李 凱，蔡春聲，韓 艷，宋 俊

(1.長沙理工大學(xué)土木工程學(xué)院，長沙 410114；2.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安 710072；3.東南大學(xué)交通學(xué)院，南京 211189)

顫振是一種可能導(dǎo)致橋梁倒塌的發(fā)散性自激振動(dòng)，因此是大跨橋梁和超大跨橋梁設(shè)計(jì)的控制性因素之一。自從1940 年美國舊Tacoma 大橋因顫振發(fā)生風(fēng)毀后，橋梁顫振問題受到了國內(nèi)外土木工程界和力學(xué)界的高度重視，并經(jīng)過幾十年的研究發(fā)展出了較為完善的線性顫振設(shè)防理論體系而被廣泛應(yīng)用至今[1-8]。線性顫振設(shè)防理論保證了幾十年來國內(nèi)外幾十座超大跨橋梁的成功建成，如主跨1280 m 的金門大橋、主跨1991 m 的明石海峽大橋、主跨1650 m 的西堠門大橋、主跨1688 m的虎門二橋、主跨1700 m 的楊泗港大橋和主跨2023 m 的1915 恰納卡萊大橋等。然而，隨著橋梁跨度的進(jìn)一步增長，從線性顫振設(shè)防理論出發(fā)，完全避免大跨橋梁在設(shè)計(jì)風(fēng)速范圍內(nèi)進(jìn)入顫振已經(jīng)越來越難特別是在臺風(fēng)易發(fā)地區(qū)建造的超大跨徑跨海橋梁，顫振檢驗(yàn)風(fēng)速通常很高，有的超過85 m/s，甚至 90 m/s[9]?？梢?，顫振設(shè)防已成為限制大跨橋梁跨徑進(jìn)一步發(fā)展的瓶頸問題。此外，為滿足線性顫振設(shè)防要求，部分已建超大跨橋梁也支付了巨額的設(shè)計(jì)建造成本[10-11]。

近年來，越來越多的學(xué)者通過風(fēng)洞試驗(yàn)或數(shù)值模擬研究發(fā)現(xiàn)，許多橋梁斷面的顫振并不是如線性顫振理論預(yù)測的那樣驟然發(fā)散的，而是在相當(dāng)長的風(fēng)速范圍內(nèi)表現(xiàn)為自限幅的極限環(huán)振動(dòng)，穩(wěn)態(tài)振幅隨風(fēng)速的增加而緩慢增加[11-17]，國內(nèi)外學(xué)者稱其為“軟顫振”?！败涱澱瘛笔窍鄬€性顫振理論中的發(fā)散性“硬顫振”而提出來的，它是一種現(xiàn)象層面的描述，航空領(lǐng)域通常稱其為“極限環(huán)顫振”[18]，其本質(zhì)是由各種非線性因素(結(jié)構(gòu)/氣動(dòng)/間隙/接觸非線性)導(dǎo)致的非線性極限環(huán)振蕩行為，因此本文中將其稱為非線性顫振。事實(shí)上，舊Tacoma 橋的破壞過程也并非是突發(fā)性的“硬顫振”失穩(wěn)破壞，而是主梁經(jīng)歷了近70 分鐘的大幅振動(dòng)后(最大振幅約30°～35°)，因吊索被逐根拉斷而坍塌的[19]。大跨橋梁主梁輕柔，其振動(dòng)屬于典型的“大位移、小應(yīng)變”問題。因此，依據(jù)“軟顫振”特征，若在設(shè)計(jì)風(fēng)速范圍內(nèi)依據(jù)結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài)保證主體結(jié)構(gòu)足夠安全的前提下，像渦振那樣允許大跨橋梁可接受的限幅振動(dòng)，充分利用其顫振后狀態(tài)的安全儲(chǔ)備，不僅可以大幅降低大跨橋梁設(shè)計(jì)建造的成本，更有望為進(jìn)一步增加大跨橋梁的跨徑提供一個(gè)廣闊的空間。

實(shí)現(xiàn)上述后顫振韌性設(shè)防理念的首要問題在于準(zhǔn)確把握各種典型橋梁斷面的非線性顫振特性。由于橋梁斷面形式豐富多樣，近年來，國內(nèi)外學(xué)者通過風(fēng)洞試驗(yàn)和數(shù)值模擬研究觀察到了豐富的非線性顫振現(xiàn)象，根據(jù)自由度耦合程度與現(xiàn)象，可大致歸納為以下三類：限幅顫振現(xiàn)象、“軟顫振”現(xiàn)象，強(qiáng)自由度耦合顫振后現(xiàn)象。限幅顫振現(xiàn)象由MATSUMOTO 和DAITO[20]在-3°攻角的П 型主梁斷面上觀察到，表現(xiàn)為在折減風(fēng)速5～10 范圍內(nèi)，發(fā)生明顯的大幅扭轉(zhuǎn)極限環(huán)振動(dòng)，超出此風(fēng)速范圍，大幅振動(dòng)消失。“軟顫振”現(xiàn)象沒有明顯的振幅急劇增加的臨界點(diǎn)，一般表現(xiàn)為弱自由度耦合振動(dòng)或單自由度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，通常出現(xiàn)在比較鈍的斷面，如H 型斷面[21]、雙邊肋主梁斷面[22]、和大攻角流線型箱梁斷面[23]等。強(qiáng)自由度耦合顫振后現(xiàn)象則一般出現(xiàn)在流線型較好的橋梁斷面[17]和薄矩形斷面[14]，其通常表現(xiàn)為當(dāng)超過臨界點(diǎn)后，振幅迅速增大，但當(dāng)振幅較大時(shí)也會(huì)由于自激力的非線性效應(yīng)出現(xiàn)自限幅極限環(huán)振蕩，同時(shí)彎扭耦合效應(yīng)很強(qiáng)。除了上述典型特征，還有諸如軟顫振起振風(fēng)速與風(fēng)速路徑有關(guān)[14]和顫振振幅依賴于初始振幅[15,24]的非線性現(xiàn)象。朱樂東等[13]在雙邊肋主梁斷面、中央開槽箱梁斷面、半/全封閉箱梁斷面4 種典型橋梁斷面的風(fēng)洞試驗(yàn)中還觀察到了小振幅激勵(lì)衰減、大振幅激勵(lì)發(fā)散、軟顫振需要初始激勵(lì)和軟顫振后緩慢發(fā)散等復(fù)雜的風(fēng)致振動(dòng)現(xiàn)象。值得一提的是，現(xiàn)有研究拓寬了對橋梁顫振行為多樣性和復(fù)雜性的認(rèn)識，但由于目前主要基于傳統(tǒng)節(jié)段模型彈簧懸掛裝置(存在大幅顫振時(shí)彈簧傾斜擺動(dòng)的問題)開展非線性顫振研究，導(dǎo)致研究的振幅范圍并不大[13,17,22-23]。其次，由于箱型斷面在超大跨橋梁上應(yīng)用更普遍，導(dǎo)致目前研究主要集中在這類斷面上，而針對三維特征更顯著的桁架主梁斷面則很少，對于桁架斷面中的雙層桁架斷面則更鮮見。實(shí)際上，即使是同類型的斷面，局部的細(xì)微差別，如欄桿，檢修道等附屬結(jié)構(gòu)的位置，高度等也會(huì)對非線性顫振響應(yīng)產(chǎn)生較大影響[5,25]。更多不同斷面的非線性顫振風(fēng)洞試驗(yàn)研究是很有必要的，能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)者們對非線性顫振規(guī)律的歸納總結(jié)和認(rèn)識。

實(shí)現(xiàn)上述后顫振韌性設(shè)防理念的核心問題在于能夠在設(shè)計(jì)階段較為準(zhǔn)確地計(jì)算出大跨橋梁的非線性顫振響應(yīng)。為此，國內(nèi)外學(xué)者針對一些典型斷面發(fā)展了各種非線性自激力模型以預(yù)測非線性顫振響應(yīng)[26-38]。鑒于斷面軟顫振時(shí)彎扭耦合效應(yīng)較弱，GAO 等[22]和ZHANG 等[23]分別針對某雙邊肋主梁和某流線型箱梁斷面分別提出了多項(xiàng)式形式的單自由度非線性自激力模型，然而這種簡化是否合適將會(huì)在本文中進(jìn)一步探討。單自由度模型不能考慮彎扭耦合效應(yīng)，為此，NáPRSTEK等[26]、GAO 等[27]、WU 等[15]針對不同斷面分別提出了多項(xiàng)式形式的兩自由度彎扭耦合非線性自激力模型，其中WU 等[15]提出來的模型專門用于預(yù)測帶有遲滯效應(yīng)的彎扭耦合非線性顫振響應(yīng)。李凱[28]提出了一種針對兩自由度耦合非線性顫振的建?？蚣埽摽蚣馨藢椈蓱覓煜到y(tǒng)非線性效應(yīng)、非風(fēng)致氣動(dòng)力非線性效應(yīng)，風(fēng)致氣動(dòng)自激力非線性效應(yīng)的建模方法，并通過典型桁架主梁斷面的風(fēng)洞試驗(yàn)交叉驗(yàn)證了該框架的正確性。值得一提的是這類多項(xiàng)式類型的模型針對不同的斷面，或同一斷面的不同攻角，甚至是同一斷面局部構(gòu)造的細(xì)微差別，其具體項(xiàng)的形式可能都是不同的，因此十分不利于工程應(yīng)用。另外，多項(xiàng)式模型是時(shí)頻混合模型，難以用于時(shí)域分析。為此，一些學(xué)者提出了卷積形式的純時(shí)域非線性自激力模型[29-30]。而考慮到卷積形式的時(shí)域模型計(jì)算量極大的問題，劉十一[32]和ZHOU 等[33-34]又基于狀態(tài)空間法提出了非線性凝聚子系統(tǒng)的純時(shí)域氣動(dòng)力模型。一方面這些時(shí)域模型的參數(shù)都是通過CFD 數(shù)值模擬獲取力和位移信號校準(zhǔn)的，模型精度本身依賴于CFD 湍流模型的精度，因此仍需風(fēng)洞試驗(yàn)驗(yàn)證；另一方面，部分模型待識別參數(shù)太多，離工程應(yīng)用還有一定距離。近年來，隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等“黑箱”模型也逐漸用于非線性氣動(dòng)力建模[35-38]。這些模型的訓(xùn)練數(shù)據(jù)也同樣來自于CFD 數(shù)值模擬，此外模型的泛化能力和可解釋性一直是該類“黑箱”模型面臨的巨大挑戰(zhàn)。整體而言，近些年學(xué)者們在非線性自激力模型的構(gòu)建和非線性顫振分析方面取得了豐碩的成果，但依舊還有很多問題亟需研究。如以往主要通過二維斷面的風(fēng)洞試驗(yàn)或數(shù)值模擬研究如何構(gòu)建非線性自激力模型，卻鮮有進(jìn)一步關(guān)注橋梁結(jié)構(gòu)的三維多模態(tài)耦合效應(yīng)或全階模態(tài)耦合效應(yīng)對非線性顫振的響應(yīng)及相關(guān)影響機(jī)制。以往雖構(gòu)建了個(gè)別純時(shí)域非線性自激力模型并進(jìn)行了時(shí)域顫振分析，但模型參數(shù)卻需CFD 數(shù)值模擬校準(zhǔn)，且也沒有探究氣動(dòng)非線性和結(jié)構(gòu)非線性雙重耦合影響下，幾何非線性效應(yīng)對非線性顫振的影響及相關(guān)機(jī)制，而這些都是更準(zhǔn)確預(yù)測實(shí)際橋梁非線性顫振響應(yīng)的關(guān)鍵因素。

