黃欣雅,王本陽,王新順,潘玉寨,劉 一,王先杰

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 理學(xué)院,山東 威海 264209;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 物理學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

珠子動力學(xué)屬于理論力學(xué)的研究范疇,涉及運動與能量,包含了空間轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系、質(zhì)心運動定理、轉(zhuǎn)動慣量和角動量定理等多方面的知識. 關(guān)于無摩擦情形下珠子與環(huán)模型的研究較多[1-5],通常采用將珠子串在環(huán)上的模型,在牛頓力學(xué)體系[2]或拉格朗日力學(xué)體系[1,3]下求得珠子在環(huán)上的運動方程. 重點研究平衡位置的性質(zhì),判斷是否為穩(wěn)定平衡[4],同時探究相關(guān)因素(例如環(huán)半徑和轉(zhuǎn)速)的影響. 其中,Dutta和Ray運用Lie對稱定理和Jacobi橢圓函數(shù)求解珠子的運動方程,得到珠子沿軌道運動角度和時間的關(guān)系式[2]. 但是上述研究忽略了摩擦阻力與珠子轉(zhuǎn)動所造成的影響,與實際情況存在差異.

本文采用珠子位于環(huán)槽內(nèi)部的模型,相較傳統(tǒng)模型,增加了珠子運動的自由度,使研究對象從質(zhì)心轉(zhuǎn)變?yōu)閯傮w,并且同時考慮環(huán)槽底部和環(huán)槽側(cè)壁方向上的摩擦. 本文分別進(jìn)行理論研究和實驗驗證:理論上探究了珠子在環(huán)槽中的具體運動過程(包括質(zhì)心運動和珠子自身的轉(zhuǎn)動)、珠子與環(huán)槽之間摩擦性質(zhì)轉(zhuǎn)變的臨界條件、平衡位置的存在條件;實驗上研究了滑動摩擦系數(shù)、珠子球心到環(huán)中心的距離、環(huán)轉(zhuǎn)速對珠子運動過程和平衡位置的影響. 實驗中忽略了空氣阻力和非彈性碰撞對珠子運動的影響. 珠子動力學(xué)的理論分析和實驗研究可以提高學(xué)生對力學(xué)相關(guān)知識的理解和應(yīng)用[6].

1 模型構(gòu)建

環(huán)槽模型為:凹槽橫截面為方形,環(huán)槽寬度與珠子直徑基本相同且珠子可以放在環(huán)槽內(nèi),環(huán)槽為完整環(huán)槽的3/5. 不采用完整環(huán)槽是為了探究珠子飛出圓環(huán)槽時的臨界條件. 對于一般材料,滾動摩擦一般遠(yuǎn)小于滑動摩擦,所以文中不考慮滾動摩擦帶來的能量損失.

珠子與環(huán)槽的簡化模型涉及的部分物理量為:環(huán)槽半徑R、珠子半徑r0、珠子球心到環(huán)中心的距離r、珠子球心到轉(zhuǎn)軸的距離ρ、珠子球心與環(huán)中心的連線與轉(zhuǎn)軸之間的夾角φ、環(huán)轉(zhuǎn)速ω.建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系,分為eb(垂直環(huán)面向內(nèi)),eφ(切向)和er(徑向),其中,eb方向與環(huán)轉(zhuǎn)動方向一致.珠子受力情況如圖2所示,珠子受到重力mg、離心力mρω2、科里奧利力2mv×ω[7]、靜摩擦力f、來自側(cè)壁的支持力N、來自底面的支持力Nr.其中,虛線部分標(biāo)注的N與2mv×ω的方向為eb方向.

圖1 珠子與環(huán)槽的簡化模型

圖2 珠子受力分析圖

珠子在圓環(huán)中eφ方向上的運動可根據(jù)初始條件與外界干擾分為2種情況:

a.珠子在圓環(huán)底部相對于環(huán)靜止;

b.珠子相對于環(huán)運動.

