1 一題多解強(qiáng)能力

解題就是對(duì)提出的問(wèn)題進(jìn)行解答的過(guò)程，是一種將未知問(wèn)題化為已知問(wèn)題的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程需要針對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納整理轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將難懂問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已把握問(wèn)題，這更需要進(jìn)行數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，也需要在宏觀與微觀之間進(jìn)行等價(jià)變化.解題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中表現(xiàn)最為突出的一種能力，數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用更是能力的一種著重體現(xiàn).對(duì)有些問(wèn)題，如果能采用多種方法進(jìn)行滲透解答，于學(xué)生而言是一種強(qiáng)能力的體現(xiàn).

例題1如圖1所示，已知∠MON=120°，P，A分別為射線OM和射線ON上的動(dòng)點(diǎn)，將射線PA繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交射線ON于點(diǎn)B，試求OAAB的最大值.

解法1：考慮到問(wèn)題情境中只有兩個(gè)已知角度∠MON和∠BPA，此時(shí)根據(jù)對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的把握和經(jīng)驗(yàn)了解到可以用圓的知識(shí)來(lái)解答，故考慮利用“隱圓”來(lái)突破，如圖2.

以PB為底作等腰三角形BDP且PD＝BD，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥射線PD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥PD于點(diǎn)C，可得∠BPA＝∠PBD＝30°，求得∠BDP＝120°，∠BDH＝60°，推出點(diǎn)P，O，D，B在以點(diǎn)E為圓心的圓上，當(dāng)OE⊥PD時(shí)，OC的值最大.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得OAAB=OCBH.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得∠EPB＝∠EBP＝30°，求得PD＝2PC，得到OC＝OE-EC＝PD-32PD，則BH＝BD[J]5sin∠BDH＝32BD＝32PD，于是得到OAAB的最大值為233-1.

解法2：根據(jù)問(wèn)題情境，考慮到求OAAB的比值問(wèn)題，此時(shí)可以聯(lián)想相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比值問(wèn)題，故可構(gòu)造相似三角形進(jìn)行解答.

要使OAAB最大，只要ABOA最小，則可以得到ABOA+1最小，即OBOA的值就最小，若OB為定值，則OA最大即可滿足要求.

根據(jù)∠BPA=30°，可以利用“一線三等角”模型構(gòu)造相似三角形.如圖3，在射線OM上作OC=OB，再作AF⊥OB于點(diǎn)A，根據(jù)條件可得∠AFO=30°，

則可以得到△BCP∽△PFA，

此時(shí)可令OC=OB=1，再設(shè)AO=a（0＜a＜1），CP=b，則可得到BC=3，OP=1-b，OF=2a，AF=3a.根據(jù)BCPF=CPFA，得到31－b+2a=b3a，建立關(guān)于b的一元二次方程，因有解，可利用Δ≥0解得a≤1－32，得到OA的最大值，即得OAAB的最大值為233-1.

解法3：如果我們轉(zhuǎn)化解題思路，將題干中的動(dòng)點(diǎn)P，B固定，讓點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)A也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E為定點(diǎn)，作BC⊥PA，垂足為點(diǎn)C，可知BC長(zhǎng)度始終不變，此時(shí)∠BOP=120°也始終不變，

故可作△POB的外接圓Q，如圖4，作OD⊥AP，垂足為點(diǎn)D，此時(shí)設(shè)PQ=BQ=2m，則PB=23m，可得BC=3m，根據(jù)△OAD∽△BAC，得到OAAB=ODCB=OD3m.當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到PE的中點(diǎn)時(shí)，OD最大，此時(shí)值為2m－3m，可得答案.

2 一題多變提素養(yǎng)

題海無(wú)邊，我們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的把控，不能純粹通過(guò)做題去達(dá)成，這樣也根本達(dá)不成我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的.但是如果借助一種題的學(xué)習(xí)，通過(guò)變通，不斷變換問(wèn)題的模型，或通過(guò)改變條件或結(jié)論進(jìn)行一題多變，從而挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題變通能力，追本溯源，可以培養(yǎng)學(xué)生觸類(lèi)旁通、舉一反三的解題能力，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例題2如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與一次函數(shù)y＝mx+c（m為常數(shù)，且m≠0）的圖象分別相交于點(diǎn)C（0，3）和E，直線CE與x軸交于點(diǎn)D（4，0）.

