趙梓茗,王 偉,周路群

(北京大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100871)

顆粒物質(zhì)在生產(chǎn)生活中普遍存在,但是由于這類物質(zhì)的能量耗散不可忽略,無法用力學(xué)方法預(yù)測,從而導(dǎo)致很難給出理論上的解析解. 同時,顆粒系統(tǒng)有著不同于固體和流體的動力學(xué)性質(zhì),因此常常表現(xiàn)出一些反常效應(yīng).

豎直外力驅(qū)動的顆粒碰撞行為,也被稱為“沙堆麥克斯韋妖效應(yīng)”,是揭示顆粒系統(tǒng)奇特動力學(xué)性質(zhì)最經(jīng)典的實驗. 1996年,Schlichting等人提出了類似的演示實驗[1],并且被Eggers在1999年提出的二維圓盤碰撞模型進行定性解釋[2]. 然而Eggers沒有給出粒子數(shù)在豎直方向的分布,理論計算得到的等效溫度也與實驗結(jié)果不符合. 因此本文建立了顆粒碰撞的三維模型并且定量計算相關(guān)參量,實驗結(jié)果與理論符合較好.

1 實驗裝置和現(xiàn)象

實驗裝置如圖1所示,采用上端開口的透明容器(5 cm×2 cm×15 cm),用豎直金屬隔板將容器等分為2個腔室,只在隔板距離容器底1 cm處開有高度為3 mm的水平狹縫,允許兩腔室內(nèi)的粒子交換. 采用掃頻信號發(fā)生器產(chǎn)生可調(diào)頻率輸出,經(jīng)功率放大器驅(qū)動激振器. 激振器通過磁線圈的電信號驅(qū)動電機頂桿,推動振動臺上下周期運動,再通過壓電加速度傳感器將其轉(zhuǎn)換為電信號,由電荷放大器放大后顯示在示波器上.

圖1 實驗裝置示意圖

實驗開始前,在容器一側(cè)放入460粒直徑為1 mm的銅球. 將容器固定在振動臺上,施加振幅變化、頻率為50 Hz的三角波電壓. 觀察到粒子在容器中四處碰撞、上下振動,如圖2(a)所示. 部分粒子從狹縫轉(zhuǎn)移到另一腔室,兩側(cè)粒子數(shù)在幾分鐘內(nèi)達到穩(wěn)定,系統(tǒng)進入振動平衡狀態(tài),如圖2(b)所示. 這時關(guān)閉電源,振動停止,兩腔室中的粒子分別落在各自腔室的底部,不再交換. 統(tǒng)計振動平衡時兩側(cè)腔室內(nèi)銅球的數(shù)量.

(a)剛開始振動 (b)振動平衡圖2 容器內(nèi)粒子狀態(tài)示意圖

實驗中觀察到,保持粒子總數(shù)、種類和振動頻率不變,若振幅大于某閾值A(chǔ)0,則平衡后兩腔室的粒子數(shù)基本一致,如圖3(b)所示. 反之,若振幅小于該閾值,則平衡時兩腔室的粒子數(shù)不相等,且振幅越小,兩腔室的粒子數(shù)差異越大,如圖3(c)所示.

(a)實驗開始前

在以往的實驗中,一般采取改變頻率而保持振幅的方法[1]. 出于測量原理考慮,本文在實驗中保持頻率不變而調(diào)節(jié)振幅. 由于最大加速度正比于振幅,通過簡單計算可以得到兩腔室的球數(shù)量比與振幅的關(guān)系.

2 理論建模和計算

在實驗中,所有運動過程均依靠粒子碰撞完成,因此可以觀察到重力作用下粒子數(shù)密度下高上低的特點.

在恢復(fù)系數(shù)e比較大的情況下,由于單次碰撞能量損失δE∝1-e2,因此可以將粒子數(shù)密度n?1和1-e?1的微觀化氣體進行類比,并保持單位體積碰撞能損功率n2(1-e2)不變,這就要求選取數(shù)量大而彈性好的剛性小球作為實驗材料,本文選取銅球.

(1)

以上4式來源于理想氣體物態(tài)、受力平衡、碰撞頻率和傳熱方程.式中,變量p和Q為粒子等效壓強和單位面積傳熱功率;σ,κ和〈E〉分別為粒子碰撞截面、導(dǎo)熱系數(shù)和單次平均能量損失.由近平衡碰撞理論,可以計算得到:

(2)

(3)

以上計算過程采用相對運動粒子對心連線方向上相對速度分布服從T=2T0的麥克斯韋速率分布這一結(jié)論[3].

將式(2)～(3)代入式(1),得到:

(4)

對于將顆粒系統(tǒng)近似為理想氣體的研究,方程組(4)是精確的,但難以求出解析解.

(5)

將方程組(5)代入式(1),得關(guān)于y的微分方程為

(6)

雖然解析方程(6)并不初等,但后文的研究表明在適當?shù)慕茥l件下,模型結(jié)果與實驗測量符合較好.

(7)

考慮到溫度的物理意義,y應(yīng)在任何位置不發(fā)散,因此必有T為常量.代入某高度單位厚度的能量損耗功率方程(4),可以求得總損耗功率為

(8)

(9)

其中,S為每個腔室的底面積,式(8)利用了歸一化條件.

