楊 杰,朱如鵬,陳蔚芳,戴光昊,岳彥炯,尹遜民
(1.常州工學(xué)院航空與機械工程學(xué)院/飛行學(xué)院,江蘇 常州 213032;2.南京航空航天大學(xué)機電學(xué)院,南京 210016;3.中國船舶集團有限公司第七〇三研究所,哈爾濱 150078)
艦船齒輪箱的過度振動不僅會降低其使用壽命,而且會引起機艙水下輻射振動噪聲的增大,影響艦船的隱蔽性,因此對艦船齒輪箱振動噪聲控制尤其重要[1]。現(xiàn)今,主要利用優(yōu)化殼體肋板分布[2]、在殼體表面敷設(shè)阻尼材料[3]、在軸承上安裝阻尼支撐圈[4]等手段來控制齒輪箱體輻射噪聲。此外,還通過在齒輪箱與艙體之間安裝彈性支撐[5]、多層徑向隔振元件[6]、周期性復(fù)合材料支撐柱[7]等措施來減少齒輪箱振動向艙體的傳遞。這些減振降噪的措施在一定程度上改善了齒輪箱的振動噪聲。為了進一步控制齒輪傳動系統(tǒng)振動向齒輪箱安裝基座的傳遞,王夢琪等[8]提出了一種從齒輪箱內(nèi)部隔離齒輪傳動系統(tǒng)振動的隔振技術(shù),該技術(shù)通過在雙層殼體齒輪箱的內(nèi)外層殼體之間布置隔振器來實現(xiàn)振動噪聲控制,其隔振效果可達到12 dB,且通過研究表明優(yōu)化隔振器參數(shù)可提高雙層殼體齒輪箱隔振性能[9-10]。對于雙層殼體齒輪箱這種大功率、重負載、高沖擊、高頻下的動力傳動裝置,有三個重要核心部件:內(nèi)層殼體、外層殼體和隔振器。特別是,齒輪箱內(nèi)外殼體存在薄壁結(jié)構(gòu),在隔振器參數(shù)設(shè)計不當(dāng)時可能存在共振與模態(tài)耦合振動現(xiàn)象。因此有必要對雙層殼體齒輪箱進行柔性高效高精度的動力學(xué)建模與振動特性分析。
目前主要有兩種方法對雙層殼體齒輪箱進行柔性動力學(xué)建模:一種為采用有限元方法對齒輪箱完全建模;另一種為使用模態(tài)綜合法對齒輪箱整體縮聚建模。然而,前者建立的完全有限元模型使得系統(tǒng)的自由度巨大且在與傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型耦合求解時效率低[11],后者建立的縮聚模型精度難以把握且對隔振器參數(shù)優(yōu)化繁瑣[12-13]。因此,本文將雙層殼體齒輪箱的內(nèi)外殼體分別設(shè)置為獨立子結(jié)構(gòu),采用模態(tài)綜合法對各子結(jié)構(gòu)有限元模型進行縮聚;再以齒輪箱內(nèi)外殼體的隔振器結(jié)合處為連接點,通過隔振器的剛度和阻尼矩陣實現(xiàn)兩個子結(jié)構(gòu)縮聚模型組裝,進而形成整體的雙層殼體齒輪箱的縮聚模型。該縮聚模型考慮了不相鄰的離散質(zhì)量塊在空間上多向耦合問題[14-15],而且還可以實現(xiàn)齒輪箱整體結(jié)構(gòu)模型在工程關(guān)注的固有頻率內(nèi)近似等效。
由于雙層殼體齒輪箱的內(nèi)殼體采用隔振器支撐,導(dǎo)致內(nèi)殼體支撐剛度降低,易誘發(fā)內(nèi)殼體剛體振動。若齒輪箱的內(nèi)殼體剛體振動與外殼體彈性振動產(chǎn)生耦合,可能會出現(xiàn)共振現(xiàn)象[16],使得齒輪箱產(chǎn)生更為嚴(yán)重的振動噪聲。因此,本文通過廣義彈性力能量解耦法[17]探討雙層殼體齒輪箱的模態(tài)振動耦合機理,再分別從模態(tài)解耦率、模態(tài)貢獻度、振級落差和傾斜度四個方面對雙層殼體齒輪箱的隔振性能進行綜合評估,為船舶齒輪箱隔振降噪的設(shè)計提供理論基礎(chǔ)。
