? 哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 李軼男

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中,利用幾何知識(shí)解題歷來是一塊“難啃的骨頭”.在這一背景下,學(xué)生唯有掌握輔助線的應(yīng)用技巧,合理構(gòu)造輔助線,才能構(gòu)建出全新的條件,掃清解題中的障礙.構(gòu)建必要的輔助線,不僅能夠揭示圖形的本質(zhì),幫助學(xué)生更好地探索圖形背后的性質(zhì),還可以借助輔助線增強(qiáng)學(xué)生的問題分析能力,發(fā)展學(xué)生的空間觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).基于此,結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,鑒于學(xué)生解題的需求,培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建輔助線的能力已經(jīng)成為一項(xiàng)重要的教學(xué)任務(wù).

1 輔助線在初中幾何解題中的具體應(yīng)用

針對(duì)初中生來說,所學(xué)的幾何內(nèi)容主要涉及三角形、四邊形、圓等基本內(nèi)容.按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,教師在日常教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)、幾何推理能力等.因此,在幾何教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用輔助線解決問題,已經(jīng)成為一種必然.

1.1 構(gòu)建分割型輔助線

在解答初中幾何問題時(shí),構(gòu)建分割型輔助線比較常見.顧名思義,分割型輔助線就是將圖形中已有的兩個(gè)點(diǎn)連接起來,借助所作的輔助線,將原來的圖形進(jìn)行分隔,使其成為新的幾何圖形,并由此產(chǎn)生新的條件,以便于問題求解.

例1如圖1所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC,BD=CE,M是AC邊上的中點(diǎn),求證:DM=ME.

圖1

分析：將線段DM與ME置于兩個(gè)不同的三角形中,借助三角形全等進(jìn)行證明.

證明：如圖2,連接BM.

圖2

∵AB=BC,

∴∠A=∠C.

又M是AC邊上的中點(diǎn),

∴AM=BM=MC.

∴∠MBE=∠C=∠A.

∵BD=CE,

∴AD=BE.

∴△MDA≌△MEB(SAS).

∴DM=ME.

1.2 構(gòu)建延長(zhǎng)型輔助線

延長(zhǎng)型輔助線也是初中幾何中最為常見的輔助線類型之一,即將原來圖形中的某一條線段延長(zhǎng),最終形成一個(gè)新的圖形,以便于問題解答.通常,這種輔助線應(yīng)用在特征不甚明顯的幾何題目中,無論是連接兩點(diǎn),或者作垂線,學(xué)生都很難完成解答.此時(shí),就可選擇延長(zhǎng)型輔助線,構(gòu)建出新的圖形,引出新的數(shù)量關(guān)系.

例2如圖3所示,已知AD+BC=2,AB=CD=2,∠A=60°,求四邊形ABCD的面積.

圖3

分析：本題無論是連接BD,還是連接AC都難以解答.面對(duì)這一現(xiàn)狀,可選擇構(gòu)建延長(zhǎng)型輔助線的方式進(jìn)行解答.

解：如圖4,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使得AE=AB,連接BE,BD.

圖4

∵∠A=60°,AE=AB,

∴△ABE為等邊三角形.

∴BE=AB=CD=2.

又AD+BC=2,AD+DE=2,

∴BC=DE.

∴△DBC≌△BDE(SSS).

1.3 構(gòu)建平移型輔助線

平移型輔助線在初中幾何解題中也尤為常見.具體來說,平移型輔助線就是在原有的圖形中,針對(duì)某條線段展開平移,使其成為輔助線,最終形成新的圖形,并構(gòu)造出新的條件關(guān)系等,以便于更好地解題.

例3如圖5,已知直角梯形ABCD,CD∥AB,∠A=90°,AB=12,BC=10,AD=8,求CD的長(zhǎng)度.

圖5

分析：?jiǎn)渭兊亟Y(jié)合圖形,以及題目中所給出的條件和數(shù)量關(guān)系,很難求出CD的值.鑒于本題的特征,可采用平移型輔助線的方式求解.

解：如圖6,過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.

圖6

又CD∥AB,

∴四邊形CDEB為平行四邊形.

∴CD=BE,BC=ED=10.

在Rt△ADE中,由勾股定理得AE=6.

∴CD=BE=AB-AE=6.

1.4 構(gòu)建對(duì)稱點(diǎn)型輔助線

在初中幾何題目中,對(duì)稱點(diǎn)常常是解題的關(guān)鍵.當(dāng)題目中已有的條件無法滿足解題需求時(shí),即可發(fā)揮對(duì)稱點(diǎn)的價(jià)值,以此切入點(diǎn)構(gòu)建輔助線,進(jìn)而構(gòu)建出新的條件和數(shù)量關(guān)系,最終完成題目的解答.

圖7

∵∠C=90°,AC=1,

∵∠D′AC=∠A′=∠B=30°,

1.5 構(gòu)建中點(diǎn)型輔助線

在幾何題目中,中點(diǎn)型輔助線也很常見,尤其是當(dāng)題目中出現(xiàn)了“中線”“中點(diǎn)”等條件時(shí),就可通過三角形、梯形的中位線定理,構(gòu)建相關(guān)的輔助線,最終實(shí)現(xiàn)題目的解答.

例5如圖8所示,已知E,F分別是線段BC,AD的中點(diǎn),且AB=CD,直線BA,EF相交于點(diǎn)G,直線CD,EF相交于點(diǎn)H,證明:∠BGE=∠CHE.

圖8

分析：由于題目中給出了中點(diǎn)E,F,由此可采用中點(diǎn)型輔助線在原來的圖形中構(gòu)造出一個(gè)新的三角形.

證明：如圖9,連接AC,并取AC上中點(diǎn)P,連接PE,PF.

圖9

∵E為BC的中點(diǎn),

又AB=CD,

∴PE=PF.

∴∠PEF=∠PFE.

∵PE∥AB,

∴∠BGE=∠PEF.

同理,得∠CHE=∠PFE.

∴∠BGE=∠CHE.

綜上所述,輔助線是初中幾何解題的“重要利器”,尤其是當(dāng)思路不明、條件不夠時(shí),只要作出一條簡(jiǎn)單的輔助線,就能順利找到解決問題的“突破口”.同時(shí),掌握輔助線在解題中的應(yīng)用,也是學(xué)生在潛移默化中逐漸形成的.因此,教師在日常教學(xué)中,應(yīng)結(jié)合不同類型的題目,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)輔助線進(jìn)行歸類總結(jié),幫助學(xué)生掌握不同類型輔助線的應(yīng)用條件,以便于在日后做題中,能夠結(jié)合不同類型的題目,迅速、正確作出輔助線,最終完成題目的解答.