唐 龍

(廣安市現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)中學(xué) 四川 廣安 638600)

徐云東

(華鎣市教育科學(xué)研究室 四川 廣安 638600)

1 問題緣由

【例1】用電流表和電壓表測(cè)量電阻Rx的阻值．如圖1所示,分別將圖1(a)和圖1(b)兩種測(cè)量電路連接到電路中,按照?qǐng)D1(a)時(shí),電流表示數(shù)為4.60 mA,電壓表示數(shù)為2.50 V;按照?qǐng)D1(b)時(shí),電流表示數(shù)為5.00 mA,電壓表示數(shù)為2.30 V,比較這兩次結(jié)果,正確的是( )

圖1 例1題圖

A．電阻的真實(shí)值更接近543 Ω,且大于543 Ω

B．電阻的真實(shí)值更接近543 Ω,且小于543 Ω

C．電阻的真實(shí)值更接近460 Ω,且大于460 Ω

D．電阻的真實(shí)值更接近460 Ω,且小于460 Ω

解析：選第一組數(shù)據(jù)作為分母有

選第二組數(shù)據(jù)作為分母有

筆者查閱了資料,發(fā)現(xiàn)前人對(duì)這個(gè)問題研究非常少,而且說(shuō)法不一.到底分母選用哪一個(gè)數(shù)據(jù)呢?判別式是否總是可靠?

2 能否找到更合適的判別式

試觸法是在其他電路不變的情況下進(jìn)行的,假設(shè)整個(gè)電路的電動(dòng)勢(shì)為E,等效內(nèi)阻為r,外接測(cè)量數(shù)據(jù)為I1、U1,內(nèi)接測(cè)量數(shù)據(jù)為I2、U2,如圖2所示.

圖2 試觸法電路圖

由外接相關(guān)數(shù)據(jù)可以推出

(1)

(2)

(3)

(4)

由內(nèi)接相關(guān)數(shù)據(jù)可以推出

(5)

(6)

ΔR2=RA

(7)

將內(nèi)接算出的RV代入ΔR1,外接算出的RA代入ΔR2:

若ΔR1>ΔR2,選內(nèi)接 ,即

(8)

化簡(jiǎn)得

(9)

那么我們得到新的非常具有對(duì)稱美的判別式.

3 利用新判別式分析原判別式的可靠性

通過(guò)此判別式可以驗(yàn)證原本的判別式是否總是有效.當(dāng)E、r、RV、RA,已知時(shí),由閉合電路歐姆定律可知

(10)

U1=E-I1(r+RA)

(11)

(12)

U2=I2(R+RA)

(13)

再分別計(jì)算出

(14)

(15)

(16)

a、b、c的正負(fù)分別代表“選外接”和“選內(nèi)接”.a對(duì)應(yīng)以外接法數(shù)據(jù)為分母的判別式,b對(duì)應(yīng)以內(nèi)接法數(shù)據(jù)為分母的判別式,c對(duì)應(yīng)新判別式.為了使圖像更直觀,將c放大100倍,對(duì)c的正負(fù)無(wú)影響.

當(dāng)RV=10 000 Ω、RA=20 Ω、E=12 V、r=200 Ω時(shí),部分?jǐn)?shù)據(jù)和圖像如表1和圖3所示.

表1 新判別式與原判別式數(shù)據(jù)對(duì)比

圖3 數(shù)據(jù)擬合圖像

圖像顯示大多數(shù)情況以外接數(shù)據(jù)為分母的判別式、以內(nèi)接數(shù)據(jù)為分母的判別式和這里的新判別式是一致的,但在一個(gè)比較窄的區(qū)間出現(xiàn)了分歧.新判別式是按照公式嚴(yán)格推導(dǎo),是絕對(duì)準(zhǔn)確的,所以,有時(shí)以外接為分母的是正確的,有時(shí)以內(nèi)接為分母的判別式是正確的,有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)兩種都錯(cuò)的情況,比如下面這種情況.

當(dāng)RV=3 000 Ω、RA=4 Ω、E=12 V、r=200 Ω時(shí),按照同樣的方法可得到圖4.

圖4 特殊情況下的數(shù)據(jù)擬合圖像

當(dāng)待測(cè)電阻真實(shí)值位于圖4中兩條豎直虛線之間時(shí),以外接數(shù)據(jù)為分母的判別式、以內(nèi)接數(shù)據(jù)為分母的判別式結(jié)果都是內(nèi)接,而誤差更小的卻是按照新判別式計(jì)算的結(jié)果——外接.