雙層殼體齒輪箱是由外殼體、內(nèi)殼體和隔振器等組成,如圖1所示。在齒輪箱的內(nèi)殼和外殼之間按輻射式安裝隔振器,以實現(xiàn)齒輪傳動系統(tǒng)與齒輪箱隔離,達到降低振動噪聲目的。隔振器中的橡膠材料屬于超粘性和高彈性材料,為了簡化計算,本文將隔振器簡化為具有剛度和阻尼性能的彈簧單元。
圖1 雙層殼體齒輪箱結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of a double-layer gearbox casing
針對雙層殼體齒輪箱結(jié)構(gòu)復(fù)雜且尺寸大的特點,通過模態(tài)綜合法對齒輪箱原有限元模型的自由度進行降維和變換可以實現(xiàn)模型的縮聚,從而降低了原模型的自由度[18]?;谀B(tài)綜合法建立雙層殼體齒輪箱的柔性動力學(xué)模型的流程如圖2 所示。首先,將雙層殼體齒輪箱的內(nèi)外層殼體分別設(shè)置為單獨子結(jié)構(gòu)模型;其次,在各子結(jié)構(gòu)的結(jié)合點和結(jié)構(gòu)特征點處建立縮聚點;再次,根據(jù)內(nèi)外層殼體之間的實際位置關(guān)系,將縮聚子結(jié)構(gòu)模型的剛度矩陣和阻尼矩陣組裝成整個齒輪箱的縮聚模型;最后,由于雙層殼體齒輪箱的柔性動力學(xué)建模的精度與各子結(jié)構(gòu)縮聚模型中縮聚點的位置和數(shù)量有關(guān)[19],通過齒輪箱的縮聚模型與原始模型的固有特性對比分析,調(diào)整縮聚點的位置和數(shù)量,以滿足該縮聚模型的有效性。
圖2 柔性雙層殼體齒輪箱動力學(xué)建模流程圖Fig.2 Flexible modeling flow chart of a double-layer gearbox casing
圖3給出雙層殼體齒輪箱縮聚點位置示意圖和縮聚模型。在內(nèi)外層殼體的輸入端和輸出端的隔振器底座處設(shè)置縮聚點,用于內(nèi)外殼體子結(jié)構(gòu)模型的連接。此外,在每個子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征處(如軸承座、機腳、中心點等)設(shè)置縮聚點,這些縮聚點與齒輪箱的結(jié)構(gòu)特征處主節(jié)點剛性耦合。
圖3 雙層殼體齒輪箱模型Fig.3 Model of a double-layer gearbox casing
通過模態(tài)綜合法獲得雙層殼體齒輪箱的各子結(jié)構(gòu)縮聚質(zhì)量矩陣Mτg和剛度矩陣Kτg。假設(shè)內(nèi)外殼體中有Nτ個縮聚點,縮聚的Mτg和剛度矩陣Kτg可寫成為
式中,a和b分別代表雙層殼體齒輪箱內(nèi)外殼體,交叉子矩陣Mτij和Kτij(i≠j;i=1,2,…,Nτ;j=1,2,…,Nτ)為輸出齒輪箱外殼體子結(jié)構(gòu)各縮聚點的耦合質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣,主子矩陣Mτii和Kτij為外殼體子結(jié)構(gòu)縮聚點的主質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。子矩陣Mτij和Kτij均為6×6的方矩陣,即對應(yīng)縮聚點的3個平動自由度和3個轉(zhuǎn)動自由度。