同時根據(jù)參量的不同,珠子的平衡位置以及平衡位置數(shù)量都將發(fā)生變化:

a.環(huán)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后,若無外界擾動,則珠子在環(huán)槽底部受力平衡,相對于環(huán)靜止;

b.珠子在eφ方向上相對環(huán)運動.實驗發(fā)現(xiàn),在環(huán)的轉(zhuǎn)速穩(wěn)定之前,珠子相對于環(huán)做eφ方向上的運動所占時間極短,約占珠子全部運動時間的1%,且環(huán)轉(zhuǎn)速越快,占比越小.因此,可以忽略珠子在環(huán)開始轉(zhuǎn)動到環(huán)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定這一時間段eφ方向上的運動.對于此時間段,珠子受到慣性力的作用,相對于環(huán)做eb方向的運動,貼附于與環(huán)轉(zhuǎn)動方向相反方向的槽側(cè)壁.待環(huán)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后,若珠子滿足有外界擾動或者初始位置偏離環(huán)槽底部中心2個條件中之一,即可以在eφ方向上相對環(huán)運動.

2 珠子相對于底端和側(cè)壁不同狀態(tài)的運動方程

根據(jù)珠子相對于底端和側(cè)壁的滾動情況不同,可分為4種運動狀態(tài):

1)珠子相對于側(cè)壁和環(huán)槽底面均做純滾動.

假設(shè)底面作用于珠子的摩擦力[8]為fφ,有以下關(guān)系:

(1)

(2)

(3)

同理,假設(shè)側(cè)壁作用于珠子的摩擦力[9-10]為fb,可得:

(4)

由質(zhì)心運動定理[11]可得:

(5)

化簡可得珠子在此種運動狀態(tài)下相對于環(huán)槽底面的運動方程為

(6)

2)珠子相對于側(cè)壁做純滾動,相對于環(huán)槽底面做滾滑運動.

由受力分析可以得知珠子受到環(huán)槽底面的摩擦力為

fφ=μNr=μ(mgcosφ+mrω2sin2φ),

(7)

其中,μ為滑動摩擦系數(shù).同時,側(cè)壁作用于珠子的摩擦力也可沿用至此,即

(8)

由質(zhì)心運動定理并化簡可得珠子在此種情況下的運動方程為

(9)

3)珠子相對于側(cè)壁做滾滑運動,相對于環(huán)槽底面做純滾動.

根據(jù)受力分析,

(10)

由于存在科里奧利力,珠子與側(cè)壁的滑動摩擦力為

(11)

同理可得珠子相對于環(huán)槽底面的運動方程為

(12)

4)珠子相對于側(cè)壁和環(huán)槽底面做滾滑運動.

此時有

fφ=μNr=μ(mgcosφ+mrω2sin2φ),

同理可得珠子的運動方程為

ω2sinφ(μsinφ-cosφ)=0.

(13)

3 珠子做滾滑運動和純滾動的轉(zhuǎn)換條件

珠子在滾滑運動和純滾動之間的臨界轉(zhuǎn)換條件[12]可分為2類4種情況.每個臨界條件可作為判斷下一階段運動首個符合條件的點為轉(zhuǎn)換臨界點的依據(jù).

1)當(dāng)?shù)酌鏉M足

側(cè)壁滿足

珠子沿底面或側(cè)壁做純滾動.

2)當(dāng)相對側(cè)壁滿足

相對底面滿足

珠子相對于對應(yīng)面的純滾動轉(zhuǎn)化為滾滑運動.

綜上,珠子的運動曲線對應(yīng)4種運動狀態(tài),通過滾滑運動與純滾動轉(zhuǎn)化條件連接組合而成.

圖3所示為當(dāng)珠子球心到環(huán)中心的距離r=3.55 cm,珠子直徑r0=19.00 mm,圓環(huán)槽轉(zhuǎn)速ω=36 rad/s,滑動摩擦系數(shù)μ=0.5時,由上述理論得到珠子的整體運動曲線.理論曲線模擬時,程序根據(jù)臨界轉(zhuǎn)換條件自動進(jìn)行珠子運動方程的轉(zhuǎn)換,因此珠子的1次完整運動過程可能包含上述4種運動狀態(tài).

圖3 珠子的理論運動曲線

4 珠子運動過程中的科里奧利力

珠子在運動過程中受到科里奧利力,由于在環(huán)槽內(nèi)運動,珠子中各點到環(huán)中心的距離不同,故珠子內(nèi)部各處受到的科里奧利力的力矩作用不均勻,即科里奧利力力矩對珠子的整體作用不能完全抵消.

