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        一類具梯度項的分?jǐn)?shù)階橢圓方程解的存在性

        2024-03-08 03:51:04柔,陳
        長春師范大學(xué)學(xué)報 2024年2期
        關(guān)鍵詞:變分正數(shù)山路

        潘 柔,陳 林

        (1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,新疆 伊寧 835000)

        0 引言

        分?jǐn)?shù)階橢圓方程在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、種群動力學(xué)和博弈論等學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用[1-2].近年來,對具有解的梯度項的橢圓方程的研究受到了學(xué)者們的普遍關(guān)注,同時得出了豐富的結(jié)論[3-4].因為具有解的梯度項的橢圓方程往往不具有變分結(jié)構(gòu),因而經(jīng)典的變分法和臨界點理論不能直接使用,這是此類方程求解的難點所在.一些學(xué)者通過上下解、不動點理論和逼近的方法研究了方程解的存在性[5-6]. DWIVEDI等[7]運用De Figuereido提出的一種變分方法,將不可變分的問題變分化,再結(jié)合山路定理與迭代方法證明了橢圓方程:

        變號解的存在性.受文獻(xiàn)[7]和[8]的啟發(fā),本文研究以下分?jǐn)?shù)階橢圓方程的邊值問題:

        (1)

        函數(shù)V與f滿足如下假設(shè)條件:

        μ{(x∈RN:V(x)≤M}<+∞,

        其中,V0為常數(shù);

        (V2)V(x)是周期為1的連續(xù)函數(shù),即對?y∈ZN,?x∈RN,V(x+y)=V(x);

        (f1)對?z<0,?ξ∈RN,f(z,|ξ|p-2ξ)=0;

        (f2)對?ξ∈RN,當(dāng)|z|→0時,|f(z,|ξ|p-2ξ)|=o(|z|p-1);

        (f5)存在正數(shù)a1與a2使得對?t>0,?ξ∈RN,有F(t,|ξ|p-2ξ)≥a1tθ-a2;

        (f7)對?z1,z2∈[0,ρ1]與?|ξ|≤ρ2有

        |f(z1,|ξ|p-2ξ)-f(z2,|ξ|p-2ξ)|≤L1|z1-z2|p-1,

        對?z∈[0,ρ1]與?|ξ1|, |ξ2|≤ρ2有

        |f(z,|ξ1|p-2ξ1)-f(z,|ξ2|p-2ξ2)|≤L2|ξ1-ξ2|p-1,

        這里的ρ1與ρ2依賴于條件(f3)(f4)所給的q和θ.

        注1 本文主要定理的證明將用到RN中的標(biāo)準(zhǔn)不等式,即

        這里〈·,·〉是RN中通常的內(nèi)積.

        主要結(jié)果如下:

        1 預(yù)備知識

        基于迭代技巧,構(gòu)造與問題(1)相關(guān)的一類不依賴于解的梯度項的分?jǐn)?shù)階橢圓邊值問題.即,對?w∈Xs(RN),研究問題:

        (2)

        此時該問題具有變分結(jié)構(gòu)可以使用變分法.

        設(shè)s∈(0,1),對分?jǐn)?shù)階Sobolev空間Xs的定義如下[9]:

        (3)

        對?u∈Xs,在空間Xs上賦予范數(shù):

        (4)

        定義1 若對任意的φ∈Xs,有

        成立,則稱u∈Xs為問題(2)的弱解.

        設(shè)問題(2)的歐拉泛函Jw:Xs→RN,具體定義為:

        (5)

        易知泛函J∈C1(Xs,R),Jw的Gateaux導(dǎo)數(shù)為:

        Jw的臨界點就是問題(2)的弱解.

        下面證明能量泛函Jw具有山路定理的幾何結(jié)構(gòu).

        引理1 設(shè)w∈Xs,則存在正數(shù)ρ與α(獨立于w),使得對?u∈Xs,當(dāng)‖u‖=ρ時,有

        Jw(u)≥α>0

        成立.

        證明 由(f2)~(f3)可知,給定ε>0,存在一個正常數(shù)Cε(獨立于w),使得

        由Sobolev嵌入定理,可得

        因為p

        引理2 設(shè)w∈Xs,固定v0∈Xs,‖v0‖=1,則存在T>0(獨立于w),使得對?t≥T,有

        Jw(tv0)≤0

        (6)

        成立.

        證明 由(f5)與Sobolev嵌入定理,有

        因為θ>p,從而存在一個充分大的T(獨立于v0與w),當(dāng)t≥T時,有(6)式成立.

        該引理的證明可由集中緊性原理得出,類似于文獻(xiàn)[10]中的引理2.2的證明.下證問題(2)正解的存在性.

        引理5 假設(shè)條件(f1)~(f6)成立,則對?w∈Xs∩C1(RN),問題(2)至少有一個正解uw.此外,存在正數(shù)ρ1與ρ2(獨立于w),使得‖uw‖C0≤ρ1與‖?uw‖C0≤ρ2.

        證明 由引理1與引理2可知,能量泛函Jw符合山路幾何結(jié)構(gòu),再根據(jù)Ambrosetti與Rabinowitz的沒有PS條件的山路定理[11],可知存在一個序列{un}?Xs滿足:

        Jw(un)→cw,J′w(un)→0,

        由(f4)可知,

        C4‖un‖p≤cw+‖un‖.

        因此,對?φ∈Xs,有J′w(uw)φ=0.

        首先假設(shè)uw不恒為零,由(f1)可知uw≥0,由Harnach不等式[15]可得,對?x∈RN,uw>0. 此外,與文獻(xiàn)[16]中的討論類似,存在正常數(shù)ρ1,ρ2(獨立于w),使得‖uw‖C0≤ρ1,‖?uw‖C0≤ρ2.

        若uw≡0,則存在序列{yn}?RN,α,R>0使得:

        (7)

        引理6 設(shè)w∈Xs,則存在正常數(shù)K1(獨立于w),使得由引理5得到的解uw,有‖uw‖≥K1成立.

        證明 因為uw不恒為零,且由(f2)與(f3)可知,

        (1-C5ε)‖uw‖p≤C6Cε‖uw‖q,

        引理7 設(shè)w∈Xs,則存在一個正常數(shù)K2(獨立于w),使得由引理5得到的解uw,有‖uw‖≤K2成立.

        證明 由(f6)可知,

        由引理2中的v0與(f5)可得:

        再由(f4)可得:

        因此,

        2 正解的存在性

        定理1的證明構(gòu)造一個序列{un}?Xs,是

        (8)

        由(9)減(10)可得:

        根據(jù)條件(f7)與注1可估計上述積分如下:

        由H?lder不等式可得:

        因為K<1,從而由Banach不動點定理可知,{un}強(qiáng)收斂于u,u∈Xs,且對?n,‖un‖≥K1,故u>0.這樣就得到了問題(1)的一個正解,則定理1得證.

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