袁奎霖，孫卓成

（大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)物服役于惡劣的海洋環(huán)境中，長期遭受如風(fēng)載荷、波浪載荷、海流載荷等多種隨機交變載荷作用，極易產(chǎn)生疲勞損傷。在初期設(shè)計階段，通常采用基于功率譜的頻域方法計算隨機應(yīng)力響應(yīng)造成的疲勞損傷。當(dāng)結(jié)構(gòu)應(yīng)力是一個零均值窄帶高斯隨機過程時，其應(yīng)力范圍服從Ray?leigh 分布，Bendat 等[1]根據(jù)這種特性推導(dǎo)了在頻域內(nèi)的窄帶疲勞損傷解析解。然而，實際情況下船海結(jié)構(gòu)物在多種外部載荷和自身彈性變形影響下，結(jié)構(gòu)應(yīng)力往往是一個寬帶高斯隨機過程，其應(yīng)力范圍的概率分布難以確定。工程上往往仍采用基于窄帶假設(shè)的Rayleigh 分布模型計算寬帶疲勞損傷，但當(dāng)帶寬系數(shù)變大時將會高估疲勞損傷。因此，研究寬帶高斯隨機過程下疲勞損傷的頻域評估方法具有一定的理論意義和實際應(yīng)用價值。

目前，針對寬帶高斯應(yīng)力造成的疲勞損傷問題，學(xué)者們提出了一系列近似方法。Wirsching 和Light[2]假設(shè)寬帶應(yīng)力過程的應(yīng)力范圍仍服從Rayleigh 分布，在此基礎(chǔ)上引入一個可以考慮帶寬影響的修正系數(shù)對窄帶近似疲勞損傷解進行修正。W-L 修正系數(shù)已經(jīng)在船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)物疲勞規(guī)范[3-4]中得到廣泛應(yīng)用。由于寬帶高斯應(yīng)力的雨流幅值概率密度函數(shù)難以從應(yīng)力響應(yīng)功率譜直接推導(dǎo)，也有學(xué)者試圖借助時域模擬仿真建立雨流幅值的經(jīng)驗概率密度函數(shù)，以此建立更為可靠的寬帶疲勞損傷預(yù)報模型。Dirlik[5]采用不同參數(shù)形式的功率譜密度函數(shù)，通過蒙特卡羅時域模擬仿真對雨流計數(shù)后的應(yīng)力范圍進行統(tǒng)計分析，提出了一個雨流幅值的經(jīng)驗概率密度函數(shù)。Dirlik模型由一個指數(shù)分布和兩個Rayleigh 分布組成描述雨流幅值分布，由此推導(dǎo)出的疲勞損傷解析解的計算精度較W-L修正系數(shù)法有明顯改善。Zhao 和Baker[6]提出了由一個Weibull 分布和一個Rayleigh 分布線性組合而成的雨流幅值概率密度的近似模型，但該模型對于帶寬系數(shù)較大的功率譜而言，計算效果仍有待改善。Tovo和Benasciutti[7-8]提出了T-B 法即將雨流計數(shù)損傷表示為由一個權(quán)重系數(shù)bTB控制的范圍計數(shù)損傷和窄帶假設(shè)損傷的線性組合，并通過大量數(shù)值實驗得到了權(quán)重系數(shù)bTB的近似公式。已有研究[9-10]表明，T-B法具有適用范圍廣泛且計算精度較高的特點，對于不同譜型都具有較好的魯棒性。

然而，T-B 法中參數(shù)bTB的近似公式僅與譜矩有關(guān)，并沒有考慮S-N曲線斜率參數(shù)m的影響，因而隨著斜率參數(shù)m的增大，T-B 法與雨流法的差異亦逐漸增大。針對該問題，本文在原有T-B 法基礎(chǔ)上，在權(quán)重系數(shù)中引入S-N曲線斜率參數(shù)m加以修正，并通過大量數(shù)值實驗結(jié)果擬合得到一個新的權(quán)重系數(shù)bMTB的非線性函數(shù)模型。在此基礎(chǔ)上提出一種基于改進T-B法的寬帶高斯疲勞損傷分析方法，并對該方法的有效性進行驗證。

1 寬帶高斯隨機過程疲勞損傷分析方法

1.1 譜矩和帶寬系數(shù)