珠子相對于環(huán)槽靜止(平衡)時貼附于哪一側(cè)壁取決于珠子在相對靜止前向哪一方向運動,若向上運動則貼附與環(huán)轉(zhuǎn)動方向相反的槽側(cè)壁,若向下運動則貼附與環(huán)轉(zhuǎn)動方向相同的槽側(cè)壁.

5 珠子的平衡位置

在整個運動過程中,由于珠子在相對于環(huán)槽底部和相對于槽側(cè)壁2個方向分別滾動,因此珠子是繞通過質(zhì)心的軸旋轉(zhuǎn)著向上運動,然后在平衡位置附近做阻尼振動[13],相對環(huán)趨于靜止.珠子的旋轉(zhuǎn)速度可由相對于環(huán)槽底面和相對于槽側(cè)壁2個方向的滾動速度矢量疊加得到.

(14)

6 實驗測量

實驗裝置示意圖如圖4所示.

圖4 實驗裝置示意圖

研究珠子球心到環(huán)中心的距離r、環(huán)轉(zhuǎn)速ω和滑動摩擦系數(shù)μ對珠子運動進(jìn)程(珠子球心到轉(zhuǎn)軸的距離ρ隨時間t的變化)和平衡位置的影響. 實驗測量珠子球心到轉(zhuǎn)軸的距離ρ和珠子球心到環(huán)中心的距離r,夾角φ可以通過ρ=rsinφ得到.

1)實驗所用環(huán)的內(nèi)槽難以做到完全光滑[15](3D打印精度有限導(dǎo)致環(huán)內(nèi)槽會有垂直于槽側(cè)壁的規(guī)則紋路);

2)Tracker軟件自動追蹤珠子位置存在誤差;

3)槽寬略大于珠子直徑,珠子在實際運動中存在和側(cè)壁的碰撞,以及eb方向上的摩擦力.

圖6為μ=0.3,ω=36 rad/s時,r=3.75,3.70,3.60,3.55 cm時珠子的運動曲線.由圖6可以看出,隨著r增大,珠子的運動進(jìn)程加快.

圖6 不同r對應(yīng)的珠子的運動曲線

(a)ω=36 rad/s

圖8為r=3.75 cm,r0=15.00 mm,μ=0.3,不同環(huán)槽轉(zhuǎn)速對應(yīng)的珠子運動曲線.當(dāng)轉(zhuǎn)速ω增大時,珠子運動進(jìn)程加快.這是因為環(huán)轉(zhuǎn)動是由外界永磁同步電機帶動,電機供給系統(tǒng)的能量越大,環(huán)轉(zhuǎn)動角速度越大,珠子所獲得的動力越大.

圖8 不同ω對應(yīng)的珠子的運動曲線

圖9為r0=19.00 mm,r=3.75 cm,μ=0.5,以及r0=15.00 mm,r=3.55 cm,μ=0.3時,平衡位置與ω的關(guān)系曲線.ω增大時,珠子平衡位置上升.同理,由理論平衡位置公式可知當(dāng)φ<90°時,ρ與ω的關(guān)系也為正相關(guān),與實驗相吻合.

(a)r0=19.00 mm,r=3.75 cm,μ=0.5

r=3.55 cm,r0=19.00 mm,ω=51 rad/s時,不同滑動摩擦系數(shù)μ對應(yīng)的的珠子運動曲線如圖10所示.當(dāng)μ增大時,珠子運動進(jìn)程減慢.根據(jù)理論研究,只有珠子相對于環(huán)槽做滾滑運動時,珠子的運動方程才包含μ,而且加速度與摩擦系數(shù)呈現(xiàn)反相關(guān),和實驗結(jié)論一致.另外,實驗測量和理論均表明滑動摩擦系數(shù)對珠子平衡位置無顯著影響[16].

圖10 不同μ對應(yīng)的珠子的運動曲線

將圖6～10中數(shù)據(jù)與對應(yīng)條件下理論曲線數(shù)據(jù)進(jìn)行對比計算,可知:珠子平衡位置的相對偏差均小于3%,珠子整體運動曲線實驗與理論的相對偏差基本處于10%以內(nèi),這主要是由于實驗所用3D打印環(huán)的內(nèi)槽難以做到完全光滑.

7 結(jié) 論