計算高度z=0處由底板振動帶來的能流密度,與總損耗功率相當.由于系統(tǒng)總體受力平衡,因此底面的壓力大小始終為F=mgN(N為粒子總數(shù)).設(shè)底板上移時速度為V,則等效壓力f=2mgN,驅(qū)動功率U=mgNV.由于系統(tǒng)的消耗功率Q和驅(qū)動功率U相同,因此將式(9)變形即可算出溫度為

(10)

(11)

將式(10)代入式(11)可得到:

(12)

其中,A為振幅,f為三角波電壓的頻率,h為狹縫到容器底部的高度.

最終穩(wěn)定振動時左右兩側(cè)腔室向?qū)Ψ睫D(zhuǎn)移的粒子數(shù)應(yīng)相等,即PL=PR,用nL和nR表示為

(13)

為求解方程(13),將其兩側(cè)所代表的曲線作圖,如圖4所示.改變序參量γη的值,得到方程解的特征也不同.

(a)γη=3.2

從圖4可以看出,方程(13)存在2種解:

2)只有在γη>4的條件下才會出現(xiàn)的非對稱解.理論計算中,非對稱解的值隨序參量γη的變化如圖5所示.

圖5 非對稱解隨序參量γη的變化

3 實驗結(jié)果

固定頻率f=60 Hz,用高速攝像機對振動臺振幅做定標處理,得到關(guān)系系數(shù)k=72 V/mm.通過改變輸入電壓改變振幅,測量振幅A、參量η、粒子分布參量τ和理論指數(shù)τ0數(shù)據(jù)如表1所示.如果理論合理,則分布參量τ應(yīng)當能擬合在圖5的曲線上,使用最小二乘法回歸得到系數(shù)γ=0.073±0.006,r=0.96.實驗值與理論值γ0=0.069±0.004基本一致,可認為理論模型合理,本文計算了真實條件下的分布,結(jié)果令人信服[4].

表1 A,η,τ,τ0的測量數(shù)據(jù)

4 模型修正

顯然,由于Γ不嚴格為0,前文對于方程(4)的近似不合理,也與測量結(jié)果不符. 但是,數(shù)密度n卻有了良好的表達式,且與實驗吻合. 下面將求修正解,優(yōu)化對T(z)的描述.

(14)

將式(14)代入微分方程(1),忽略高階項,可得

(15)

此處選取實驗參量.可判斷exp (-λz)?1確實成立,保留到一階合理.利用y的表達式展開T,同時將y代入關(guān)于n2的表達式,可得

(16)

(17)

此處體現(xiàn)選擇近似的意義:關(guān)于數(shù)密度n2的方程必須在T的一階近似下才有意義.若取T=T0近似,則解得n2=0.這是因為Γ是一階小量,必須將T的表達式也近似到一階,否則就不能反映Γ的大小.而采用級數(shù)修正的意義正是能夠在不改變n2表達式的條件下修正對T的描述.此時,方程(1)式近似成立的條件是:

(18)

可知,一階修正的大小與Γ成正比.理想氣體近似下,1-e2=0,Γ=0.對于e≠1的情況,則必須將指數(shù)按1-e2的階數(shù)展開.而在本實驗的參量選擇下,計算表明展開到一階就已足夠準確.

為顯示一階近似修正的成功之處,將未修正結(jié)果(劃線)、修正結(jié)果(點線)和測量得到的等效溫度分布[5](實線)進行對比,如圖6所示,可以看到引入一階修正后對溫度的描述更好.

圖6 溫度修正圖

另一種可能存在的誤差,是對底面單位時間傳遞熱量的估計不準確.選擇另一種求解觀點,認為z=0位置的氣體服從麥克斯韋速度分布規(guī)律,重新統(tǒng)計碰撞前后氣體粒子能量的增量,通過積分計算得到:

mnv0T(0)=mgNv0,

(19)

5 展望和深入研究

在理解單種粒子的顆粒碰撞現(xiàn)象后,可以將類似的觀點和處理方式運用在其他顆粒動力學(xué)現(xiàn)象中,例如堅果效應(yīng)和逆堅果效應(yīng)[6].在電場的膠體電泳、混懸液沉降問題中,類似的能量損耗也會發(fā)生[7].本研究的思路可以為這些有現(xiàn)實意義的問題提供幫助,特別是對于能量損耗小、數(shù)密度大的氣相和液相體系(如混懸液、膠體、層析等),按損耗系數(shù)1-e2的階數(shù)展開的修正方法具有參考意義.如何在這些體系中描述物理過程,是未來的研究方向.

6 結(jié)束語

本文基于熱力學(xué)輸運和逐級展開研究了受豎直驅(qū)動的顆粒系統(tǒng)的碰撞,展示了對顆粒系統(tǒng)的的研究思路:輸運過程依靠粒子的劇烈碰撞實現(xiàn),可以認為粒子服從理想氣體狀態(tài)方程和麥克斯韋速度分布. 為各向同性的粒子定義溫度和熱流,通過粒子運動輸運能量傳遞損耗,計算粒子和溫度分布. 本文將以往研究中定性的計算定量化,從熱力學(xué)輸運的角度近似,精確求出粒子分布的表達形式,并對文獻[4]中沒有指明的恒溫近似做進一步處理,給出溫度分布方程和一階修正,證明該近似在實驗條件下成立,同時與實驗測量結(jié)果吻合.