筆者也試過(guò)分母I用外接數(shù)據(jù),分母U用內(nèi)接數(shù)據(jù),或者反過(guò)來(lái),將4種排列組合都試過(guò),結(jié)果沒有一個(gè)是完全與新判別式一致.可見試觸法判別式無(wú)論選什么為分母并非總是合理.

4 回到原題

拋開所有的新舊判別式,為了解決這道題到底選哪一種接法更準(zhǔn)確的問題,筆者試圖構(gòu)造電路的E、r、RV、RA、R使得數(shù)據(jù)為I1=5 mA、U1=2.3 V、I2=4.6 mA、U2=2.50 V,我們可以通過(guò)逆向運(yùn)算,假設(shè)電阻準(zhǔn)確值已知為R,再計(jì)算出E、r、RV、RA.

由外接電路推出電壓表電阻

(17)

(18)

由內(nèi)接電路推出電流表內(nèi)阻

(19)

等效內(nèi)阻為路端電壓的改變量與干路電流的改變量的比值,即

(20)

將式(18)和式(19)代入式(20)得電源等效內(nèi)阻與R的關(guān)系為

(21)

圖5 r-R圖像

結(jié)果顯示,有時(shí)等效內(nèi)阻r竟然是負(fù)值,這是不符合實(shí)際的.r為正值對(duì)應(yīng)的待測(cè)電阻的區(qū)間是要窄得多.可見,對(duì)任何已知的電流、電壓表數(shù)據(jù),一定能找到待測(cè)電阻更小的范圍.待其他值都算出來(lái)之后,電動(dòng)勢(shì)

(22)

那么電動(dòng)勢(shì)會(huì)不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值呢?根據(jù)公式,只要r是正值,電動(dòng)勢(shì)就不可能為負(fù).故只能通過(guò)r大于零來(lái)縮小待測(cè)電阻范圍.

5 縮小范圍

前面已經(jīng)算出內(nèi)阻r的表達(dá)式,可知

(23)

由分子大于零得

IARA>U2-U1

(24)

將式(19)代入上式得

(25)

由分母大于零得

(26)

將式(18)代入上式得

(27)

所以,現(xiàn)在R的取值被縮小到了如下范圍

(28)

如果將最初的問題數(shù)據(jù)代入上式,會(huì)發(fā)現(xiàn)

496.5 Ω

當(dāng)電阻在此范圍時(shí),E、r、RV、RA都在一個(gè)正常范圍內(nèi),通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以將電表數(shù)據(jù)做出來(lái).此范圍比之前的460 Ω

(29)

(30)

化簡(jiǎn)得

(31)

由外接到內(nèi)接,根據(jù)串反并同,電壓表的示數(shù)明顯是變大的,所以U2>U1,要上式成立,則I1>I2.那么在出題的時(shí)候數(shù)據(jù)必須要滿足此要求.

6 出題建議

對(duì)于普通學(xué)生,出題數(shù)據(jù)需要考慮判別式的統(tǒng)一性;對(duì)于競(jìng)賽生,若將式(28)納入知識(shí)范疇,可以將例1改成如下例題.

【例2】用電流表和電壓表測(cè)量電阻Rx的阻值．如圖6所示,分別將圖6(a)和圖6(b)兩種測(cè)量電路連接到電路中,按照?qǐng)D6(a)時(shí),電流表示數(shù)為4.60 mA,電壓表示數(shù)為2.50 V;按照?qǐng)D6(b)時(shí),電流表示數(shù)為5.00 mA,電壓表示數(shù)為2.30 V,則電阻可能的值為( )

圖6 例2題圖

A.470 Ω B.500 Ω C.530 Ω D.560 Ω

答案為選項(xiàng)B.

7 結(jié)論

綜上所述,有以下結(jié)論.

(1)試觸法判別式選外接和內(nèi)接為分母一般是一致且合理的,但也會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果不一樣甚至都與事實(shí)不符的情況.

(2)若知道電動(dòng)勢(shì)和等效內(nèi)阻近似值,則可以用新判別式選擇電流表接法.新判別式如下:

(3)若外接測(cè)量數(shù)據(jù)為I1、U1,內(nèi)接測(cè)量數(shù)據(jù)為I2、U2,一定有

a.I1>I2b.U1

最后這個(gè)結(jié)論是最實(shí)用的,可以很大程度地縮小待測(cè)電阻范圍,甚至筆者認(rèn)為可以用來(lái)代替教材上用試觸法判斷電流表接法,改用推斷待測(cè)電阻區(qū)間.然而更加重要的不是結(jié)論,而是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過(guò)程和解決問題的方法.