由于橋梁斷面的復(fù)雜性及多樣性，非線性顫振的機(jī)制和相關(guān)計(jì)算理論并未形成統(tǒng)一共識，因此，橋梁斷面的非線性顫振依舊是一個(gè)開放的熱點(diǎn)問題，亟需更多的探索和研究。針對上述不足，并為方便讀者對非線性顫振理論與分析方法有比較全面的了解，本文首先簡要闡述了弱非線性系統(tǒng)振動(dòng)參數(shù)非線性特性的表征方法，并基于非線性振動(dòng)參數(shù)建立了基于自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)識別幅變顫振導(dǎo)數(shù)的方法。然后，系統(tǒng)闡述了本文發(fā)展的基于幅變顫振導(dǎo)數(shù)的多/全模態(tài)耦合三維非線性顫振頻域分析理論，并基于幅變顫振導(dǎo)數(shù)提出了一種幅變有理函數(shù)描述的純時(shí)域非線性自激力模型和可考慮結(jié)構(gòu)、氣動(dòng)雙重非線性效應(yīng)的三維非線性顫振時(shí)域分析方法。最后，以某大跨四主纜雙層鋼桁懸索橋?yàn)檠芯繉ο螅ㄟ^大振幅節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)研究了其斷面的非線性氣彈特性，探究了多/全模態(tài)耦合效應(yīng)和幾何非線性效應(yīng)對其三維非線性顫振的影響，揭示了幾何非線性效應(yīng)對該橋非線性顫振的影響機(jī)制。

1 非線性顫振分析理論

1.1 弱非線性系統(tǒng)振動(dòng)參數(shù)非線性特性表征方法

為方便闡述，以單自由度扭轉(zhuǎn)節(jié)段模型振動(dòng)系統(tǒng)為例，其在均勻流下的自激振動(dòng)控制方程為：

式中：I為模型單位長度的質(zhì)量慣性矩； α 、和分別為扭轉(zhuǎn)方向的位移、速度和加速度；cs,α和ks,α分別為節(jié)段模型的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)和結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)，由于非線性的存在它們被描述為運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(位移和速度)的函數(shù)；Mse,non(α,)為非線性自激力矩。式(1)可進(jìn)一步改寫為：

式中：cse,α和kse,α為氣動(dòng)阻尼和剛度系數(shù)，同樣由于非線性它們被描述為運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的函數(shù)；由于氣動(dòng)力相對慣性力和彈性恢復(fù)力是高階小量，因此橋梁非線性顫振是典型的弱非線性振動(dòng)系統(tǒng)。為此根據(jù)非線性振動(dòng)理論的平均法[39]，式(2)可近似等效為：

式中，Aα為瞬時(shí)扭轉(zhuǎn)振幅，它是時(shí)間的緩變量。由式(3)可以發(fā)現(xiàn)弱非線性系統(tǒng)振動(dòng)參數(shù)的非線性可以通過參數(shù)隨振幅的變化來近似等價(jià)描述，相對于將非線性振動(dòng)參數(shù)描述為時(shí)變位移和速度的函數(shù)，這種描述更為簡單，更易于表征非線性的演化規(guī)律。對于彎扭耦合顫振，振動(dòng)參數(shù)除了振動(dòng)頻率和阻尼比，還包括振動(dòng)模態(tài)(即豎向扭轉(zhuǎn)振幅比和相位差)，因此，在后文研究中將通過把它們描述為振幅的函數(shù)來表征它們的非線性特性。

1.2 幅變顫振導(dǎo)數(shù)識別方法

單自由度扭轉(zhuǎn)節(jié)段模型系統(tǒng)(簡稱SDOFα 系統(tǒng))在均勻流下的非線性自激振動(dòng)控制方程可寫為：

式中：ωα0和 ξα0分別為SDOFα 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圓頻率和阻尼比，且都為振幅的函數(shù)；ρ 為空氣密度；U為平均風(fēng)速；k=bω/U為折減頻率；B=2b為橋面寬度；和為幅變顫振導(dǎo)數(shù)。由式(4)可導(dǎo)得(Aα)和(Aα) 的閉合解為：

式中：v=ρb4/I；ωα,1和ξα,1分別為風(fēng)速U下單自由度系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率和阻尼比，可通過節(jié)段模型自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)的位移信號萃取。

豎向和扭轉(zhuǎn)兩個(gè)自由度節(jié)段模型系統(tǒng)(簡稱2DOFhα 系統(tǒng))在均勻流下的非線性自激振動(dòng)控制方程可寫為：

式中：m為模型單位長度的豎向質(zhì)量； ξh0和 ξα0分別為2DOFhα 系統(tǒng)在無風(fēng)環(huán)境下的豎向和扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)阻尼比，包含了機(jī)械阻尼和非風(fēng)致附加阻尼兩部分；ωh0和ωα0分別為豎向和扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)圓頻率，同樣地，他們都是振幅的函數(shù)；和(i=1, 2, 3, 4)表示幅變顫振導(dǎo)數(shù)。根據(jù)雙模態(tài)耦合顫振閉合解[40]，2DOFhα 系統(tǒng)豎向模態(tài)分支的模態(tài)頻率ωh和阻尼比ξh的閉合解可寫為：

由式(8)和式(9)可知，ωh和ξh都由結(jié)構(gòu)項(xiàng)，非耦合氣動(dòng)項(xiàng)和扭轉(zhuǎn)耦合氣動(dòng)項(xiàng)三部分組成。研究表明[41]豎向模態(tài)分支的扭轉(zhuǎn)耦合氣動(dòng)項(xiàng)ωh0(μvΦ′cosφ′)-1/2和-0.5μvΦ′sinφ′貢獻(xiàn)微弱，可忽略不計(jì)，這在后面的試驗(yàn)研究中也會(huì)得到驗(yàn)證。因此，幅變顫振導(dǎo)數(shù)(Ah)和(Ah)的閉合解可近似寫為：

式中：μ=ρb2/m；ωh和ξh可通過2DOFhα 系統(tǒng)自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)的豎向模態(tài)分支位移信號萃取。

其中：

其中：

從以上推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)識別8 個(gè)幅變顫振導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于通過自由振動(dòng)響應(yīng)位移信號識別幅變結(jié)構(gòu)參數(shù)ωh0、ξh0、ωα0、ξα0和幅變模態(tài)參數(shù)ωα1、ξα1、ωh、ξh、ωα、ξα、Ψ、ψ。Hilbert-黃變換技術(shù)結(jié)合EMD 分解技術(shù)可用于萃取自由振動(dòng)響應(yīng)的瞬時(shí)振幅A(t)和瞬時(shí)相位θ(t)特性，具體細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn)[11, 28]。那么瞬時(shí)頻率ω(t)，瞬時(shí)阻尼比ξ(t)，瞬時(shí)振幅比Ψ(t)和瞬時(shí)相位差ψ(t)可通過下式計(jì)算：

一旦獲得瞬時(shí)結(jié)構(gòu)參數(shù)、模態(tài)參數(shù)和瞬時(shí)振幅，上述幅變結(jié)構(gòu)參數(shù)和模態(tài)參數(shù)也可獲得，幅變顫振導(dǎo)數(shù)即可基于上述公式獲得。需要說明的是，在識別某折減風(fēng)速下的和時(shí)，需對已預(yù)先識別的和在折減風(fēng)速區(qū)間內(nèi)進(jìn)行插值以獲得該折減風(fēng)速下的值代入計(jì)算。圖1 進(jìn)一步給出了幅變顫振導(dǎo)數(shù)識別的具體流程。

圖1 基于自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)的幅變顫振導(dǎo)數(shù)識別流程Fig.1 Flowchart of extracting amplitude-dependent FDs based on free vibration wind tunnel tests

以上只談及了與豎向扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)相關(guān)的8 個(gè)幅變顫振導(dǎo)數(shù)的識別，類似的，通過節(jié)段模型兩自由度側(cè)向扭轉(zhuǎn)耦合系統(tǒng)(2DOFpα 系統(tǒng))也可識別其他與側(cè)向運(yùn)動(dòng)相關(guān)的幅變顫振導(dǎo)數(shù)。基于2DOFpα系統(tǒng)側(cè)向模態(tài)分支信息，幅變顫振導(dǎo)數(shù)(Ap)和(Ap)的閉合解可近似寫為：

式中：η=ρb2/mp，mp為模型單位長度的側(cè)向質(zhì)量；ωp0和ξp0分別為側(cè)向結(jié)構(gòu)圓頻率和阻尼比；ωp和ξp分別為2DOFpα 系統(tǒng)側(cè)向模態(tài)分支的模態(tài)頻率和阻尼比，可通過該系統(tǒng)自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)的側(cè)向模態(tài)分支位移信號萃取。

