? 江蘇省蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 陳 惠

近幾年各地的中考數(shù)學(xué)試題中,出現(xiàn)了一些設(shè)計(jì)新穎、貼近生活、反映時(shí)代特點(diǎn)的函數(shù)應(yīng)用題.實(shí)際問題來源于生活,這些問題的解答要依賴于眾多的數(shù)學(xué)思想和答題技巧.如函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,其中轉(zhuǎn)化思想貫穿解題的始終[1].具體來說,就是把具體實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題,把眾多的變量(未知量)轉(zhuǎn)化成用一個(gè)變量(或已知量)來表示,把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單問題.

1 題型一:利用一次函數(shù)求最值類實(shí)際應(yīng)用題

獲取最大利潤(rùn)問題就是求函數(shù)的最值類問題,解決這類題的實(shí)質(zhì)就是建立數(shù)學(xué)模型和求解數(shù)學(xué)模型的思維活動(dòng)過程.主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,將實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題相互轉(zhuǎn)化,使問題得以解決,解題思路如圖1:

例1(2022年江蘇省蘇州市中考試題第25題)某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果,兩次購(gòu)進(jìn)水果的情況如表1所示:

表1

(1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià);

(2)銷售完前兩次購(gòu)進(jìn)的水果后,水果店決定第三次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共200 kg,且投入的資金不超過3 360元．將其中的mkg甲種水果和3mkg乙種水果按進(jìn)價(jià)銷售,剩余的甲種水果以17元/kg、乙種水果以30元/kg的價(jià)格銷售．若第三次購(gòu)進(jìn)的200 kg水果全部售出后,獲得的最大利潤(rùn)不低于800元,求正整數(shù)m的最大值.

解析：(1)設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)為a元/kg,乙種水果的進(jìn)價(jià)為b元/kg．

(2)設(shè)水果店第三次購(gòu)進(jìn)甲種水果xkg,則購(gòu)進(jìn)乙種水果(200-x)kg.

根據(jù)題意,得12x+20(200-x)≤3 360,解得x≥80.

設(shè)所得利潤(rùn)為w元,則w=(17-12)×(x-m)+(30-20)×(200-x-3m)=-5x-35m+2 000.

當(dāng)x=80時(shí),w取得最大值-35m+1 600.

所以正整數(shù)m的最大值為22．

評(píng)析：本題主要考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上,找出等量關(guān)系,列出相應(yīng)的二元一次方程,寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式,再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

2 題型二:二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用題

這類問題綜合性較強(qiáng),既考查學(xué)生對(duì)各種幾何圖形、二次函數(shù)性質(zhì)等的掌握情況,又側(cè)重考查學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手操作能力.解決這類問題主要是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,因此熟練掌握各種轉(zhuǎn)換技巧顯得十分重要.

例2(2022年江蘇省揚(yáng)州市中考試題第27題)如圖2是一塊鐵皮余料,將其放置在平面直角坐標(biāo)系中,底部邊緣AB在x軸上,且AB=8 dm,外輪廓線是拋物線的一部分,對(duì)稱軸為y軸,高度OC=8 dm．現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割.

圖2

(1)若切割成正方形,要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大,求此正方形的面積;

(2)若切割成矩形,要求一邊在底部邊緣AB上且周長(zhǎng)最大,求此矩形的周長(zhǎng);

(3)若切割成圓,判斷能否切得半徑為3 dm的圓,請(qǐng)說明理由.

圖3

(2)如圖4所示,矩形DEFG為符合題意的矩形.設(shè)DE=2n,則E(n,0)(0

圖4

故當(dāng)n=2時(shí),矩形的周長(zhǎng)最大,最大值為20 dm.

圖5

所以,能切得半徑為3 dm的圓．

評(píng)析：本題考查了二次函數(shù)與正方形、矩形、圓等幾何圖形相結(jié)合的綜合性問題,突出實(shí)踐操作能力.熟練掌握各圖形的性質(zhì),能靈活運(yùn)用坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.

3 題型三:二次函數(shù)的探索性問題

探索性問題是指根據(jù)已知條件(或給出的結(jié)論),探求相應(yīng)結(jié)論(或條件)是否存在的一類問題.這類問題的解題思路是:假設(shè)存在—分類演繹推理—得出結(jié)論(合理或矛盾).

圖6

(1)設(shè)CF=x,用含有x的代數(shù)式把Rt△AEP,Rt△PFB及矩形ECFP的面積表示出來;

(2)是否存在這樣的點(diǎn)P,使Rt△AEP,Rt△PFB及矩形ECFP的面積都小于4?

評(píng)析：本題考查了由給出結(jié)論探究點(diǎn)P的存在性問題.題中滲透了函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想方法.由于圖形(點(diǎn)、線)的位置不同,會(huì)使結(jié)論產(chǎn)生多種情況,這時(shí)就要分類討論,從面積相等的特殊情形到面積不等的一般情形.

運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決與函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題,具有“化陌生為熟悉、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化抽象為具體”的巨大優(yōu)越性[2],能夠幫助我們理清解題思路,快速找到解題的突破口,從而降低題目的難度系數(shù),引領(lǐng)我們走出解題困境.