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        圓電流在非均勻磁場中所受的安培力*

        2024-03-11 07:04:46張興剛
        物理通報 2024年3期
        關(guān)鍵詞:載流安培力換元

        詹 瓊 張興剛

        (貴州大學(xué)物理學(xué)院 貴州 貴陽 550025)

        載流導(dǎo)線在磁場中受到的磁場力又稱為安培力,用安培定律進行分析和計算,其數(shù)學(xué)表達式為dF=Idl×B.當(dāng)外磁場是均勻磁場時,求解過程相對簡單一些;當(dāng)外磁場不是均勻磁場時,求解這一類問題時有一定的難度.

        下面就一個例題的求解進行分析研究.此題可見馬文蔚等教師編寫的《物理學(xué)》第七版第295頁的例題2.一般來說,大學(xué)物理教師在講安培力的計算時要么不用該例題,要么主要講解其涉及的物理模型,對計算結(jié)果不會作仔細推導(dǎo).然而,仍有部分學(xué)生關(guān)心題目的具體求解方法和步驟.

        1 例題分析

        【例題】載流導(dǎo)線間的磁場力.如圖1所示,一無限長載流直導(dǎo)線與一半徑為R的圓電流處于同一水平面內(nèi),它們的電流分別為I1和I2,直導(dǎo)線與圓心相距為d,且d>R,求作用在圓電流上的磁場力.

        圖1 例題題圖

        解析:如圖1,建立坐標(biāo)系Oxy.由題知電流元I2dl所在處的磁感應(yīng)強度方向垂直紙面向外,大小為

        (1)

        此電流元受到的安培力方向如圖1所示,大小為

        (2)

        式中

        dl=Rdθ

        對于圓電流上處于不同位置的電流元,其受到的安培力有不同的方向.因此需要考慮dF沿x軸與y軸的分量,它們分別為

        (3)

        (4)

        于是整個圓電流在y方向所受的安培力為

        (5)

        Fy=0也可以通過對稱性分析得到.

        同理有

        (6)

        這里直接給出了

        這個積分比較困難.我們給出了兩種計算這個積分的方法.

        1.1 方法一——換元積分法

        則有

        由于θ的積分范圍為[0,2π][1],故t對應(yīng)的積分范圍為[0,∞]與[-∞,0],于是

        (7)

        利用積分公式

        對上式進行積分得

        (8)

        1.2 方法二——復(fù)變函數(shù)法

        留數(shù)定理[2]:設(shè)C為一條簡單正向閉曲線,若f(z)在C上連續(xù),在C所包圍的區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,…,zk外解析,則

        (9)

        而對極點處的留數(shù)計算有:若z0為f(z)的m級極點,則

        (10)

        現(xiàn)在令z=eiθ,則

        由于θ的積分范圍為[0,2π],恰好對應(yīng)z沿圓周|z|=1正向繞行一周,于是有

        (11)

        分母有兩個根

        為被積函數(shù)的奇點,其中z1在|z|=1內(nèi),于是有

        (12)

        2 討論

        通過前面的兩種數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程可以看到,對形如以下的積分

        當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)很難看出或不能用初等函數(shù)的有限形式表示時,這時采用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理計算較為簡單方便.而復(fù)變函數(shù)又是理工類專業(yè)常開設(shè)的一門課程,故在進行教學(xué)時適當(dāng)進行一些引導(dǎo),有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力和興趣.但當(dāng)電流不是整個圓形,而是其中一部分圓弧時,換元積分法只需積分范圍相應(yīng)改變即可,而復(fù)變函數(shù)法就不能采用了.

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