將各個子結(jié)構(gòu)縮聚矩陣按連接關(guān)系進行組裝,從而建立雙層殼體齒輪箱的縮聚模型。實際上,齒輪箱安裝螺栓的連接屬于典型的剛性連接子結(jié)構(gòu),與其它縮聚點沒有偶聯(lián)作用。內(nèi)殼體和外殼體通過隔振器來解決雙層殼體齒輪箱模型連接問題,隔振器的剛度和阻尼如表1。根據(jù)隔振器在雙層齒輪箱的位置,將輸入端和輸出端的各隔振器剛度矩陣和阻尼矩陣通過變換轉(zhuǎn)移到各子結(jié)構(gòu)縮聚模型的隔振器縮聚點位置,進而確定內(nèi)層殼體和外層殼體的隔振器剛度Kioa和Kiob及對應(yīng)的阻尼矩陣Cioa和Ciob,以及內(nèi)層殼體與外層殼體之間的耦合矩陣Kioab及其對應(yīng)的耦合阻尼矩陣Cioab,它們維數(shù)為Nτ×Nτ,外層殼體與內(nèi)層殼體之間的耦合矩陣和阻尼矩陣分別為(Kab)-1和(Cab)-1。
表1 隔振器的剛度和阻尼[10]Tab.1 Stiffness and damping of vibration isolators
綜合以上分析,雙層殼體齒輪箱的縮聚子結(jié)構(gòu)耦合模型的運動微分方程可以表示為
式中,F(xiàn)g為雙層殼體齒輪箱承受的載荷,xg為齒輪箱振動位移向量,Mg、Kg、Cg分別為齒輪箱的總體縮聚質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣。這些矩陣可以分別表示為
顯然,式(2)具有通用性,能夠描述雙層殼體齒輪箱的模態(tài)特性。由于內(nèi)外殼體子結(jié)構(gòu)是由諸多縮聚點通過彈性耦合連接進行等效,因此廣義質(zhì)量矩陣Mg包含了內(nèi)外殼體子結(jié)構(gòu)的縮聚點的質(zhì)量矩陣及其對應(yīng)結(jié)構(gòu)分布特征,廣義剛度矩陣Kg和阻尼矩陣Cg中同樣包含內(nèi)外殼體子結(jié)構(gòu)的縮聚點的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣,以及隔振器及其對應(yīng)空間分布的剛度和阻尼矩陣。
通過對雙層殼體齒輪箱進行模態(tài)解耦,在不影響其它自由度方向上的關(guān)聯(lián)性前提下,對隔振效果不好且激振能量大的自由度采取控制措施[20]。因此,探討雙層殼體齒輪箱模態(tài)解耦是提高齒輪箱隔振效果一種有效的方法。
根據(jù)式(3)可知,若Kioab=0且Cioab=0,內(nèi)外層殼體將完全解耦。在齒輪箱的結(jié)構(gòu)尺寸不變且忽略隔振器質(zhì)量下,隔振器剛度對齒輪箱的固有特性影響明顯高于隔振器阻尼[21],因此隔振器剛度是造成內(nèi)外殼體模態(tài)耦合的主要因素。此時內(nèi)殼體的振動模態(tài)由縮聚模型剛度矩陣Kag和隔振器剛度Kioa共同決定,外殼體的振動模態(tài)由縮聚模型剛度矩陣Kbg和隔振器剛度Kiob共同決定,即齒輪箱內(nèi)外殼體存在復(fù)雜的耦合振動。雙層殼體齒輪箱設(shè)計目的是削弱傳動系統(tǒng)的嚙頻振動傳遞到船艙,能量解耦法能較好地闡述系統(tǒng)在較低頻段時剛體模態(tài)耦合振動機理。本文將用能量解耦法分析雙層殼體齒輪箱的模態(tài)耦合機理。
當(dāng)忽略系統(tǒng)激勵和阻尼時,雙層殼體齒輪箱縮聚模型的特征值問題可以轉(zhuǎn)化為
式中,ωk和φ(kk=1,2,…,Nτ×Nτ)分別為雙層殼體齒輪箱縮聚模型的第k階固有頻率和振型矢量,該振型矢量是按諸自由度中最大幅值歸一化獲得的。
對于式(4)的雙層殼體齒輪箱模態(tài)振動問題,其系統(tǒng)的機械能守恒,系統(tǒng)中慣性力做功和彈性力做功總是大小相等、符號相反。因此,從系統(tǒng)廣義慣性力做功和廣義彈性力做功兩個角度闡述模態(tài)振動解耦程度是一樣的[17,21],本文將從廣義彈性力做功的角度來定義模態(tài)示功向量。