其中：

其中：

1.3 三維多/全模態(tài)耦合非線性顫振頻域分析方法

均勻流下，離散為n個(gè)自由度的三維橋梁結(jié)構(gòu)的非線性自激振動(dòng)控制方程可寫為：

式中：Ms、Ks和Cs分別為n×n階的結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣；Ks由彈性剛度矩陣Ke和幾何剛度矩陣Kg組成；和X分別為節(jié)點(diǎn)加速度、速度和位移向量；Fse,non為節(jié)點(diǎn)非線性自激力向量。單位長度主梁上受到的非線性自激力(包括自激升力，阻力和扭矩)可描述為如下幅變顫振導(dǎo)數(shù)的形式：

式中：h、p和α 分別為豎向、側(cè)向和扭轉(zhuǎn)位移；和(i=1, 2, ···, 6)為幅變顫振導(dǎo)數(shù)，其為折減頻率k和振幅Ar(r=h、p或α)的函數(shù)。在模態(tài)坐標(biāo)下，節(jié)點(diǎn)位移向量X=Φq，其中Φ 為模態(tài)振型矩陣，q為廣義模態(tài)位移向量。具體地，主梁豎向、側(cè)向、扭轉(zhuǎn)動(dòng)力位移響應(yīng)h(x,t)、p(x,t)、α(x,t)可由前N階結(jié)構(gòu)固有模態(tài)近似為：

式中：hj(x)、pj(x)、αj(x)分別為主梁第j階固有模態(tài)在豎向、側(cè)向和扭轉(zhuǎn)三個(gè)方向的振型；qj(x)為第j階模態(tài)的廣義位移；x為主梁橋跨位置；t為時(shí)間。因此，主梁在模態(tài)坐標(biāo)下的非線性自激振動(dòng)控制方程可寫為：

式中：M=ΦTMsΦ=diag[mj]、K=ΦTKsΦ=和C=ΦTCsΦ=diag[2mjξsjωsj]分別為結(jié)構(gòu)廣義質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣；mj、ξsj、ωsj分別為第j階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量、阻尼比和頻率；Ad和As分別為氣動(dòng)阻尼矩陣和氣動(dòng)剛度矩陣，它們是模態(tài)振型和顫振導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。Ad和As中對應(yīng)的第i階及第j階模態(tài)參與的元素為：

其中：

給定風(fēng)速給定振幅下，令q(t)=q0eλt，則狀態(tài)空間方程式(47)的求解可轉(zhuǎn)化為如下復(fù)特征值問題：

式中：λ=-ξω+iω≈-ξω+iω為系統(tǒng)復(fù)模態(tài)頻率；ξ 為系統(tǒng)模態(tài)阻尼；ω為系統(tǒng)模態(tài)頻率。A0為一個(gè)2N×2N的矩陣，對式(50)進(jìn)行復(fù)特征值求解可得到N對復(fù)共軛特征值和N對復(fù)共軛特征向量：

式中：λj為第j階模態(tài)分支的復(fù)模態(tài)頻率；ξj和ωj分別為第j階模態(tài)分支的模態(tài)阻尼和頻率；q0j為對應(yīng)第j階模態(tài)分支的復(fù)模態(tài)振型。由式(52)可得第j階模態(tài)分支下的第k(k=1, 2, 3, ···,N)階結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的參與幅值|q0k|j和相位φk j分別為：

因此，模態(tài)分支j的響應(yīng)在物理坐標(biāo)系下可寫為：

式中：φj為與向量Φq0j相關(guān)的相位角；與模態(tài)分支j相關(guān)的跨向位置x處的位移可以進(jìn)一步具體寫為：

式中：r=h、p或α，為物理坐標(biāo)系下的豎向，側(cè)向和扭轉(zhuǎn)位移；r0(x)為主梁在r方向的振動(dòng)幅值；φr(x)為主梁在r方向的運(yùn)動(dòng)相位，其中：

式中，ri(r=h、p或α)表示結(jié)構(gòu)第i階固有振型。顯然，從式(57)可以發(fā)現(xiàn)，主梁不同位置處的運(yùn)動(dòng)相位是不一致的，同時(shí)各運(yùn)動(dòng)方向之間也存在相位差。由式(56)可知，主梁在模態(tài)分支j下各處的運(yùn)動(dòng)振幅受各結(jié)構(gòu)固有模態(tài)在該分支下的參與幅值|q0i|j和相位φij的影響。

在傳統(tǒng)多模態(tài)耦合線性顫振分析中，主要通過搜索各模態(tài)分支的模態(tài)阻尼在一定風(fēng)速區(qū)間內(nèi)隨風(fēng)速的演化規(guī)律來確定顫振臨界風(fēng)速。借鑒這樣的思路，在多模態(tài)耦合非線性顫振分析中，顫振導(dǎo)數(shù)描述為折減風(fēng)速(折減頻率)和振幅的函數(shù)，因此可將風(fēng)速和振幅構(gòu)成的空間內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都看成一個(gè)線性系統(tǒng)，通過搜索各模態(tài)分支的模態(tài)阻尼在該空間中的演化規(guī)律即可獲得非線性顫振響應(yīng)。在傳統(tǒng)線性顫振分析中，特定風(fēng)速下的顫振頻率是無法預(yù)先給出，即該風(fēng)速下的顫振導(dǎo)數(shù)無法預(yù)先確定，因此一般通過對頻率進(jìn)行迭代的方法來求解[3-5]。同樣地，在非線性顫振的分析中，特定風(fēng)速特定振幅下的顫振頻率也是無法預(yù)先給出。此外，由于特定風(fēng)速和振幅下各結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的參與信息(參與程度)是未知的，主梁展向各處的振幅和顫振導(dǎo)數(shù)取值也就是未知的(即A0是未知的，特征方程無法求解)。因此，在非線性顫振的分析求解中，除了要對頻率進(jìn)行迭代求解以外還需要對主梁各處的振幅進(jìn)行迭代求解。而由于主梁各處的振幅由各結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的參與幅值和相位確定(如式(56)所示)，其本質(zhì)是對固有模態(tài)的參與幅值和相位的迭代。

根據(jù)以上思路，以第j階模態(tài)分支為例闡述多模態(tài)耦合非線性顫振的分析框架。由于需要搜索風(fēng)速和振幅空間的模態(tài)阻尼特性，首先需確定第j階模態(tài)分支計(jì)算的振幅搜索位置。一般而言，第j階模態(tài)分支由第j階結(jié)構(gòu)固有模態(tài)發(fā)展而來，盡管由于氣動(dòng)耦合效應(yīng)，其他結(jié)構(gòu)固有模態(tài)成分會(huì)參與貢獻(xiàn)進(jìn)來，但該分支仍以第j階結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的貢獻(xiàn)為主。再者由于橋梁顫振通常發(fā)生在扭轉(zhuǎn)模態(tài)，且顫振導(dǎo)數(shù)也主要表現(xiàn)為對扭轉(zhuǎn)振幅的強(qiáng)依賴性。因此，振幅搜索位置通常可選為第j階結(jié)構(gòu)固有模態(tài)扭轉(zhuǎn)方向振型的最大值位置xmax,j處(對于發(fā)生豎向模態(tài)顫振的斷面，如馳振，可做相應(yīng)調(diào)整)。如對于一階正對稱扭轉(zhuǎn)模態(tài)，振幅搜索位置可定為跨中處，而對于一階反對稱扭轉(zhuǎn)模態(tài)，振幅搜索位置則可定為1/4 或3/4 跨處。主梁的初始迭代振幅形態(tài)可假定為第j階結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的振型(或其他任意振幅形態(tài)，但可能增加迭代步數(shù))，當(dāng)xmax,j處的扭轉(zhuǎn)振幅為Aα?xí)r，主跨x處的扭轉(zhuǎn)振幅可通過下式計(jì)算：

而主跨x處的豎向和側(cè)向振幅則可以通過主梁振幅形態(tài)r0所確定的關(guān)系計(jì)算(主梁振幅形態(tài)指主梁各處的運(yùn)動(dòng)振幅r0(x)構(gòu)成的形態(tài)，其概念與傳統(tǒng)振型的概念類似，主梁各處的值沒有物理含義沒有單位僅反映一種振幅形態(tài))。給定風(fēng)速和振幅下，整個(gè)迭代過程就是在不斷更新主梁振幅形態(tài)r0，直到r0穩(wěn)定收斂為止。綜上所述，多模態(tài)耦合非線性顫振分析框架包含對風(fēng)速和振幅空間的搜索以及搜索過程中對頻率和振幅形態(tài)的雙層迭代過程。為更清晰闡述該框架，圖2 給出了三維多模態(tài)耦合非線性顫振分析的具體流程圖(以模態(tài)分支j為例)。

圖2 多模態(tài)耦合非線性顫振分析框架流程圖Fig.2 Flowchart of the proposed multimode nonlinear flutter analysis framework

如式(56)所示，主梁各處的振幅由各結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的參與幅值和相位確定。因此，在圖2 所示的流程中，對振幅形態(tài)的迭代本質(zhì)是對各結(jié)構(gòu)模態(tài)參與幅值和相位的迭代。為此定義了如下廣義位移幅值收斂因子γi和廣義位移相位收斂因子ηi以判斷迭代收斂性：

式中，N為考慮的結(jié)構(gòu)模態(tài)總數(shù)，當(dāng)所有結(jié)構(gòu)模態(tài)的γi和ηi在第d和第d+1 兩個(gè)相鄰迭代步之間的值小于容差ε 時(shí)(即γi<ε 且ηi<ε)，則停止迭代，其中ε 應(yīng)該接近于0。

通過搜索風(fēng)速和振幅空間模態(tài)阻尼為0 的點(diǎn)(即ξj(Un,Ar)=0)即可獲得三維非線性顫振的響應(yīng)(即三個(gè)方向穩(wěn)態(tài)振幅隨風(fēng)速的演化規(guī)律)。此外，對所有模態(tài)分支進(jìn)行上述分析，即可獲得所有可能表現(xiàn)出非線性顫振的模態(tài)分支的后顫振響應(yīng)。