對于單邊功率譜密度函數(shù)為SXX(ω)的平穩(wěn)高斯隨機過程X(t) 而言，其譜矩定義為

式中，ω為角頻率，單位為rad/s。對于高斯過程，其平均跨零率v0和平均峰值率vp可由譜矩表示：

此外，譜矩可以對隨機過程的帶寬進行表征，即帶寬系數(shù)可表示為

其中，最常用的兩個帶寬系數(shù)α1和α2定義如下：

此外，工程上常用的與α1和α2有關(guān)的另外兩種帶寬系數(shù)定義如下：

式中，δ稱為Vanmarcke 帶寬系數(shù)[11]，取值范圍為0 ?δ?1；ε稱為Wirsching 帶寬系數(shù)[2]，取值范圍為0 ?δ?1。當(dāng)α1和α2越趨近于0，隨之δ和ε越趨近于1 時，該隨機過程越趨近于理想寬帶隨機過程，反之則越趨近于窄帶隨機過程。工程上一般認為δ大于0.1時，可將一個隨機過程視作寬帶隨機過程。

1.2 高斯隨機疲勞損傷分析

目前工程上的疲勞損傷分析主要是基于S-N曲線方法進行的。材料的S-N曲線表示了該材料在恒幅循環(huán)載荷作用下應(yīng)力范圍與疲勞失效循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系，其一般表達式如下：

式中，S代表應(yīng)力范圍，N代表在特定的應(yīng)力水平作用下疲勞失效時的循環(huán)次數(shù)，m和K分別是材料參數(shù)。

當(dāng)結(jié)構(gòu)遭受多級應(yīng)力載荷時，工程上常采用Miner線性累積損傷理論計算總疲勞損傷：

式中，ni表示在應(yīng)力范圍Si作用下的循環(huán)次數(shù)，Ni表示在相同應(yīng)力范圍Si作用下疲勞失效時的循環(huán)次數(shù)，n代表載荷作用時長T內(nèi)的總循環(huán)次數(shù)為Sm的數(shù)學(xué)期望。

當(dāng)結(jié)構(gòu)應(yīng)力是一個隨時間變化的隨機過程時，其雨流循環(huán)的概率密度函數(shù)為fs(S)，則在隨機響應(yīng)作用時間T下的疲勞損傷可表示為

當(dāng)隨機過程X(t)是一個嚴格的零均值窄帶高斯過程時，其峰值和谷值在每一個循環(huán)中對稱出現(xiàn)，由此可以認為其雨流幅值分布與其峰值分布均服從Rayleigh分布：

其應(yīng)力范圍S是應(yīng)力幅值R的2倍，也服從Rayleigh 分布，并且平均峰值率vp等于平均跨零率v0。由式（8）可得到作用時間T范圍內(nèi)的窄帶疲勞損傷解析解為

式中，Γ(?)表示gamma函數(shù)。目前,工程中常用Rayleigh分布模型來近似代替寬帶過程，將一個零階譜矩和平均跨零率與原始隨機過程相等的窄帶過程來近似代替實際寬帶過程，即窄帶近似方法。

1.3 寬帶高斯疲勞損傷分析方法

對于寬帶高斯隨機過程，學(xué)者們根據(jù)不同功率譜生成大量隨機時間歷程，力爭頻域結(jié)果與雨流計數(shù)時域結(jié)果的誤差最小化，提出了多種寬帶高斯疲勞損傷的計算公式。

1.3.1 Wirsching-Light方法（W-L）

Wirsching 和Light[2]基于等效近似窄帶過程的概念，提出了一種估算寬帶高斯疲勞損傷的經(jīng)驗?zāi)Ｐ停?/p>

式中，DWL為W-L法估算的寬帶高斯疲勞損傷，DNB為式（10）計算的窄帶高斯疲勞損傷，ρWL是W-L法的修正因子，它是關(guān)于帶寬系數(shù)ε和S-N曲線斜率參數(shù)m的函數(shù)，即