若雙層殼體齒輪箱系統(tǒng)以第k階振動時,第m個自由度上所做的功為
所有彈性力在整個系統(tǒng)上做功的最大值為
齒輪箱在第k階振動的模態(tài)示功向量Pmk可由第m個自由度上所做的功與所有彈性力在整個系統(tǒng)所做功的最大值的比值衡量,即
根據(jù)模態(tài)示功向量Pmk的各個分量的相對大小來判斷各自由度耦合程度。實際上,為系統(tǒng)的模態(tài)剛度矩陣。
雙層殼體齒輪箱內(nèi)外殼體在第k階模態(tài)振動下所有彈性力在整個系統(tǒng)所做功分別為
由式(7)可得,內(nèi)殼體和外殼體振動在各自由度下的耦合程度為
式(9)描述了雙層殼體齒輪箱在第k階振動時,各自由度下的能量分布情況。對于雙層殼體齒輪箱,期望是以低頻的內(nèi)殼體剛體振動為主。因此,在設(shè)計隔振器剛度時應(yīng)使得Pam(kk=1,2,…6)最大,而Pbmk最小。
然而,被縮聚的雙層殼體齒輪箱內(nèi)殼體子結(jié)構(gòu)具有多個自由度,內(nèi)殼體的前6階振型呈現(xiàn)多自由度參與模態(tài)振動,使用式(9)僅可獲得某個單自由度的內(nèi)外殼體耦合程度,難以從整體上闡述耦合程度。因此,當(dāng)內(nèi)殼體處于第k階振動時,本文將內(nèi)殼體子結(jié)構(gòu)所有縮聚節(jié)點在3 個平動自由度x(軸向)、y(橫向)、(z垂向)及其對應(yīng)的3個轉(zhuǎn)動自由度R(x繞x軸)、R(y繞y軸)、R(z繞z軸)上的模態(tài)示功向量進行疊加,來計算雙層殼體齒輪箱的模態(tài)解耦率,其表達式為
理論上,若∑PPkj= 1,則說明雙層殼體齒輪箱的第k階模態(tài)只有內(nèi)殼體振動;若∑PPkj= 1 且PPkj= 1,則說明雙層殼體齒輪箱的第k階模態(tài)僅表現(xiàn)為內(nèi)殼體第j方向振動,與其它五個方向完全解耦;若∑PPkj= 1且PPkj<1,則說明雙層殼體齒輪箱的第k階模態(tài)存在內(nèi)殼體耦合振動。
對于一個多自由度的線性定常系統(tǒng),任一節(jié)點響應(yīng)均可用系統(tǒng)的每階模態(tài)響應(yīng)線性疊加獲得。因此,k個自由度的雙層殼體齒輪箱縮聚模型的位移響應(yīng)為
式中,φ為系統(tǒng)模態(tài)振型,φ=[φ1,φ2,…,φk],φk為系統(tǒng)第k階振型,與式(4)同含義。qg={q1,q2,…,qk}(Tk=1,2,…,Nτ×Nτ),qk表示第k階模態(tài)振型對系統(tǒng)響應(yīng)參與程度。
系統(tǒng)的全解耦表達式為
式中,fk為模態(tài)坐標(biāo)中的載荷,fk=。
當(dāng)雙層殼體齒輪箱以簡諧振動時,有
式中,qkc為第k階模態(tài)的復(fù)模態(tài)坐標(biāo),fkc為第k階模態(tài)的復(fù)載荷。
在激勵頻率Ω下,雙層殼體齒輪箱第k階模態(tài)的貢獻量為
每一階的齒輪箱模態(tài)振型在實際響應(yīng)中的貢獻度Qk可以表示為
式(15)可以理解為由齒輪箱的單階模態(tài)引起的振動響應(yīng)在總振動響應(yīng)中所占的比重,齒輪箱在某階的比重越大,則說明齒輪箱的這階為主導(dǎo)模態(tài),對齒輪箱振動響應(yīng)越大。
本文以雙層殼體齒輪箱的振動加速度響應(yīng)作為隔振性能考察對象。根據(jù)振級落差定義[22],可得在第i個隔振器處的內(nèi)外殼體的振級落差為