多模態(tài)耦合顫振分析基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)可以通過幾個(gè)固有模態(tài)來近似描述，這會(huì)導(dǎo)致一個(gè)更重要的問題，即選擇哪些模態(tài)是合適的，而這往往是基于經(jīng)驗(yàn)的?？偠灾?，多模態(tài)方法無法考慮橋梁所有模態(tài)(尤其包括主纜主塔振動(dòng)為主的模態(tài))對非線性顫振的貢獻(xiàn)，因此，需要進(jìn)一步發(fā)展全階模態(tài)耦合的非線性顫振分析方法。HUA 等[4]提出了橋梁結(jié)構(gòu)三維線性顫振分析的物理坐標(biāo)法(又稱全階模態(tài)法)，并在ANSYS 有限元平臺實(shí)現(xiàn)了顫振分析。本文建立的全階模態(tài)耦合非線性顫振分析方法的思路與上述多模態(tài)方法的思路是基本一致的，只是在線性顫振求解部分采用HUA 等提出的全階模態(tài)線性顫振分析方法。具體的，將式(40)的Fse,non移到方程的左邊并進(jìn)行阻尼復(fù)特征值分析可獲得n對復(fù)共軛特征值及與之對應(yīng)的復(fù)共軛特征向量，其中第j階復(fù)共軛特征值和特征向量為：

特征值實(shí)部ξj為模態(tài)阻尼；ωj為模態(tài)頻率。據(jù)此，物理坐標(biāo)下對應(yīng)模態(tài)分支j的橋梁三維顫振運(yùn)動(dòng)可描述為：

其中：

式中，Aj和 φj為橋梁顫振時(shí)所有節(jié)點(diǎn)自由度的運(yùn)動(dòng)振幅和相位向量。與多模態(tài)方法類似，全階模態(tài)方法也需要對主梁各節(jié)點(diǎn)的振幅進(jìn)行迭代計(jì)算以確定各節(jié)點(diǎn)的顫振導(dǎo)數(shù)取值。由式(62)可知主梁振幅受特征向量的幅值A(chǔ)j=2|pj+iqj|控制，因此同樣定義節(jié)點(diǎn)幅值收斂因子μi用于主梁振幅迭代計(jì)算的判定依據(jù)：

式中，i為節(jié)點(diǎn)自由度編號，由于橋梁顫振由主梁主導(dǎo)，一般選擇主梁上的節(jié)點(diǎn)豎向、扭轉(zhuǎn)、側(cè)向自由度即可。當(dāng)主梁所有節(jié)點(diǎn)的幅值收斂因子μi小于容差ε 時(shí)，即可停止節(jié)點(diǎn)振幅的迭代。全階模態(tài)耦合非線性顫振分析的流程與多模態(tài)方法類似，不再贅述。

1.4 三維非線性顫振時(shí)域分析方法

橋梁結(jié)構(gòu)大幅振動(dòng)時(shí)的結(jié)構(gòu)非線性效應(yīng)顯著，其對非線性顫振的影響將是顯著的，然而上述多/全模態(tài)耦合分析方法只能考慮氣動(dòng)非線性效應(yīng)，無法考慮結(jié)構(gòu)非線性行為，其主要原因在于幅變顫振導(dǎo)數(shù)描述的非線性自激力模型是時(shí)頻混合型的。為此本節(jié)將構(gòu)建一種純時(shí)域非線性自激力模型并與非線性有限元結(jié)合發(fā)展一種可同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)和氣動(dòng)非線性的時(shí)域分析方法。借鑒幅變顫振導(dǎo)數(shù)描述的非線性自激力模型的思路，提出如下幅變脈沖響應(yīng)函數(shù)結(jié)合有理函數(shù)描述的純時(shí)域非線性自激力模型(簡稱幅變IRF 型非線性自激力模型)：

其中：

式中，k=1, 2, 3,···,n，n為離散的振幅點(diǎn)總數(shù)。當(dāng)一定振幅范圍內(nèi)的n越大，式(69)和式(70)越能近似描述連續(xù)振幅變化下的自激力非線性特性。Lser為有理函數(shù)逼近的純時(shí)域自激力[42-43]，以Lseh為例：

式中，有理函數(shù)系數(shù)An和dn可基于已識別的幅變顫振導(dǎo)數(shù)采用文獻(xiàn)[42 - 43]的非線性最小二乘擬合方法確定。

將上述構(gòu)建的純時(shí)域非線性自激力模型(即幅變IRF 型非線性自激力模型)與非線性有限元模型進(jìn)行結(jié)合即可進(jìn)行大跨橋梁三維非線性顫振響應(yīng)的純時(shí)域全過程演化分析，整個(gè)計(jì)算過程在有限元軟件ANSYS 中進(jìn)行。

2 大振幅非線性顫振特性

2.1 風(fēng)洞試驗(yàn)技術(shù)簡介

在橋梁顫振研究中，節(jié)段模型試驗(yàn)的主要目的在于研究斷面的氣動(dòng)性能，并要求基于縮尺節(jié)段模型試驗(yàn)獲取的氣動(dòng)參數(shù)能夠適用于實(shí)際橋梁的計(jì)算。因此，節(jié)段模型機(jī)械/結(jié)構(gòu)參數(shù)的穩(wěn)定性是準(zhǔn)確把握橋梁斷面氣動(dòng)性能的必要前提，同時(shí)非線性越弱的結(jié)構(gòu)參數(shù)越利于準(zhǔn)確把握氣動(dòng)性能。對于大振幅的彎扭耦合非線性顫振風(fēng)洞試驗(yàn)研究中，傳統(tǒng)彈簧懸掛節(jié)段模型自由振動(dòng)裝置(如圖3(a)所示)存在以下兩個(gè)明顯的缺陷：1)豎向彈簧會(huì)發(fā)生顯著傾斜，進(jìn)而導(dǎo)致豎向和扭轉(zhuǎn)剛度的幾何非線性效應(yīng)顯著。2)豎向彈簧自身發(fā)生傾擺振動(dòng)，對系統(tǒng)形成復(fù)雜的難以量化的非線性阻尼效應(yīng)(即結(jié)構(gòu)阻尼不穩(wěn)定)。扭轉(zhuǎn)振幅越大，上述兩個(gè)缺陷越明顯，不僅不利于大振幅非線性顫振行為的研究，更為重要的是還會(huì)給非線性氣動(dòng)參數(shù)的識別引入顯著的誤差。為解決這一弊端，借鑒XU 等[44]最近提出的大振幅裝置，設(shè)計(jì)制作了如圖3(b)所示的改進(jìn)的新型大幅自由振動(dòng)彈簧懸掛裝置(該裝置在風(fēng)洞中的布置如圖4 所示)。改進(jìn)的新型裝置通過剛性軸在軸承內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，保證主梁剛性模型在大幅豎向和扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)的過程中，剛性吊臂僅做豎向運(yùn)動(dòng)而不做扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，從而保證上彈簧僅發(fā)生豎向伸縮變形而不發(fā)生側(cè)向傾斜且僅提供豎向剛度不提供扭轉(zhuǎn)剛度，下彈簧僅發(fā)生豎向伸縮變形而不發(fā)生側(cè)向傾斜，并同時(shí)提供豎向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。不論扭轉(zhuǎn)振幅大小，均不會(huì)引起彈簧側(cè)向傾斜和擺振的問題，也就不會(huì)給系統(tǒng)引入非線性剛度和不可量化的非線性阻尼問題。通過靈活調(diào)控上彈簧剛度k1，下彈簧剛度k2和帶外槽輪轂的半徑r三個(gè)變量可達(dá)到任意橋梁的豎向和扭轉(zhuǎn)剛度的目標(biāo)值。對于不同的橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)，不需要更換不同的輪轂半徑，因?yàn)榭烧{(diào)變量是富余的，選擇一個(gè)半徑適中的輪轂即可。基于該裝置能夠更準(zhǔn)確地識別大幅振動(dòng)下的非線性氣動(dòng)參數(shù)。

圖3 節(jié)段模型自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)裝置Fig.3 Spring-suspended device for section model wind tunnel test

圖4 某桁架斷面節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)布置圖(新型裝置)Fig.4 Typical truss section model in wind tunnel(the novel device)

2.2 典型雙層桁架斷面非線性顫振特性

以某雙層桁架懸索橋?yàn)楸尘?，開展自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)研究典型雙層桁架斷面的非線性顫振特性，該橋初設(shè)理論跨徑組合為502 m+1650 m+518 m=2670 m，主纜采用了不同矢跨比的四主纜設(shè)計(jì)方案，為國內(nèi)首次采用，如圖5 所示。該主梁橫截面布置如圖6 所示，鋼桁加勁梁寬32 m，高9.5 m，采用雙層桁架布置。

圖5 某大橋橋型布置圖 /mFig.5 Arrangement of a protype bridge

圖6 典型雙層桁架主梁斷面布置圖 /mmFig.6 Section of the double-deck steel truss girder

設(shè)計(jì)了單自由度扭轉(zhuǎn)節(jié)段模型系統(tǒng)和兩自由度(豎向和扭轉(zhuǎn))節(jié)段模型系統(tǒng)分別進(jìn)行非線性顫振試驗(yàn)。通過在來流方向設(shè)置橫向約束鋼絲和垂直流向設(shè)置豎向約束鋼絲來分別限制節(jié)段模型側(cè)向和豎向位移，此時(shí)為SDOFα 系統(tǒng)。當(dāng)去掉豎向約束鋼絲時(shí)即為2DOFhα 系統(tǒng)。對比這兩個(gè)系統(tǒng)的非線性氣彈響應(yīng)可深入探究豎向振動(dòng)所致的氣動(dòng)耦合效應(yīng)對非線性顫振響應(yīng)的影響及其機(jī)制。

所有試驗(yàn)工況如表1 所示，工況B1 和工況B2 分別在工況A1 和工況A2 的基礎(chǔ)上增加了結(jié)構(gòu)阻尼；工況C1 和工況C2 分別在工況A1 和工況A2 的基礎(chǔ)上改變質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩并進(jìn)而改變了扭彎比和結(jié)構(gòu)阻尼比。工況B 和工況C 用于交叉驗(yàn)證幅變顫振導(dǎo)數(shù)識別方法的可靠性和參數(shù)識別的準(zhǔn)確性。

表1 節(jié)段模型試驗(yàn)工況與參數(shù) (初始風(fēng)攻角0°)Table 1 Main dynamic parameters of all aeroelastic tests (initial attack angle 0°)

