李紫階

一、分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的困難

分?jǐn)?shù)作為一種"新"數(shù)，也是學(xué)生對(duì)于對(duì)數(shù)的理解的一種拓展;但從分?jǐn)?shù)的含義上來(lái)看，分?jǐn)?shù)又不僅僅是數(shù)量，同時(shí)更是一種量，既能夠表示數(shù)量，還能夠說(shuō)明量的關(guān)系，因此對(duì)比起于整數(shù)與小數(shù)的學(xué)習(xí)，這無(wú)疑使得學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)增加了困難。史寧中教授在論述“分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義”時(shí)提到：“就整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域而言，分?jǐn)?shù)大致有二種左右：一種是作為有理數(shù)形態(tài)存在的一個(gè)數(shù)，并能與其余的數(shù)一樣參與計(jì)算;另一種則是以比的形態(tài)存在的數(shù)。而后者又是學(xué)校分?jǐn)?shù)教育的重心。所以，最關(guān)鍵的分?jǐn)?shù)應(yīng)該是真分?jǐn)?shù)，它可以代表一種事件或某個(gè)整體的部分，其本質(zhì)就是它的無(wú)量綱性?！币簿褪钦f(shuō)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)存在著二種層次，一個(gè)是“具體的數(shù)”，一個(gè)是“關(guān)系的率”。

二、分?jǐn)?shù)內(nèi)容的編排

基于新課程標(biāo)準(zhǔn)的特點(diǎn)以及對(duì)分值意義層次的分類，在北師大新版小學(xué)數(shù)學(xué)課本中對(duì)分?jǐn)?shù)部分的教學(xué)內(nèi)容做出了較系統(tǒng)的安排，突出螺旋式上升、迭代積累的原則，使得分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)分布在二、三、五、六年級(jí)。其中二年級(jí)進(jìn)行“平均分”的學(xué)習(xí)，為分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)中“分”的操作進(jìn)行必要的活動(dòng)積累，體會(huì)分?jǐn)?shù)是先分后數(shù)；而四年級(jí)一整個(gè)學(xué)年沒有編排涉及分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，需要等到五年級(jí)才繼續(xù)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”，這無(wú)疑增加了學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的難度。接下來(lái)，筆者針對(duì)北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)分?jǐn)?shù)內(nèi)容的具體編排梳理如下：第一階段：學(xué)習(xí)路徑，“平均分”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，積累等分的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；教材安排，二上（分一分與除法）主要內(nèi)容，教材體現(xiàn)分物的過(guò)程，使學(xué)習(xí)者經(jīng)過(guò)四次“分一分”的操作活動(dòng)，充分體會(huì)“平均分”的含義，為分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)知累積活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。第二階段：學(xué)習(xí)路徑，體會(huì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，通過(guò)直觀的操作，感受部分與整體的關(guān)系，從而初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；教材安排，三下（分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)）；主要內(nèi)容，在“平均分”的基礎(chǔ)上，體會(huì)“不夠分”之后從而產(chǎn)生了學(xué)習(xí)新數(shù)的必要性，并且通過(guò)多種圖，有助于學(xué)習(xí)者直接理解分值所代表的總體與部分之間的關(guān)系。第三階段：學(xué)習(xí)路徑，通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的再理解，從全方位、多角度體會(huì)分?jǐn)?shù)的含義，并具體地從度量、運(yùn)作、商、比率等四大方面理解分?jǐn)?shù)的含義；教材安排，五上（分?jǐn)?shù)的意義）；主要內(nèi)容，對(duì)五年級(jí)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)知，擴(kuò)大分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的背景，擴(kuò)大對(duì)“整體”的再理解，擴(kuò)大對(duì)比較關(guān)系的再理解，了解分?jǐn)?shù)單元，感受分?jǐn)?shù)是對(duì)分?jǐn)?shù)單元的再積累，并進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)聯(lián)。第四階段：學(xué)習(xí)路徑，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算和解決問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步理解、豐富分?jǐn)?shù)的意義。教材安排，五下（分?jǐn)?shù)加減法與解決問(wèn)題）分?jǐn)?shù)乘除法與解決問(wèn)題。六上（分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算）；主要內(nèi)容，六年級(jí)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算和解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)可以進(jìn)行四則運(yùn)算。第五階段：學(xué)習(xí)路徑，融通分?jǐn)?shù)、除法和比之間的關(guān)系；教材安排，六上（比的認(rèn)識(shí)）；主要內(nèi)容，六年級(jí)比的學(xué)習(xí)，溝通分?jǐn)?shù)、除法、比之間的關(guān)系。