式中,下標(biāo)ni和wi分別表示為第i個隔振器對應(yīng)的內(nèi)外殼體振動縮聚節(jié)點,xˉg為雙層殼體齒輪箱的振動復(fù)位移。
取所有隔振器處振級落差的平均值作為雙層殼體齒輪箱的隔振性能的評價指標(biāo),有
式中,Nio為隔振器的數(shù)量。
由于雙層殼體齒輪箱的內(nèi)殼體受載荷位置和方向不同,輸入端和輸出端的隔振器變形有所不同,從而使得內(nèi)殼體產(chǎn)生傾斜。為了了解雙層殼體齒輪箱的內(nèi)殼體傾斜程度,本文以輸入端和輸出端在軸承座的振動位移幅值落差比來衡量內(nèi)殼體傾斜程度,即
式中:下標(biāo)H和V分別代表內(nèi)殼體的橫向和垂向?qū)?yīng)的振動位移變化;δH(V)為內(nèi)殼體的振動位移幅值落差比;∠δH(V)為內(nèi)殼體振動位移相位角變形值,它的值越小,則說明內(nèi)殼體傾斜程度越小,齒輪箱的運行越平穩(wěn);xg(Ω)|niH(V)為內(nèi)殼體輸入端的振動位移響應(yīng);xg(Ω)|noH(V)為內(nèi)殼體輸出端的振動位移響應(yīng)。
由于雙層殼體齒輪箱安裝于船體上,本文采用彈簧單元表示地腳螺栓剛度,彈簧單元的一端連接到地腳螺栓孔處的縮聚點,另外一端設(shè)置為固定約束的邊界條件。圖4 給出了雙層殼體齒輪箱的完全有限元模型[10]和縮聚子結(jié)構(gòu)模型的前六階固有頻率,從圖中可以看出,縮聚模型和完全有限元模型的前六階固有頻率非常接近,其最大誤差為7.33%。另外,縮聚模型各自由度的前6 階模態(tài)解耦率之和均在97.6%以上,如圖5所示??s聚模型的第1階的x方向(橫向)、第4階的z方向(垂向)和第5階的y方向(橫向)的模態(tài)解耦率最大,其值分別為97.6%、94.9%和95.5%,這表明縮聚模型的第1階、第4階和第5階是平移振動。由于內(nèi)殼體繞軸向轉(zhuǎn)動時,帶動齒輪箱體軸截面上的節(jié)點振動,縮聚模型的第2 階、3 階和6 階均有三個自由度(一個轉(zhuǎn)動和兩個平動方向)參與振動,這些結(jié)果與采用Lanczos 方法計算的雙層殼體齒輪箱的完全有限元模型模態(tài)響應(yīng)的結(jié)果一致[10],即雙層殼體齒輪箱的前六階模態(tài)振型主要為內(nèi)殼體獨立振動。綜合上述表明,雙層殼體齒輪箱具有良好的模態(tài)解耦特性,且雙層殼體齒輪箱的縮聚模型可以代替其實際模型。
圖4 縮聚模型和有限元模型的固有頻率Fig.4 Condensation and FEM natural frequencies of the gearbox casing
圖5 雙層殼體齒輪箱的模態(tài)解耦率Fig.5 Modal decoupling rate of the double-layer gearbox casing
通過2.2節(jié)模態(tài)貢獻度的計算方程,可以獲得雙層殼體齒輪箱的模態(tài)貢獻度。在計算雙層殼體齒輪箱模態(tài)解耦率的邊界條件基礎(chǔ)上,通過在齒輪箱的輸入端、輸出端以及封閉級行星架縮聚點上施加幅值為1000 N 的激勵載荷,并以封閉差動行星齒輪系輸入轉(zhuǎn)速3000 r/min 為工況[13],分析在差動級嚙合頻率fm1、封閉級嚙合頻率fm2、及其諧頻的激勵頻率下對雙層殼體齒輪箱的前12階模態(tài)貢獻度,如圖6 所示。雙層殼體齒輪箱的第四和五階模態(tài)貢獻度占主導(dǎo)地位,第二、三和六階的模態(tài)貢獻度小于第四和五階,它們中最小模態(tài)貢獻度為13.53%。由于第一階的模態(tài)振型為軸向平移振動,該階的模態(tài)貢獻度最大值為0.02%。另外,雙層殼體齒輪箱的第十二階的模態(tài)貢獻度高于第七至十一階。第十二階的模態(tài)振型主要表現(xiàn)為輸入端輸出端軸承座縱向擺動,屬于內(nèi)殼體振動。這些研究結(jié)果與3.1節(jié)研究結(jié)果相對應(yīng),即雙層殼體齒輪箱前六階模態(tài)振型具有良好的解耦特性,因此齒輪箱前六階的模態(tài)貢獻度占主導(dǎo)。