圖7 給出了工況A1(SDOFα 系統(tǒng))在U=9.89 m/s時(shí)的位移響應(yīng)時(shí)程?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)沒有初始激勵(lì)時(shí)，SDOF 系統(tǒng)表現(xiàn)出了典型的極限環(huán)振蕩(LCO)行為，振幅從0°緩慢發(fā)展到7.8°左右穩(wěn)定。當(dāng)有很大扭轉(zhuǎn)振幅的初始激勵(lì)時(shí)，振幅同樣衰減至7.8°左右穩(wěn)定，可見該風(fēng)速下僅存在一個(gè)穩(wěn)定的LCO。SDOFα 系統(tǒng)表現(xiàn)為明顯的單自由極限環(huán)顫振行為。為方便對比，圖8 進(jìn)一步給出了該風(fēng)速下工況A2(2DOFhα 系統(tǒng))的位移響應(yīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)2DOFhα 系統(tǒng)的豎向和扭轉(zhuǎn)位移都表現(xiàn)為自限幅的極限環(huán)振蕩行為，且他們的卓越頻率是一致的，同時(shí)他們的振幅演化趨勢也基本保持一致，可見是典型的耦合了顯著豎向位移的扭轉(zhuǎn)模態(tài)顫振。值得關(guān)注的是2DOFhα 系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)振幅約為10.1°，遠(yuǎn)大于SDOFα 系統(tǒng)的7.8°。由于工況A2 的扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)阻尼整體上略小于工況A1，并不能直接表明豎向運(yùn)動(dòng)的參與直接降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此，圖9 進(jìn)一步量化了該風(fēng)速下兩系統(tǒng)的氣動(dòng)阻尼，其中非耦合氣動(dòng)阻尼即為SDOFα 系統(tǒng)的氣動(dòng)阻尼，耦合氣動(dòng)阻尼為相對SDOFα 系統(tǒng)，2DOFhα系統(tǒng)由于豎向自由度的參與引入的氣動(dòng)阻尼?？梢园l(fā)現(xiàn)，耦合氣動(dòng)阻尼始終為負(fù)，且相對非耦合氣動(dòng)阻尼，耦合氣動(dòng)阻尼的幅變特性要弱很多，其隨振幅變化的整體趨勢基本可以用一條水平的直線描述?？梢姡Q向運(yùn)動(dòng)的參與為系統(tǒng)提供了耦合氣動(dòng)負(fù)阻尼，促使同一風(fēng)速下，2DOFhα 系統(tǒng)的氣動(dòng)負(fù)阻尼比SDOFα 系統(tǒng)大，進(jìn)而導(dǎo)致2DOFhα系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)振幅大于SDOFα 系統(tǒng)。非耦合氣動(dòng)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼的幅變特性很顯著，表現(xiàn)出顯著的非線性，因此他們的強(qiáng)非線性是觸發(fā)LCO 的關(guān)鍵因素，而耦合氣動(dòng)阻尼的弱非線性則主要起到降低系統(tǒng)穩(wěn)定性，增大穩(wěn)態(tài)振幅的作用。

圖7 工況A1 不同初始激勵(lì)條件下的非線性顫振響應(yīng)(U=9.89 m/s)Fig.7 Nonlinear flutter response of Case A1 under different initial conditions (U=9.89 m/s)

圖8 工況A2 不同初始激勵(lì)條件下的非線性顫振響應(yīng)(U=9.89 m/s)Fig.8 Nonlinear flutter response of Case A2 under different initial conditions (U=9.89 m/s)

圖9 工況A2(2DOFhα 系統(tǒng))模態(tài)阻尼解構(gòu)成分對比(U=9.89 m/s)Fig.9 Modal damping and aerodynamic damping vs.torsional amplitude for Case A2(2DOFhα System, U=9.89 m/s)

圖10 給出了工況A1(SDOFα 系統(tǒng))和工況A2(2DOFhα 系統(tǒng))的穩(wěn)態(tài)振幅(Aα表示扭轉(zhuǎn)振幅，Ah表示豎向振幅)隨風(fēng)速的演化規(guī)律。可以發(fā)現(xiàn)，兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅都隨風(fēng)速的增加而緩慢增大，表現(xiàn)為典型的軟顫振行為。對于2DOFhα 系統(tǒng)，豎向振幅的增長速率隨著風(fēng)速的增加而逐漸增大，表明彎扭耦合強(qiáng)度逐漸增強(qiáng)。正如前述，豎向運(yùn)動(dòng)的參與引入了耦合氣動(dòng)負(fù)阻尼，因此2DOFhα系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅始終大于SDOFα 系統(tǒng)。另外，2DOFhα 系統(tǒng)的顫振臨界風(fēng)速也比SDOFα 系統(tǒng)低。然而，需要說明的是，在小振幅階段工況A2 的結(jié)構(gòu)阻尼要小于工況A1，且臨界風(fēng)速附近的豎向振幅微弱，幾乎可以忽略，因此豎向自由度的參與是否會(huì)降低臨界風(fēng)速將在后文進(jìn)一步分析，這實(shí)際上涉及到一個(gè)重要的問題，在非線性顫振研究中，能否因?yàn)樨Q向運(yùn)動(dòng)參與程度低，而將兩自由度耦合非線性系統(tǒng)簡化為單自由度非線性系統(tǒng)。

圖10 工況A1 和工況A2 穩(wěn)態(tài)振幅的試驗(yàn)值與預(yù)測值對比Fig.10 Comparison between experimental and predicted values of stable amplitudes for Case A1 and Case A2

圖11 進(jìn)一步給出了不同振幅下(1°～14°) SDOFα系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率和氣動(dòng)阻尼比隨風(fēng)速演化規(guī)律。對于模態(tài)頻率，其隨風(fēng)速的增加而減小，隨振幅的增加也減小，但減小的幅度并不是很大，說明在測試風(fēng)速區(qū)間內(nèi)，氣動(dòng)剛度效應(yīng)較弱。對于氣動(dòng)阻尼，可以發(fā)現(xiàn)：隨著風(fēng)速的增長，所有振幅下的氣動(dòng)阻尼緩慢由正向負(fù)遞減，隨著振幅的增長，模態(tài)阻尼緩慢由負(fù)向正增大，形成“風(fēng)速增大，氣動(dòng)阻尼降低系統(tǒng)穩(wěn)定性；振幅增大，氣動(dòng)阻尼提高系統(tǒng)穩(wěn)定性” 這一整體演化特征，由該特征進(jìn)一步驅(qū)使系統(tǒng)零模態(tài)阻尼的振幅隨風(fēng)速的增加而增大是導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)振幅隨風(fēng)速增加而增大的關(guān)鍵內(nèi)在機(jī)制。此外，還可以發(fā)現(xiàn)：在低風(fēng)速下，氣動(dòng)阻尼幅變特性微弱，表明低風(fēng)速下的氣動(dòng)非線性很微弱，隨著風(fēng)速的增加，氣動(dòng)阻尼的幅變程度越來越強(qiáng)，表明氣動(dòng)非線性也越來越強(qiáng)。

圖11 工況A1(SDOFα 系統(tǒng))不同振幅下扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率和氣動(dòng)阻尼比隨風(fēng)速的演化規(guī)律Fig.11 Modal frequency and aerodynamic damping ratio vs.wind speed under different amplitudes for Case A1(SDOFα system)

為獲取2DOFhα 系統(tǒng)氣彈行為中豎向模態(tài)分支的信息，需對系統(tǒng)進(jìn)行豎向扭轉(zhuǎn)耦合激勵(lì)。圖12 給出了U=7.59 m/s 時(shí)大幅豎向扭轉(zhuǎn)耦合激勵(lì)后的位移響應(yīng)及相應(yīng)的頻譜圖(VB 表示豎向模態(tài)分支，TB 表示扭轉(zhuǎn)模態(tài)分支)。位移響應(yīng)頻譜中存在兩個(gè)卓越頻率fh(豎向模態(tài)分支頻率)和fα(扭轉(zhuǎn)模態(tài)分支頻率)。首先觀察豎向模態(tài)分支，可以發(fā)現(xiàn)豎向位移中含有顯著的fh和fα而扭轉(zhuǎn)位移中沒有觀察到明顯的fh，這表明豎向模態(tài)分支幾乎不含氣動(dòng)耦合效應(yīng)，即豎向位移產(chǎn)生的耦合扭矩很弱，因此豎向模態(tài)分支的耦合氣動(dòng)項(xiàng)貢獻(xiàn)可以忽略。這一特性滿足1.2 節(jié)中推導(dǎo)和閉合解時(shí)的近似假定條件(即式(10)和式(11))。其次，觀察扭轉(zhuǎn)模態(tài)分支可以發(fā)現(xiàn)，豎向位移和扭轉(zhuǎn)位移中都含有較為明顯的fα。這表明扭轉(zhuǎn)模態(tài)分支含有明顯的氣動(dòng)耦合效應(yīng)，即扭轉(zhuǎn)位移產(chǎn)生的耦合升力較顯著。值得一提的是，試驗(yàn)中扭轉(zhuǎn)模態(tài)分支的氣動(dòng)耦合效應(yīng)是隨著風(fēng)速的增加而增強(qiáng)的。該風(fēng)速下，豎向位移中以fα成分占主導(dǎo)，這是因?yàn)樨Q向模態(tài)分支快速衰減，發(fā)生了扭轉(zhuǎn)模態(tài)極限環(huán)顫振，顯著的氣動(dòng)耦合效應(yīng)驅(qū)使豎向位移以fα進(jìn)行極限環(huán)振蕩。因此，為獲得足夠顯著的豎向模態(tài)信息，在較高風(fēng)速下，尤其是在顫振臨界點(diǎn)及其后的風(fēng)速區(qū)間需進(jìn)行大幅的豎向激勵(lì)試驗(yàn)。

圖12 工況A2 大幅彎扭耦合激勵(lì)下的自由振動(dòng)響應(yīng)特性(U=7.59 m/s)Fig.12 Characteristics of aeroelastic responses under large vertical-torsional coupled excitation for Case A2 (U=7.59 m/s)

采用無相位差的帶通濾波技術(shù)對位移響應(yīng)進(jìn)行濾波可獲取僅含豎向模態(tài)的位移響應(yīng)，基于該響應(yīng)即可識別獲得豎向模態(tài)分支的頻率和阻尼特性。同理，采用濾波技術(shù)可獲取僅含扭轉(zhuǎn)模態(tài)的位移響應(yīng)，基于該響應(yīng)即可識別扭轉(zhuǎn)模態(tài)分支的模態(tài)參數(shù)(頻率，阻尼比，振幅比和相位差)。

