周運動,摩天輪的中心O距離地面OQ=30 m,轉(zhuǎn)輪半徑為OP=10 m,轉(zhuǎn)動一周大約需要30 min,若你所在座艙位置為點P,你能否判斷經(jīng)過一段時間后,摩天輪旋轉(zhuǎn)了多少度以及點P距離x軸的距離呢?

圖1

設(shè)計意圖：學(xué)生通過已經(jīng)掌握的函數(shù)模型,能夠很快得到前三個情境問題的函數(shù)表達式,但最后一個卻不容易表達出來.由此引發(fā)認知沖突,激發(fā)學(xué)生的求知欲,讓學(xué)生意識到學(xué)習(xí)新函數(shù)模型的必要性,從而引出本單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容——三角函數(shù).

2.2 環(huán)節(jié)2:回顧舊知,明確主線

問題2從三角函數(shù)的名稱上可以推斷出,三角函數(shù)是眾多函數(shù)模型中的一種.大家還記得我們學(xué)過哪些函數(shù)內(nèi)容嗎?學(xué)過幾類函數(shù)模型?根據(jù)之前的學(xué)習(xí)過程,你能總結(jié)出研究函數(shù)模型的一般路徑嗎?

師生活動:學(xué)生通過回顧學(xué)習(xí)過程和翻閱教材,會自然而然先羅列出函數(shù)概念與性質(zhì)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等內(nèi)容,并按照知識的學(xué)習(xí)過程梳理出學(xué)習(xí)路線(如圖2所示)[2].

圖2

筆者帶領(lǐng)學(xué)生對比這幾條路線,發(fā)現(xiàn)函數(shù)的研究有著共同的步驟.同時,發(fā)現(xiàn)在學(xué)習(xí)這幾個函數(shù)概念前都會先了解與該函數(shù)有關(guān)的生活實例或者學(xué)習(xí)該函數(shù)所必備的預(yù)備知識,我們將這一過程統(tǒng)稱為背景知識,最終師生共同確定函數(shù)研究的一般路徑(如圖3所示).

圖3

設(shè)計意圖：在這個過程中,學(xué)生會回顧所學(xué)的所有函數(shù)知識,以及所涉及的數(shù)學(xué)思想方法,有利于喚起學(xué)生對舊知的記憶,并能將舊知應(yīng)用于新知的學(xué)習(xí)中,建立起舊知與新知之間的橋梁.同時,總結(jié)出的函數(shù)研究路徑,不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)單元的教學(xué)骨架,也是學(xué)生建立知識框架體系的主線,很好地體現(xiàn)了單元教學(xué)中整體性這一本質(zhì)特征.

2.3 環(huán)節(jié)3:明確內(nèi)容,構(gòu)建框架

問題3在情境4中,當(dāng)摩天輪分別旋轉(zhuǎn)了15 min,45 min,1 h時,摩天輪旋轉(zhuǎn)了多少度?

設(shè)計意圖：通過具體的生活情境,認識到摩天輪在此過程中旋轉(zhuǎn)了半周、一周半或者兩周,打破了學(xué)生在初中所學(xué)的角的范圍0°～360°,引發(fā)學(xué)生的認知沖突,由此說明角的概念擴展的必要性.

問題4在情境4下,點P從點A出發(fā),逆時針旋轉(zhuǎn)t°后,點P距離x軸的高度h為多少?

師生活動:筆者為學(xué)生展示三角函數(shù)的概念,引導(dǎo)學(xué)生利用新的函數(shù)模型解決問題.得到結(jié)果h=10sint°.

追問:結(jié)合函數(shù)的概念,你能判斷上述表達式是一個函數(shù)嗎?如果不是函數(shù),怎樣表達才能使之成為一個函數(shù)呢?

設(shè)計意圖：該表達式不是一個函數(shù),因為t°不是實數(shù).通過這樣一個過程,引導(dǎo)學(xué)生感知需要用另一種度量角的單位制來表達,激發(fā)學(xué)生的認知沖突,引發(fā)學(xué)生的主動思考,認識到引入弧度制的必要性.

根據(jù)上述描述,任意角和弧度制就成為我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)的預(yù)備知識,在研究函數(shù)的一般路徑中,就可以將其歸入背景知識進行學(xué)習(xí).

師生活動:按照函數(shù)學(xué)習(xí)的一般路線,在學(xué)習(xí)預(yù)備知識后,就開始進行三角函數(shù)的概念和表示的學(xué)習(xí).教師展示三角函數(shù)概念,提煉出三角函數(shù)概念的重點——單位圓、終邊和角.

問題5函數(shù)的性質(zhì)可分為運算性質(zhì)和圖象性質(zhì).根據(jù)之前所學(xué)的知識,同學(xué)們知道在研究圖象性質(zhì)時,應(yīng)該怎樣研究以及具體研究什么內(nèi)容嗎?

設(shè)計意圖：學(xué)生通過之前研究函數(shù)的經(jīng)驗,能很快回答出通過描點、作圖去研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和奇偶性等.此過程重點在于讓學(xué)生回想研究函數(shù)圖象性質(zhì)時所需要掌握的數(shù)學(xué)思想方法,并明白數(shù)學(xué)方法的使用對象和途徑.

問題6在了解了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)后,請思考三角函數(shù)之間存在著怎樣的運算性質(zhì)?

問題6-1由三角函數(shù)的概念可以知道,三種三角函數(shù)的值都是由角的終邊與單位圓的交點唯一確定的,那么終邊相同的角的三種三角函數(shù)值之間是否存在某種聯(lián)系?這個問題我們將會在同角三角函數(shù)關(guān)系課時中得到解答.

問題6-2在上一個問題中,我們研究的是同角與邊的關(guān)系,那么不同的角與邊又會存在怎樣的關(guān)系呢?這個問題我們將會在誘導(dǎo)公式課時的學(xué)習(xí)中得到解答(筆者展示相關(guān)公式).

問題6-3同學(xué)們觀察剛剛所呈現(xiàn)的誘導(dǎo)公式,它們都是一個特殊角與任意角之間的關(guān)系.那么,我們能否推導(dǎo)出任意角與任意角之間的關(guān)系呢?這就是我們之后所要學(xué)習(xí)的三角恒等變換.

設(shè)計意圖：在問題6中,通過問題串的形式,向?qū)W生展示三角函數(shù)運算性質(zhì)中將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容及各個運算性質(zhì)主要解決什么問題.層層設(shè)問,激發(fā)學(xué)生主動思考,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,并且通過一連串問題,厘清知識的前后順序,形成知識框架,為之后開展知識點的課時教學(xué)提供思路和骨架,明確教學(xué)路線[3].

2.4 環(huán)節(jié)4:課堂小結(jié)

師生活動:引領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課內(nèi)容,再通過小組交流,形成三角函數(shù)單元的知識框架.最后對各小組展示的內(nèi)容進行點評總結(jié),確定三角函數(shù)單元教學(xué)知識框架(如圖4所示).

三角函數(shù)—預(yù)備知識———任意角與弧度制三角函數(shù)的概念與表示正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù) 性質(zhì)圖象性質(zhì)周期性對稱性單調(diào)性最值 運算性質(zhì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系誘導(dǎo)公式三角恒等變換 應(yīng)用