式中：

由上式可知，W-L方法認為寬帶高斯過程的疲勞損傷僅與λ0、λ2和λ4三個譜矩參數(shù)和單斜率S-N曲線斜率參數(shù)m有關(guān)。

1.3.2 Dirlik方法（DK）

Dirlik[5]提出了雨流幅值分布的半經(jīng)驗公式，該分布由一個指數(shù)型分布和兩個Rayleigh 型分布組成：

式中：

進而可以得到寬帶高斯過程的疲勞損傷為

由上式可知，DK 方法的雨流幅值分布僅與兩個帶寬參數(shù)α1和α2有關(guān)，而α1和α2又與λ0、λ1、λ2和λ4四個譜矩參數(shù)有關(guān)。

1.3.3 Zhao-Baker方法（Z-B）

Zhao和Baker[6]提出了一個由Weibull分布和Rayleigh分布線性組合的雨流幅值分布，公式如下：

式中：

由式（8）和式（17）得到疲勞損傷公式如下：

1.3.4 Tovo-Benasciutti方法（T-B）

Tovo 和Benasciutti[7-8]通過理論分析發(fā)現(xiàn)，對于一個穩(wěn)態(tài)高斯隨機過程，其雨流計數(shù)疲勞損傷DRFC總是介于基于范圍計數(shù)的疲勞損傷DRC和窄帶假設(shè)疲勞損傷DNB之間，即

式中，DNB可根據(jù)公式（10）計算，DRC的近似解如下：

基于這種思想，Tovo 和Benasciutti 提出雨流計數(shù)損傷可表示為由一個權(quán)重系數(shù)bTB控制的范圍計數(shù)損傷和窄帶假設(shè)損傷的線性組合，即T-B模型：

為了正確評估DRFC需要確定權(quán)重系數(shù)bTB，Tovo 和Benasciutti 經(jīng)過大量數(shù)值實驗得到bTB的近似公式如下：

由此可知，T-B 法的權(quán)重參數(shù)bTB僅與帶寬系數(shù)α1和α2即λ0、λ1、λ2和λ4四個譜矩參數(shù)有關(guān)，與S-N曲線斜率參數(shù)m無關(guān)。需要說明的是，Tovo和Benasciutti[7-8]通過數(shù)值實驗確定bTB時將S-N曲線斜率參數(shù)固定為m=3。然而，已有研究[13-16]表明，隨著S-N曲線斜率參數(shù)m的增大，T-B法計算的疲勞損傷與雨流法結(jié)果的誤差明顯增大。如圖1所示，本文在前期研究中分析了m=3和m=5時，不同帶寬（α1和α2）條件下由式（23）反推的bsim值與bTB近似公式即式（24）的差別。由圖1 可知，當(dāng)帶寬系數(shù)α2=0.1時，bsim值受m值影響較小且與bTB近似公式吻合較好；隨著α2的增大，m=3和m=5對應(yīng)的bsim值之間的差別變得更加明顯，表明T-B法權(quán)重參數(shù)bTB的近似公式應(yīng)該考慮m的影響。

圖1 權(quán)重系數(shù)的模擬結(jié)果bsim與擬合公式bTB的對比Fig.1 Comparison of the weighting factor bsim from numeri?cal simulation and approximate formula of bTB

2 基于改進T-B法的寬帶高斯疲勞損傷分析方法

2.1 參數(shù)化功率譜

針對T-B法的權(quán)重系數(shù)提出新的擬合公式，本文采用逆傅里葉變換技術(shù)，根據(jù)不同參數(shù)形式的功率譜模擬生成大量的時間序列。采用時域的雨流計數(shù)法計算疲勞損傷，考慮不同的S-N曲線斜率參數(shù)m的影響，代入式（23）中反推出新的權(quán)重系數(shù)。為了能夠得到更大范圍的帶寬參數(shù)，同時考慮到不同譜形對疲勞損傷的影響，本文采用了如圖2所示的六種具有不同形狀的功率譜。

圖2 不同形狀的功率譜Fig.2 Illustration of spectral shapes considered in this study

圖2為六種參數(shù)化功率譜的示意圖。以圖2（a）中的對稱二次型功率譜為例，其表達式如下：

圖2（b）～（f）分別為反對稱二次型、線性以及常數(shù)型功率譜，表達式可參照式（25）獲得。圖2（a）～（e）五種譜型的ω1和ω3為固定值，分別取2π/1000 rad/s和2π rad/s，而ω2介于ω1和ω3之間，通過改變ω2、h1和h2的值可以得到不同形狀的功率譜。為了使得所有譜型的零階譜矩λ0為常數(shù)，各參數(shù)有如下關(guān)系：