圖13 給出了基于工況A1 和工況A2 識別的8 個(gè)幅變顫振導(dǎo)數(shù) (如式(10)和式(11)所示，和和Ah有關(guān)， 但和Aα無關(guān))?；谏鲜鲎R別的顫振導(dǎo)數(shù)計(jì)算了工況A1、工況A2、工況B1、工況B2、工況C1 和工況C2 的非線性顫振響應(yīng)并與試驗(yàn)值進(jìn)行對比(如圖10、圖14 所示)，可以發(fā)現(xiàn)所有工況下試驗(yàn)值與預(yù)測值都吻合的很好，顫振臨界點(diǎn)的預(yù)測值和試驗(yàn)值也都很接近。這表明幅變顫振導(dǎo)數(shù)識別方法是可靠的，且本文識別的幅變顫振導(dǎo)數(shù)具有很高的精度。因此，本文發(fā)展的幅變顫振導(dǎo)數(shù)識別方法具備用于實(shí)橋非線性顫振分析的巨大潛力。

圖13 幅變顫振導(dǎo)數(shù)Fig.13 Amplitude-dependent flutter derivatives

圖14 工況B1、工況 B2、工況C1 和工況C2 穩(wěn)態(tài)振幅試驗(yàn)值與預(yù)測值對比Fig.14 Comparison between experimental and predicted values of stable amplitudes for Cases B1, Cases B2, Cases C1 and Cases C2

為回答前面豎向自由度的參與是否是降低顫振臨界風(fēng)速的原因之一，計(jì)算了2DOFhα 系統(tǒng)和SDOFα 系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)阻尼比都為0.3%的線性阻尼下的非線性顫振響應(yīng)，如圖15 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，豎向自由度的參與確實(shí)能夠降低顫振臨界風(fēng)速，同時(shí)隨著風(fēng)速的增加，2DOFhα 系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)振幅越來越大于SDOFα 系統(tǒng)。圖16 進(jìn)一步給出了2DOFhα 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)模態(tài)阻尼的耦合氣動(dòng)阻尼項(xiàng)和非耦合氣動(dòng)阻尼項(xiàng)隨風(fēng)速和振幅的演化規(guī)律。可以發(fā)現(xiàn)，豎向自由度引入的耦合氣動(dòng)阻尼在低風(fēng)速下很小幾乎為零，隨著風(fēng)速的增加，向負(fù)阻尼方向逐漸增大。這就是為什么2DOFhα 系統(tǒng)的顫振臨界點(diǎn)低于SDOFα 系統(tǒng)，并且隨著風(fēng)速的增加2DOFhα 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅越來越大于SDOFα 系統(tǒng)的原因。另外，非耦合氣動(dòng)阻尼在低風(fēng)速下幅變特性很小，隨著風(fēng)速的增加幅變特性越來越強(qiáng)，而耦合氣動(dòng)阻尼的幅變特性在研究風(fēng)速區(qū)間內(nèi)始終很弱。由此可知，氣動(dòng)非線性隨著風(fēng)速的增加而變得越來越強(qiáng)，該氣動(dòng)非線性主要貢獻(xiàn)給了非耦合氣動(dòng)阻尼，而耦合氣動(dòng)阻尼始終是一個(gè)偏線性的氣動(dòng)阻尼成分。此外，以上分析還表明：對于非線性顫振，即使觀察到豎向自由度參與程度很低，也不能簡單地將其簡化為單自由度系統(tǒng)，因?yàn)槠浔旧頍o法反映兩自由度系統(tǒng)的內(nèi)在耦合機(jī)制。事實(shí)上，豎向自由度參與程度低可能只是內(nèi)在耦合機(jī)制在該結(jié)構(gòu)參數(shù)下外化表現(xiàn)時(shí)較弱而已，但在其他結(jié)構(gòu)參數(shù)下卻未必。

圖15 2DOFhα 和SDOFα 系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)振幅(ξh0=ξα0=0.3%)Fig.15 Torsional amplitudes of 2DOFhα and SDOFα Systems (ξh0=ξα0=0.3%)

圖16 模態(tài)阻尼耦合項(xiàng)和非耦合項(xiàng)演化規(guī)律Fig.16 Coupled and uncoupled terms of modal damping vs.wind speed

3 大跨橋梁三維非線性顫振分析

3.1 三維多/全模態(tài)耦合非線性顫振分析

采用ANSYS 對圖5 所示懸索橋進(jìn)行有限元建模，通過模態(tài)分析獲得了該橋的固有動(dòng)力特性。圖17 給出了該橋前20 階主要固有模態(tài)主梁豎向、側(cè)向、扭轉(zhuǎn)方向的振型。其中：Mode 4 為一階正對稱豎彎振型；Mode 7 以一階正對稱扭轉(zhuǎn)振型為主，含有較為明顯的側(cè)彎振型；Mode 8 以二階正對稱側(cè)彎為主，含有較小的一階正對稱扭轉(zhuǎn)成分；Mode 13、Mode 16、Mode 17、Mode 18 以主纜振型為主，但含有較為明顯的主梁振型，尤其是耦合了較為顯著的主梁扭轉(zhuǎn)振型，因此可能對非線性顫振有一定影響。通常顫振計(jì)算中至少選擇Mode 4 和Mode 7 組合進(jìn)行分析。為研究多模態(tài)氣動(dòng)耦合效應(yīng)對非線性顫振的影響，計(jì)算了不同結(jié)構(gòu)模態(tài)組合下模態(tài)分支7 的非線性顫振響應(yīng)，其中側(cè)向相關(guān)顫振導(dǎo)數(shù)通過準(zhǔn)定常假定計(jì)算獲得。模態(tài)組合工況如表2 所示。

表2 不同結(jié)構(gòu)模態(tài)組合計(jì)算工況Table 2 Cases with different combinations of structural modes

圖17 大橋主要結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的主梁振型(振型歸一化)Fig.17 Structural mode shapes of the prototype bridge (Normalization of modal shapes)

圖18 給出了表2 中不同工況下的主梁跨中非線性顫振穩(wěn)態(tài)振幅(結(jié)構(gòu)阻尼比為0.3%)，可以發(fā)現(xiàn)，相對工況1，考慮Mode 6 (二階正對稱豎彎) 后，工況2 的扭轉(zhuǎn)振幅在局部風(fēng)速區(qū)間(38 m/s～42 m/s)略大于工況1，其他風(fēng)速下吻合較好；而對于豎向振幅，隨著風(fēng)速的增加，工況1 明顯越來越大于工況2，說明Mode 6 對非線性顫振影響很大尤其是豎向振幅，因此必須考慮該模態(tài)。在工況2 的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮Mode 1 得到工況3，可以發(fā)現(xiàn)工況3 的扭轉(zhuǎn)和豎向振幅基本與工況2 一致，而工況3 的側(cè)向振幅明顯小于工況2，說明Mode 1主要影響非線性顫振的側(cè)向振幅。Mode 8 以二階正對稱側(cè)彎振型為主但是耦含一定程度的一階正對稱扭轉(zhuǎn)振型，因此該模態(tài)對非線性顫振的影響是值得分析的，對比工況3 和工況4 可知，考慮Mode 8 后扭轉(zhuǎn)振幅增大了，但在穩(wěn)態(tài)振幅很小時(shí)增大的并不明顯，而在穩(wěn)態(tài)振幅大于5°后有顯著增大，另外豎向振幅也有小幅提升，側(cè)向振幅有了明顯的減小?？梢奙ode 8 對非線性顫振響應(yīng)影響較大，不考慮會(huì)低估扭轉(zhuǎn)和豎向穩(wěn)態(tài)振幅。對比工況4 和工況5 可以發(fā)現(xiàn)，二者的扭轉(zhuǎn)、豎向和側(cè)向振幅都幾乎完全重合，說明前10 階模態(tài)內(nèi)除第1 階、4 階、6 階、7 階、8 階模態(tài)外的其他模態(tài)對模態(tài)分支7 主導(dǎo)的非線性顫振幾乎沒有影響可以忽略。相對工況5，工況6 的扭轉(zhuǎn)振幅在穩(wěn)態(tài)振幅較大時(shí)略大，豎向振幅幾乎沒變化，側(cè)向振幅也在穩(wěn)態(tài)振幅較大時(shí)偏大。初步推斷主要是受Mode 13 和Mode 18 的影響，因?yàn)镸ode 13 和Mode18 雖然以主纜振型為主，但也耦含了一階正對稱扭轉(zhuǎn)振型和一階正對稱側(cè)彎振型，尤其是Mode 13含有較為顯著的一階正對稱扭轉(zhuǎn)振型?？梢娨恍└唠A的模態(tài)也是有考慮的必要的，尤其是在非線性顫振振幅較大時(shí)。以風(fēng)速41 m/s 為例，工況6的跨中扭轉(zhuǎn)、豎向、側(cè)向振幅分別為8.9°、0.278 m、0.29 m，而工況1 的跨中扭轉(zhuǎn)、豎向、側(cè)向振幅分別為7°、0.46 m、0.32 m。相對工況6，工況1 的跨中扭轉(zhuǎn)振幅相對低估了21%，跨中豎向振幅相對高估了65%，實(shí)際上豎向振幅不是高估也是低估，因?yàn)槎叩恼穹螒B(tài)不一致，工況6 的豎向振幅最大位置不在跨中(如圖19 所示)。總而言之，多模態(tài)耦合效應(yīng)對非線性顫振的影響很大，不考慮會(huì)低估非線性顫振振幅。

圖18 不同結(jié)構(gòu)固有模態(tài)組合下的非線性顫振響應(yīng)Fig.18 Nonlinear flutter responses under different combinations of structural modes

圖19 U=41 m/s 時(shí)不同結(jié)構(gòu)固有模態(tài)組合下的主梁振幅形態(tài)Fig.19 Mode shape of cases with different combinations of structural modes (U=41 m/s)