三、厘清分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中的核心概念

1.分?jǐn)?shù)概念的豐富性和分散性。經(jīng)過(guò)前面對(duì)教材的分析，分?jǐn)?shù)部分的學(xué)習(xí)中包括著諸多概念，如分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)單位、真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、約分、通分、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。正由于概念多，分布廣、聯(lián)系“淺”（此處的聯(lián)系“淺”在于分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識(shí)分布比較散，所以對(duì)學(xué)生整體、深度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)存在困難），學(xué)生在窺知分?jǐn)?shù)全貌的過(guò)程是需要教師引導(dǎo)有效建構(gòu)。也正由此，筆者的研究團(tuán)隊(duì)以為對(duì)分?jǐn)?shù)意義的多角度認(rèn)識(shí)是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)知識(shí)以及為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算和解決問(wèn)題的核心所在，正如學(xué)習(xí)一個(gè)概念，需要明確其內(nèi)涵和外延，內(nèi)涵是為了解決“是什么的問(wèn)題”，明確分?jǐn)?shù)意義的多維含義，而外延則是可以解決“用來(lái)做什么的問(wèn)題”，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)單位、真假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)、運(yùn)算和解決問(wèn)題的時(shí)候，都應(yīng)該基于對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，從分?jǐn)?shù)意義的角度出發(fā)，用單元整合的思路進(jìn)行學(xué)習(xí)，才能達(dá)到深度的理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

2.分?jǐn)?shù)概念的重要性和延伸性。以分?jǐn)?shù)這個(gè)概念為核心，可以“生長(zhǎng)”出一系列的概念，正因?yàn)榇?，分?jǐn)?shù)才稱為數(shù)學(xué)的核心概念之一，并以此可以成為一個(gè)概念群，正如前文所提及的平均分、商、約分、通分、比例、數(shù)的表征、數(shù)域的擴(kuò)充等。所以，分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)，既要明確它本身的定義，還要圍繞它所產(chǎn)生的“概念群”進(jìn)行組織和呈現(xiàn)，這些構(gòu)成的整體才是分?jǐn)?shù)的教育價(jià)值所在。

四、“分?jǐn)?shù)意義”學(xué)習(xí)路徑與學(xué)習(xí)方式的設(shè)計(jì)

1.設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)那榫?，幫助學(xué)生直觀體會(huì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性和數(shù)系擴(kuò)充的整體性。分?jǐn)?shù)作為一個(gè)“新”數(shù)，對(duì)學(xué)生而言不像整數(shù)和小數(shù)的學(xué)習(xí)那么自然存在，且有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)積累，分?jǐn)?shù)的書寫形式本身就是一個(gè)難點(diǎn)，其由三個(gè)部分組成，即分子、分母和分?jǐn)?shù)線。經(jīng)過(guò)一定的課堂觀測(cè)，教師在教授分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)的時(shí)候通常會(huì)這樣描述分?jǐn)?shù)的形式：分?jǐn)?shù)線表示平均分，分母表示分的份數(shù)，分子表示取的份數(shù)。顯然，這樣的方式并不能讓學(xué)生真的理解分?jǐn)?shù)的意義，而且“取出來(lái)的分?jǐn)?shù)”還會(huì)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)造成一定的負(fù)遷移。如，在三年級(jí)“分一分（一）”一課中，為了引導(dǎo)學(xué)生感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，我們嘗試在分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)的起始課中，將“分蘋果”的情境調(diào)整為“分蛋糕”，并且從四個(gè)蛋糕、兩個(gè)蛋糕、再到一個(gè)蛋糕，讓學(xué)生感受從可以整分到無(wú)法整分的沖突，從而體會(huì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性。

2.選擇豐富的素材，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的多維度理解。北師大版教材的呈現(xiàn)方式主要以“情境+問(wèn)題串”為主，通過(guò)創(chuàng)設(shè)豐富的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，而在五年級(jí)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”一課中是直接以圖形畫一畫的形式讓學(xué)生進(jìn)行操作，過(guò)于抽象和理性，這樣的設(shè)計(jì)容易導(dǎo)致兒童對(duì)概念的理解過(guò)于機(jī)械化，即只知道要將分子、分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)數(shù)（不為零）卻不了解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)中隱含著分割、單位量轉(zhuǎn)換以及單位分?jǐn)?shù)等概念，以及理解其“等值”的本質(zhì)。

3.利用幾何直觀，提高學(xué)生解決分?jǐn)?shù)運(yùn)算和應(yīng)用的能力。傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算教學(xué)中，主要以學(xué)生能夠熟練、準(zhǔn)確地進(jìn)行四則運(yùn)算為教學(xué)的重點(diǎn)，注重算理和算法融合的課堂也是更多局限在于學(xué)生理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。運(yùn)算的方法和技能固然重要，但是從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)的角度思考，如果忽視學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義本質(zhì)理解主導(dǎo)下的算理融通，便會(huì)使得分?jǐn)?shù)運(yùn)算和解決問(wèn)題的教學(xué)趨向形式形、記憶性，而缺乏類比遷移、推理論證、迭代遞歸。

責(zé)任編輯 邱 麗