其中，圖2（a）～（c）的M=3，圖2（d）的M=2，圖2（e）的M=1。

此外，圖2（f）為分離式矩形雙模態(tài)譜，常被用于高斯雙模態(tài)疲勞損傷分析[12-13]的數(shù)值模擬中，其形狀參數(shù)定義如下:

式中，B為高頻模態(tài)與低頻模態(tài)功率譜下的面積（能量）之比，R為兩個模態(tài)的中心頻率之比。為了保證兩個矩形譜是分離的，R還需要滿足如下條件：

本文中ωa取5 rad/s，B=0.01～10，R=3～20，A1+A2=1。c1和c2決定了低頻和高頻模態(tài)的帶寬特性，本文中c1和c2都取為1.1。

2.2 改進的權(quán)重系數(shù)bMTB

如式（24）所示，原T-B 法的權(quán)重系數(shù)bTB的近似公式僅是與帶寬系數(shù)α1和α2相關(guān)的函數(shù)。本文通過數(shù)值模擬方法重新建立權(quán)重參數(shù)b與帶寬系數(shù)α1、α2以及S-N曲線斜率參數(shù)m的函數(shù)關(guān)系。船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)為鋼質(zhì)焊接結(jié)構(gòu)，其S-N曲線一般為以N=107為拐點的雙斜率曲線。但是，為了便于研究，本文將采用單斜率的S-N曲線進行疲勞損傷計算。具體方法為選取不同的α1、α2和m值，利用2.1節(jié)中的六種譜型生成大量隨機時間序列進行數(shù)值模擬試驗，利用雨流計數(shù)法計算疲勞損傷DsRimFC。由式（23）可得到通過數(shù)值模擬確定權(quán)重系數(shù)bsim的表達式為

式中，DNB和DRC可利用式（10）和式（22）直接計算。由此，生成了一系列與不同α1、α2和m對應(yīng)的bsim值，通過非線性擬合技術(shù)確定新的權(quán)重系數(shù)函數(shù)模型bMTB：

式中，系數(shù)ai為隨不同S-N曲線斜率參數(shù)m變化的待定系數(shù)。對于船舶與海洋工程領(lǐng)域常用的S-N曲線[4]，斜率參數(shù)m的范圍為3～6，相應(yīng)的擬合系數(shù)ai的具體值見表1。圖3 以m=3 和m=5 為例，顯示了數(shù)值模擬得到的權(quán)重系數(shù)bsim和兩種擬合函數(shù)模型bTB和bMTB隨α1和α2的變化規(guī)律?？梢钥闯?，新的權(quán)重系數(shù)模型bMTB與原T-B 法的權(quán)重系數(shù)模型bTB相比，與數(shù)值模擬結(jié)果的擬合效果更好，且能反映不同斜率參數(shù)m的影響。

表1 擬合系數(shù)ai(i = 1,2,3,4)Tab.1 Fitted coefficients ai(i = 1,2,3,4)

圖3 權(quán)重系數(shù)b的數(shù)值模擬結(jié)果與擬合公式結(jié)果對比Fig.3 Comparison of the weighting factors of b from numerical simulation and empirical formulae

2.3 不同寬帶高斯疲勞損傷評估方法的比較

為了將改進T-B 法與現(xiàn)有的寬帶高斯疲勞損傷評估方法進行對比，本文分別采用決定系數(shù)R2和Tovo-Benasciutti[8]定義的誤差指標(biāo)EI作為衡量指標(biāo)來評估各方法的準(zhǔn)確性和魯棒性。R2和EI的定義如下：

針對2.1 節(jié)中的六種譜型，S-N曲線斜率參數(shù)分別取m=3 和m=5 進行數(shù)值模擬試驗，將改進T-B法與W-L 法[2]、DK 法[5]、Z-B 法[6]和T-B 法[7-8]的頻域疲勞損傷結(jié)果與相應(yīng)的時域雨流結(jié)果進行對比，各方法的決定系數(shù)R2和誤差指標(biāo)EI如表2和表3所示。