為觀察不同結(jié)構(gòu)模態(tài)組合對主梁振幅形態(tài)的影響，圖19 給出了U=41 m/s 各工況穩(wěn)態(tài)振幅時(shí)的主梁振幅形態(tài)。由于各工況的穩(wěn)態(tài)振幅不一樣，為方便對比，都以跨中扭轉(zhuǎn)振幅進(jìn)行歸一化。由圖19 可知，對于扭轉(zhuǎn)振幅形態(tài)，各工況是完全一致的。對于豎向振幅形態(tài)，工況1 為一階正對稱豎彎形態(tài)，而工況2 在考慮了Mode 6 后變?yōu)椤半p峰”形態(tài)，明顯耦合了一階正對稱豎彎(Mode 4)和二階正對稱豎彎(Mode 6)形態(tài)，其振幅最大值不在跨中，而在接近1/4 跨的位置，這是上述工況2 的跨中豎向穩(wěn)態(tài)振幅顯著小于工況1 的主要原因。其他結(jié)構(gòu)模態(tài)對豎向振幅形態(tài)的影響較小。對于側(cè)向振幅形態(tài)，主要在考慮了Mode 1 和Mode 8 后有了較大變化，因?yàn)檫@兩個(gè)模態(tài)主要為對稱側(cè)彎模態(tài)。他們受側(cè)向自激力影響參與到側(cè)向振動(dòng)中，從而影響了全跨側(cè)向振幅形態(tài)。

圖20 以U=41 m/s 為例進(jìn)一步量化了不同結(jié)構(gòu)模態(tài)組合工況下的模態(tài)阻尼?？梢园l(fā)現(xiàn)考慮Mode 6 后，工況2 的模態(tài)阻尼在4°～10°振幅內(nèi)有明顯減小導(dǎo)致0 模態(tài)阻尼的振幅更大，這是上述考慮Mode 6 后工況2 的扭轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)振幅在局部風(fēng)速區(qū)間略大于工況1 的根本原因。對比工況2 和工況3 可知考慮Mode 1 后模態(tài)阻尼完全沒有改變，因此上述扭轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)振幅和豎向穩(wěn)態(tài)振幅也沒有改變，但是Mode 1 為一階正對稱側(cè)彎振型，受側(cè)向自激力影響參與到側(cè)向振動(dòng)中對側(cè)向穩(wěn)態(tài)振幅有影響。在工況3 的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮Mode 8 可知模態(tài)阻尼整體減小了，即氣動(dòng)負(fù)阻尼增大了，因此上述穩(wěn)態(tài)振幅也就增大了。對比工況4 和工況5發(fā)現(xiàn)模態(tài)阻尼基本沒有變化。對比工況5 和工況6可知高階模態(tài)的參與微弱地降低了模態(tài)阻尼，因此對穩(wěn)態(tài)振幅影響較小。圖21 給出了U=41 m/s時(shí)穩(wěn)態(tài)振幅階段各結(jié)構(gòu)模態(tài)的參與幅值，可以發(fā)現(xiàn)Mode 4、Mode 6、Mode 7 為對非線性顫振有主要貢獻(xiàn)的結(jié)構(gòu)模態(tài)，其中Mode 6 與Mode 4 的參與幅值基本相當(dāng)，因此只考慮Mode 4 和Mode 7進(jìn)行非線性顫振分析顯然不妥。另外Mode 1、Mode 8、Mode 13、Mode 18 也對非線性顫振有貢獻(xiàn)，雖然參與程度相對較小，但對阻尼敏感的非線性顫振也會(huì)產(chǎn)生一定影響，尤其是當(dāng)非線性顫振振幅較大時(shí)影響較為明顯。

圖20 U=41 m/s 時(shí)不同工況下的模態(tài)阻尼演化規(guī)律圖Fig.20 Modal damping of different Cases (U=41 m/s)

圖21 U=41 m/s 時(shí)工況6 結(jié)構(gòu)固有模態(tài)參與幅值Fig.21 Magnitude of each structural mode (U=41 m/s)

采用全階模態(tài)耦合分析方法計(jì)算了該橋模態(tài)分支7(Mb 7)和模態(tài)分支9(Mb 9)的非線性顫振響應(yīng)并與多模態(tài)耦合分析結(jié)果進(jìn)行對比，如圖22 所示，其中多模態(tài)方法為表2 中工況6 的模態(tài)組合。圖22 中模態(tài)分支7 為跨中響應(yīng)，模態(tài)分支9為1/4 跨的響應(yīng)。由圖22 可知，扭轉(zhuǎn)振幅在10°以內(nèi)時(shí)，全階模態(tài)的穩(wěn)態(tài)振幅與多模態(tài)吻合的很好；當(dāng)振幅大于10°以后，全階模態(tài)的穩(wěn)態(tài)振幅略大于多模態(tài)的穩(wěn)態(tài)振幅?？梢姰?dāng)振幅足夠大時(shí)，采用多模態(tài)分析方法可能會(huì)低估非線性顫振的穩(wěn)態(tài)振幅，因此有必要進(jìn)行全階模態(tài)分析獲得更準(zhǔn)確的非線性顫振響應(yīng)。多模態(tài)方法沒有考慮潛在的對三維非線性顫振有貢獻(xiàn)的更高階的模態(tài)，這些更高階的模態(tài)主要可能是含有相對顯著對稱扭轉(zhuǎn)振型的模態(tài)(類似于Mode 13 和Mode 18)。盡管這些高階模態(tài)的參與幅值很小，但當(dāng)振幅足夠大時(shí)，其對模態(tài)阻尼的影響也足夠顯著已不可忽視。由于非線性顫振響應(yīng)本身對阻尼十分敏感，較小的阻尼變化可能導(dǎo)致較大的振幅差別，因此也就導(dǎo)致了圖22 中在振幅足夠大時(shí)，全階模態(tài)方法預(yù)測的振幅偏大于多模態(tài)方法。因此，當(dāng)振幅足夠大時(shí)，采用全階模態(tài)分析方法獲得更準(zhǔn)確的非線性顫振響應(yīng)也是有必要。

圖22 多模態(tài)與全階模態(tài)方法計(jì)算的非線性顫振響應(yīng)對比Fig.22 Comparison of nonlinear flutter responses from multimode and full-mode methods

3.2 三維非線性顫振時(shí)域分析

為研究幾何非線性對非線性顫振的影響，采用1.3 節(jié)和1.4 節(jié)介紹的方法計(jì)算了如表3 所示的6 種工況。為保證時(shí)域與頻域分析的氣動(dòng)力是完全一致的，在頻域分析中采用的是基于有理函數(shù)系數(shù)擬合后反算的顫振導(dǎo)數(shù)(稱為擬合的顫振導(dǎo)數(shù))，計(jì)算中未考慮側(cè)向相關(guān)自激力。此外有理函數(shù)系數(shù)擬合的準(zhǔn)確性也預(yù)先通過了驗(yàn)證，同時(shí)時(shí)域計(jì)算也進(jìn)行了時(shí)間步無關(guān)性檢驗(yàn)，最終計(jì)算時(shí)間步長設(shè)為0.01 s。頻域和時(shí)域分析中采用的阻尼模型都是經(jīng)典的瑞利阻尼模型。考慮的幾何非線性效應(yīng)包括懸索橋的應(yīng)力剛化效應(yīng)和大變形效應(yīng)。

表3 三維非線性顫振計(jì)算工況Table 3 Calculation cases of three-dimensional nonlinear flutter analysis

圖23 給出了6 個(gè)工況的計(jì)算結(jié)果。對于不考慮結(jié)構(gòu)阻尼的情況，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)振幅較小時(shí)(＜4°)，頻域方法(即全階模態(tài)方法)與考慮應(yīng)力剛化和大變形效應(yīng)的時(shí)域方法吻合的很好，這主要是因?yàn)樵谡穹^小時(shí)幾何非線性效應(yīng)并不顯著；隨著振幅的進(jìn)一步增大(>4°)，考慮應(yīng)力剛化的時(shí)域方法逐漸小于頻域方法，但減小的幅度并沒有隨著振幅的增加而進(jìn)一步明顯增大；而考慮大變形的時(shí)域方法則逐漸越來越小于以上兩者，穩(wěn)態(tài)振幅越大，減小的幅度也越大，這表明大變形效應(yīng)對非線性顫振響應(yīng)的影響會(huì)隨振幅的增加而越來越顯著。豎向穩(wěn)態(tài)振幅表現(xiàn)出與扭轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)振幅一致的規(guī)律。

圖23 工況1～工況6 的跨中穩(wěn)態(tài)振幅隨風(fēng)速的演化規(guī)律Fig.23 Stable amplitude vs.wind speed at mid-span(Case 1～Case 6)

對于結(jié)構(gòu)阻尼為0.3%的情況，首先時(shí)域方法與頻域方法的顫振臨界點(diǎn)吻合的很好，其次在振幅較小時(shí)考慮應(yīng)力剛化效應(yīng)的時(shí)域方法與頻域方法吻合較好，隨著振幅的增長考慮應(yīng)力剛化的時(shí)域方法逐漸小于頻域方法，且減小幅度越來越大。而當(dāng)考慮大變形效應(yīng)后，穩(wěn)態(tài)振幅降低的更為明顯，即使在較小的振幅階段也相差較大?？紤]結(jié)構(gòu)阻尼和不考慮結(jié)構(gòu)阻尼的這種差異是由瑞利阻尼模型造成的，瑞利阻尼與剛度有關(guān)，因此當(dāng)幾何非線性導(dǎo)致幾何剛度發(fā)生改變時(shí)，結(jié)構(gòu)阻尼比也變了(本文中顯然導(dǎo)致了扭轉(zhuǎn)模態(tài)結(jié)構(gòu)阻尼比的增大)。瑞利阻尼模型中由于幾何非線效應(yīng)改變結(jié)構(gòu)阻尼的這種數(shù)值行為是否符合真實(shí)的物理行為是值得進(jìn)一步探討的。整體而言，考慮結(jié)構(gòu)阻尼和不考慮結(jié)構(gòu)阻尼的整體變化規(guī)律是一致的。