圖6 雙層殼體齒輪箱的模態(tài)貢獻度Fig.6 Modal contribution of double-layer gearbox casing with vibration isolators
在激勵頻率1~6000 Hz 范圍內(nèi),以間隔為0.1 Hz 計算雙層殼體齒輪箱的輸入端和輸出端振級落差,如圖7 所示。除了在激勵頻率347.9~457.7 Hz 范圍內(nèi)的輸出端橫向振級落差之外,雙層殼體齒輪箱的輸入端和輸出端振級落差均大于零,說明雙層殼體齒輪箱具有良好的隔振效果。另外,從圖7(b)可以發(fā)現(xiàn),在激勵頻率347.9~457.7 Hz范圍內(nèi),齒輪箱垂向的振級落差小于零,這表明隔振器對齒輪箱垂向振動無隔振效果,因此在設(shè)計雙層殼體齒輪箱時應(yīng)該避開這頻率范圍。當(dāng)激勵頻率從1.0 Hz 增大到373.1 Hz 時,雙層殼體齒輪箱的振級落差急劇下降到最小值;隨著激勵頻率繼續(xù)增大,振級落差以波動的形式變化。輸入端的橫向和垂向的最大振級落差分別為27.2 dB和27.3 dB,輸出端的橫向和垂向的最大振級落差分別為34.2 dB 和30.6 Hz。另外,在不同的激勵頻率下,輸入端的橫向和垂向的振級落差存在差異,輸出端也是如此。
圖7 不同激勵頻率下的雙層殼體齒輪箱振級落差Fig.7 Vibration level difference of double-layer gearbox casing under different excitation frequencies
在激勵頻率1~6000 Hz范圍內(nèi),雙層殼體齒輪箱的內(nèi)殼體傾斜程度的變化情況如圖8所示。從圖中可以看出,當(dāng)激勵頻率Ω小于2000 Hz時,內(nèi)殼體的振動幅值落差比和相位變化值波動比較明顯,例如在激勵頻率Ω=1546.3 Hz時,垂向振動幅值落差比δV=9.60;在激勵頻率Ω=343.4 Hz時,橫向振動相位角變化值為5.97 rad,由此表明當(dāng)激勵頻率小于2000 Hz時,應(yīng)注意齒輪箱的內(nèi)殼體傾斜程度變化。在設(shè)計齒輪箱時,通過降低內(nèi)殼體的振動幅值落差比和相位變化值,可以提高雙層殼體齒輪箱的穩(wěn)定性。
(1)本文所建立的雙層殼體齒輪箱的縮聚模型能夠減少其完全有限元模型的自由度。該模型不僅解決了柔性雙層隔振系統(tǒng)動力學(xué)建模中不相鄰的離散質(zhì)量塊在空間上的多向耦合問題,而且在分析隔振器參數(shù)對齒輪箱的隔振性能影響方面具有良好的適用性。
(2)本文分別從模態(tài)解耦率、模態(tài)貢獻度、振級落差和傾斜度四個方面對雙層殼體齒輪箱的隔振性能進行了分析。研究表明,齒輪箱縮聚子結(jié)構(gòu)模型在平動方向的模態(tài)解耦率均在94.9%以上,其模態(tài)貢獻度主要以二至六階為主導(dǎo)。當(dāng)激勵頻率小于2000 Hz時,對齒輪箱的振級落差和傾斜程度影響較為明顯。因此,在提高雙層殼體齒輪箱的隔振性能時,既要增大內(nèi)外殼體的振級落差,又要保證內(nèi)殼體的良好傾斜程度。