表2 不同頻域方法的決定系數(shù)R2Tab.2 Determination coefficients R2 for different frequency-domain methods

表3 不同頻域方法的誤差指標(biāo)EITab.3 Error indexes EI for different frequency-domain methods

由表2 可知，對于六種參數(shù)化功率譜的數(shù)值模擬結(jié)果而言，當(dāng)m=3 時，改進T-B 法的決定系數(shù)R2的平均值為0.9996，與其他四種方法相比更接近于1；當(dāng)m=5時，五種方法的決定系數(shù)R2均有不同程度的降低，而改進T-B 法的決定系數(shù)R2為0.9963，表明當(dāng)斜率參數(shù)m增大時該方法仍能保持良好的計算精度。

由表3可知，當(dāng)采用誤差指標(biāo)EI作為五種方法計算精度衡量指標(biāo)時，改進T-B法的計算結(jié)果最為準(zhǔn)確，其次為T-B法與DK法，且兩者精度相當(dāng)，而W-L法和Z-B法的誤差最大。

為了更加直觀地將改進T-B法與DK法和T-B法進行對比，采用式（36）定義的指標(biāo)γ，分析三種方法的計算精度隨Vanmarcke帶寬系數(shù)（0.1 ?δ?0.95）的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 DK法、T-B法與改進T-B法疲勞損傷評估結(jié)果對比Fig.4 Comparison of fatigue damage evaluated by DK,T-B and modified T-B methods

由圖4 可知，對于m=3，DK 法、T-B 法和改進T-B 法三種方法得到的疲勞損傷與雨流損傷的比值均在1.0 附近，T-B 法的相對誤差范圍為-5%到5%，改進T-B 法的相對誤差范圍為-4%到4%；DK 法的損傷結(jié)果通常小于真實雨流損傷，并且當(dāng)Vanmarcke 帶寬系數(shù)大于0.7 時，最大誤差超過-10%。由于疲勞損傷與應(yīng)力循環(huán)的非線性關(guān)系會隨著m的增大而增強，當(dāng)m=5時，三種方法的誤差都隨著Van?marcke 帶寬系數(shù)的遞增而明顯增大，改進T-B 法的最大誤差為-21.19%，但仍然小于T-B 法的最大誤差-25.25%和DK 法的最大誤差-33.6%。結(jié)果表明，在不同參數(shù)化譜型、帶寬范圍以及S-N曲線斜率參數(shù)的條件下，本文所提出的新方法的計算精度較已有的寬帶高斯疲勞損傷方法有了明顯改善。

3 算例驗證

本章選取船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)常遭受的一些典型寬帶響應(yīng)譜，對本文所提出的改進T-B 法的有效性進行進一步驗證。

3.1 雙模態(tài)功率譜

對于船海結(jié)構(gòu)物而言，其結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)在功率譜上常常呈現(xiàn)出兩個明顯的峰值[14]，即高斯雙模態(tài)特征，因此高斯雙模態(tài)隨機過程是高斯寬帶過程的一種特例。在此，討論一個貼近于實際海洋結(jié)構(gòu)物響應(yīng)的雙模態(tài)功率譜[15]，其表達式如下：

式中，A是用于調(diào)整譜方差為1 的比例因子，TW=2π/ωw表示海浪周期，ωN=2π/TN是結(jié)構(gòu)物的一階固有頻率，ξ為阻尼比。圖5 為雙模態(tài)功率譜算例，其中TW取9 s，結(jié)構(gòu)振動的一階固有周期TN為2 s，阻尼比取0.04，該功率譜的帶寬系數(shù)δ= 0.5496。根據(jù)圖5 中的功率譜，模擬生成高斯隨機過程時域信號，由雨流法得到的疲勞損傷作為參考值，對五種頻域方法的計算精度進行對比，如表4所示。表中的相對誤差定義為

表4 各方法計算結(jié)果相對于雨流法的相對誤差（%，雙模態(tài)功率譜時）Tab.4 Relative errors of different methods compared with RFC method(%)

圖5 雙模態(tài)功率譜數(shù)值模擬算例（TW=9 s，TN=2 s，x=0.04）Fig.5 Bimodal spectrum used in numerical simulation in case of TW=9 s,TN=2 s,x=0.04