為進(jìn)一步探究幾何非線性效應(yīng)降低非線性顫振振幅的原因，圖24 給出了U=32 m/s 時(shí)跨中位移的發(fā)展時(shí)程，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)振幅增長到一定程度，考慮大變形的扭轉(zhuǎn)和豎向振幅都開始逐漸小于考慮應(yīng)力剛化的振幅；對于豎向位移，隨著振幅的增長豎向位移均值由零逐漸增大，表現(xiàn)為主梁被不斷抬升，其中考慮大變形時(shí)主梁被抬升的更顯著。圖24～圖26 進(jìn)一步給出了圖24 中位移響應(yīng)的時(shí)頻演化特征。可以發(fā)現(xiàn)考慮應(yīng)力剛化時(shí)，隨著振幅的增加扭轉(zhuǎn)位移中開始逐漸出現(xiàn)微弱的3 倍頻分量，豎向位移中也逐漸出現(xiàn)微弱的2 倍、3 倍、4 倍頻分量；而當(dāng)考慮大變形后，扭轉(zhuǎn)和豎向位移中的倍頻分量都相對顯著增強(qiáng)了，同時(shí)還出現(xiàn)了更高倍頻的分量。

圖24 考慮應(yīng)力剛化和大變形效應(yīng)的跨中位移時(shí)程對比(U=32 m/s, ξs=0)Fig.24 Displacement time-history response at mid-span considering stress stiffening and large deformation effects(U=32 m/s, ξs=0)

圖25 考慮應(yīng)力剛化效應(yīng)的跨中位移響應(yīng)時(shí)頻演化特征(U=32 m/s, ξs=0)Fig.25 Time-frequency spectra of mid-span responses considering the stress stiffening effect (U=32 m/s, ξs=0)

圖26 考慮大變形效應(yīng)的跨中位移響應(yīng)時(shí)頻演化特征(U=32 m/s, ξs=0)Fig.26 Time-frequency spectra of mid-span responses considering the large deformation effect (U=32 m/s, ξs=0)

進(jìn)一步將U=32 m/s 時(shí)考慮大變形的主梁全跨位移響應(yīng)按頻率成分單獨(dú)分解出來，并給出相應(yīng)頻率成分一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的振動(dòng)形態(tài)，如圖27～圖28 所示。首先觀察扭轉(zhuǎn)位移，在振幅較小時(shí)，3 倍頻和5 倍頻位移分量幾乎為零；當(dāng)基頻扭轉(zhuǎn)振幅達(dá)到1.5°左右時(shí)，3 倍頻和5 倍頻位移分量開始從零增加， 并在基頻位移分量達(dá)到穩(wěn)態(tài)振幅時(shí)也跟著進(jìn)入穩(wěn)態(tài)振動(dòng)階段。其中基頻振型為一階正對稱扭轉(zhuǎn)振型；3 倍頻振型接近為三階正對稱扭轉(zhuǎn)振型；5 倍頻振型為更高階的扭轉(zhuǎn)振型。在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)階段，跨中位移的基頻振幅約為5.5°，3 倍頻振幅約為0.35°，約為基頻振幅的6.3%，而5 倍頻振幅很微弱。進(jìn)一步觀察豎向位移，高倍頻振型為高階的豎向振型，基本發(fā)展規(guī)律和扭轉(zhuǎn)位移類似，不再贅述。值得一提的是豎向位移有一個(gè)零頻的抬升，整個(gè)主梁被抬升為一階正對稱豎彎的形態(tài)，這是由幾何非線性效應(yīng)導(dǎo)致的，無法用頻域方法預(yù)測。

圖27 主梁全跨扭轉(zhuǎn)位移分量特征 (U=32 m/s；ξs=0；大變形)Fig.27 Characteristics of torsional displacement components along the span (U=32 m/s；ξs=0; Large Deformation)

圖28 主梁全跨豎向位移分量特征(U=32 m/s, ξs=0, 大變形)Fig.28 Characteristics of vertical displacement components along the span (U=32 m/s, ξs=0, Large Deformation)

綜上可知，在非線性顫振起振的小振幅階段幾何非線性效應(yīng)較微弱。隨著振幅的增長，幾何非線性效應(yīng)逐漸越來越顯著，并會(huì)誘發(fā) “超諧共振”行為，主要表現(xiàn)為在主梁豎向和扭轉(zhuǎn)兩個(gè)方向出現(xiàn)以高階振型進(jìn)行的高倍頻多頻振動(dòng)(需要注意的是，這些高階振型并不是結(jié)構(gòu)固有模態(tài)振型，因?yàn)樵诳紤]幾何非線性效應(yīng)時(shí)，線性模態(tài)的概念已不再適用)，且振幅越大其超諧共振行為越明顯，這是一種典型的非線性振動(dòng)現(xiàn)象，常見于剛度非線性系統(tǒng)。在超諧共振過程中，基頻振動(dòng)的一部分能量轉(zhuǎn)移到高倍頻的振動(dòng)中維持其振動(dòng)(高倍頻振動(dòng)的能量源于預(yù)先已存在的基頻振動(dòng))；同時(shí)，由于高倍頻振動(dòng)的折減風(fēng)速更低，氣動(dòng)阻尼為正，高倍頻振動(dòng)的部分能量又被空氣耗散掉。因此，高倍頻振動(dòng)相對于基頻振動(dòng)起到了吸能減振的作用(類似于調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的作用)，這是在考慮幾何非線性效應(yīng)后大跨度懸索橋的非線性顫振振幅減小的主要物理機(jī)制。

4 結(jié)論

為降低超大跨橋梁的設(shè)計(jì)成本和難度，亟需構(gòu)建能夠充分利用后顫振安全裕量的非線性顫振設(shè)防標(biāo)準(zhǔn)(即所謂抗風(fēng)韌性設(shè)計(jì))。在此背景下，本文簡要介紹了本課題組在節(jié)段模型大振幅非線性顫振風(fēng)洞試驗(yàn)研究，非線性氣動(dòng)力建模和模型參數(shù)識別方法，以及三維非線性顫振頻域和時(shí)域計(jì)算理論等方面開展的系統(tǒng)性工作。以國內(nèi)某初步設(shè)計(jì)階段的四主纜雙層桁架主梁斷面懸索橋?yàn)楸尘?，采用風(fēng)洞試驗(yàn)、理論分析和有限元數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法研究了該橋的非線性顫振特性，探究了多/全模態(tài)氣動(dòng)耦合效應(yīng)以及幾何非線性效應(yīng)對該橋非線性顫振的影響。主要結(jié)論如下：

(1)該雙層桁架斷面的單自由度扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)和兩自由度豎向扭轉(zhuǎn)耦合系統(tǒng)都表現(xiàn)為典型的非線性極限環(huán)顫振行為，且兩自由度系統(tǒng)的顫振臨界點(diǎn)不僅低于單自由度系統(tǒng)，同時(shí)穩(wěn)態(tài)振幅也大于單自由度系統(tǒng)，其原因在于豎向自由度引入了耦合氣動(dòng)負(fù)阻尼；耦合氣動(dòng)負(fù)阻尼隨風(fēng)速的增加而增大，其受振幅，豎向運(yùn)動(dòng)參與程度的影響很小，是一個(gè)偏線性的阻尼，因此，不能因豎向自由度運(yùn)動(dòng)參與程度低而簡單地將兩自由度系統(tǒng)簡化為單自由度系統(tǒng)。另外，氣動(dòng)非線性隨著風(fēng)速的增加而變得越來越強(qiáng)，該氣動(dòng)非線性主要貢獻(xiàn)給了非耦合氣動(dòng)阻尼，使得非耦合氣動(dòng)阻尼隨著風(fēng)速的增加表現(xiàn)出越來越顯著的幅變特性，因此非耦合氣動(dòng)負(fù)阻尼的強(qiáng)非線性是觸發(fā)極限環(huán)顫振的關(guān)鍵氣動(dòng)因素，而偏線性的耦合氣動(dòng)負(fù)阻尼則主要起到了降低系統(tǒng)穩(wěn)定性，增大穩(wěn)態(tài)振幅的作用。

(2)發(fā)展了一種基于節(jié)段模型自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)的位移響應(yīng)識別幅變顫振導(dǎo)數(shù)的方法，采用該方法識別的幅變顫振導(dǎo)數(shù)能夠準(zhǔn)確預(yù)測原結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)和變結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)下的非線性顫振響應(yīng)，可見方法是準(zhǔn)確可行的。另外，除了方法的準(zhǔn)確可行，新型大幅自由振動(dòng)裝置的輔助加持也使得識別的參數(shù)精度更高，振幅范圍更大。

(3)建立了可考慮多/全模態(tài)氣動(dòng)耦合效應(yīng)的三維非線性顫振響應(yīng)頻域快速預(yù)測方法，多模態(tài)氣動(dòng)耦合效應(yīng)對非線性顫振的振幅和三維振幅形態(tài)都有顯著影響，如不考慮將顯著低估大跨橋梁的非線性顫振振幅，并可能錯(cuò)誤評估其三維振動(dòng)形態(tài)。另外，多模態(tài)方法的模態(tài)選擇具有經(jīng)驗(yàn)性，往往會(huì)忽略潛在的對三維非線性顫振有貢獻(xiàn)的較高階的模態(tài)，盡管這些高階模態(tài)的參與幅值很小，但是當(dāng)振幅足夠大時(shí)，其對模態(tài)阻尼的影響也可能足夠顯著，如忽視將低估顫振振幅，因此，在振幅較大時(shí)，全階模態(tài)分析是有必要的。

(4)幾何非線性效應(yīng)會(huì)隨著振幅的增長逐漸越來越顯著，并會(huì)誘發(fā) “超諧共振”行為，主要表現(xiàn)為在主梁豎向和扭轉(zhuǎn)兩個(gè)方向出現(xiàn)以高階振型進(jìn)行的高倍頻多頻振動(dòng)，且振幅越大其超諧共振行為越明顯。在超諧共振過程中，基頻振動(dòng)的一部分能量逐漸轉(zhuǎn)移到高倍頻的振動(dòng)中維持其振動(dòng)，同時(shí)，由于高倍頻振動(dòng)的折減風(fēng)速更低，氣動(dòng)阻尼為正，高倍頻振動(dòng)的部分能量又被空氣耗散掉，因此，高倍頻振動(dòng)相對于基頻振動(dòng)起到了吸能減振的作用(類似于調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的作用)，這是在考慮幾何非線性效應(yīng)后大跨度懸索橋的非線性顫振振幅減小的主要物理機(jī)制。