顯然，根據(jù)題意可以直接求得二次函數(shù)的解析式及其對(duì)稱(chēng)軸；再根據(jù)上述條件將問(wèn)題進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，編制出更多種類(lèi)型的問(wèn)題：

變式1若P是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，則連接AC，PA，PC，△PAC的周長(zhǎng)能否取得最小值？若能，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式2若Q是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，則連接QC，QE，△QCE的面積能否取得最大值？若能，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并求出面積的最大值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式3若M是平面直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)，且與點(diǎn)A，C兩點(diǎn)組成等腰三角形，試求點(diǎn)M的坐標(biāo).

變式4若N是平面直角坐標(biāo)系上任一點(diǎn)，且與點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，試求點(diǎn)N的坐標(biāo).

變式5若G是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，是否存在∠GCE=∠ACO？若存在，試求點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

這樣我們可以結(jié)合某一道試題的背景，展開(kāi)綜合性的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生能夠在一題多變中尋求突破的方法與思想，輕松把握問(wèn)題的解答思路，從而在數(shù)學(xué)素養(yǎng)上得到提升.

3 多題歸一探本質(zhì)

在數(shù)學(xué)問(wèn)題探究過(guò)程中，真正讓學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練，尋求一種簡(jiǎn)單模型，進(jìn)而通過(guò)模型的把握，掌握一系列問(wèn)題的通解，把握知識(shí)的系統(tǒng)化與大框架思路，能更好地引導(dǎo)思維走向深刻、能力更加創(chuàng)新發(fā)展，甚至通過(guò)模型的初步類(lèi)比遷移，提煉“歸一”，能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變，讓問(wèn)題真正在歸一的道路上扎根發(fā)芽，這樣才能引導(dǎo)學(xué)生走上數(shù)學(xué)王國(guó)的寶殿.

例如下面的幾種類(lèi)型問(wèn)題，我們?cè)诮獯疬^(guò)程中發(fā)現(xiàn)都涉及到了一種模型，模型一旦建立，問(wèn)題便迎刃而解.

問(wèn)題1如圖6，一次函數(shù)y＝-2x+2的圖象與y軸，x軸分別交于A，B兩點(diǎn).將直線AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l，求直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

點(diǎn)撥：我們發(fā)現(xiàn)題目中有45°特殊角，如何利用這個(gè)特殊角度是解題的關(guān)鍵.此時(shí)可過(guò)點(diǎn)B作BH垂直直線l，再利用點(diǎn)A，H分別作坐標(biāo)軸的垂線，構(gòu)造矩形AMNO，如圖7所示，問(wèn)題就變得容易突破.

問(wèn)題2如圖8，請(qǐng)你用無(wú)刻度直尺作出△ABC的高BF.

點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}要求過(guò)點(diǎn)B作一條直線垂直AC即可，但是如何找到點(diǎn)F有一定難度，且還需要說(shuō)明理由.根據(jù)AC所在的位置，可以構(gòu)造一個(gè)3×4的直角三角形，此時(shí)利用“一線三等角”，在BC下方也構(gòu)造一個(gè)直角三角形，從而形成“一線三直角”，問(wèn)題得解，如圖9.

問(wèn)題3如圖10，A，C分別是等邊三角形DEF邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足CD=12AE，連接AC，再以AC為邊在△DEF內(nèi)部作等邊三角形ABC，連接BF，點(diǎn)A在線段ED（不與點(diǎn)D重合）上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試判斷∠CFB的度數(shù)變化情況？并說(shuō)明理由.

點(diǎn)撥：如圖11，在CF上取一點(diǎn)N，使得FN＝DC.證明△ADC≌△CNB（SAS），推出BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，可得∠CFB＝30°為定值.

當(dāng)然，相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究不只這幾種類(lèi)型，更多的是從本文中獲得一種數(shù)學(xué)能力提高、素養(yǎng)提升的方式，讓學(xué)生在解題過(guò)程中多思考，多研究，共探究，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題最終“歸一”，突破瓶頸，回到問(wèn)題本質(zhì)上來(lái).