從表4 中可以看出，在m=3～6 時，W-L 法、DK 法、Z-B 法和T-B 法的誤差隨著m的增大而變大；當(dāng)m=6 時，W-L 法的誤差為-16.61%，DK 法為-7.01%，Z-B 法為-7.99%，T-B 法為-13.63%。本文提出的改進T-B法在m=3～6時都較為準(zhǔn)確，所有的誤差都未超過4%。

3.2 三模態(tài)功率譜

結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜上存在三個明顯峰值的三模態(tài)隨機過程在海洋工程領(lǐng)域也是一種典型的寬帶高斯隨機過程[16]。圖6 為一個Spar 型漂浮式風(fēng)機塔柱的彎矩響應(yīng)譜[17]，三個模態(tài)的特征頻率分別為0.18 rad/s、0.48 rad/s 和2.4 rad/s，分別對應(yīng)于縱搖固有頻率、波浪頻率和塔柱振動的一階固有頻率，該功率譜的帶寬系數(shù)δ= 0.6994。根據(jù)圖6 中的功率譜，模擬生成高斯隨機過程時域信號，由雨流法得到的疲勞損傷作為參考值，對五種頻域方法的計算精度進行對比，如表5 所示。可以看出在該工況下，相對于雨流法結(jié)果，W-L法和Z-B 法的結(jié)果更加保守，且相對誤差隨著S-N曲線斜率參數(shù)m的增大而降低，最大誤差分別為18.96%和14.40%；相比之下，DK 法、T-B 法和改進T-B法低估了疲勞損傷，且誤差隨S-N曲線斜率參數(shù)m的增大而增大，最大誤差分別為-19.33%、-21.71%和-12.16%。

表5 各方法計算結(jié)果相對于雨流法的相對誤差（%，三模態(tài)功率譜時）Tab.5 Relative errors of different methods compared with RFC method(%)

圖6 漂浮式Spar型風(fēng)機三模態(tài)彎矩響應(yīng)譜[17]Fig.6 Tri-modal bending moment spectrum of a floating Spar wind turbine[17]

以上的驗證算例表明，相對于已有的寬帶高斯疲勞損傷評估方法，本文所提出的改進T-B法對于船海結(jié)構(gòu)物領(lǐng)域常見的真實響應(yīng)功率譜具有更好的計算精度。需要說明的是，采用W-L 方法和Z-B方法計算本節(jié)中的雙模態(tài)和三模態(tài)功率譜算例時，隨著Vanmarcke 帶寬系數(shù)的不同，會存在高估或低估疲勞損傷的情況，在以往研究[9]中也有類似結(jié)論。

4 結(jié) 論

針對船舶與海洋工程領(lǐng)域中常見的寬帶高斯隨機過程，本文在原有T-B 法的基礎(chǔ)上考慮了S-N曲線斜率參數(shù)m的影響，建立了新的權(quán)重系數(shù)函數(shù)模型，以此提出了一種基于改進T-B法的寬帶高斯疲勞損傷頻域分析方法，并利用不同的參數(shù)化功率譜和真實響應(yīng)譜對所提出方法的有效性進行了驗證，得到了以下結(jié)論：

（1）相比于原T-B法，本文提出新的權(quán)重系數(shù)函數(shù)模型bMTB能夠更為準(zhǔn)確地反映帶寬參數(shù)a1、a2以及S-N曲線斜率參數(shù)m對于雨流損傷的影響，從而可獲得更為準(zhǔn)確的疲勞損傷預(yù)報結(jié)果。

（2）隨著斜率參數(shù)m的增加，現(xiàn)有的通用寬帶譜方法計算的疲勞損傷相對于時域雨流損傷的相對誤差逐漸增大。改進T-B 法通過考慮斜率參數(shù)m的影響，能夠更加準(zhǔn)確地評估在不同m值條件下的疲勞損傷。

（3）值得說明的是，在各船級社規(guī)范中鋼材S-N曲線的斜率參數(shù)取值主要為m=3。經(jīng)過大量數(shù)值驗證表明，在m=3時改進T-B法計算的疲勞損傷與時域雨流法之間的相對誤差在±4%的范圍內(nèi)，表明該方法在實際工程應(yīng)用中具有較好的應(yīng)用價值。