引言：

同學(xué)們平時(shí)在美術(shù)課、勞技課經(jīng)常會(huì)開展有趣的折紙活動(dòng)，今天，我們一起來(lái)探究數(shù)學(xué)中的折紙問(wèn)題.

1 探索并證明

問(wèn)題1請(qǐng)同學(xué)們利用長(zhǎng)方形紙片跟著老師的步驟一起折紙，你能發(fā)現(xiàn)折出的三角形是一個(gè)等腰三角形嗎？你能說(shuō)明它為什么是一個(gè)等腰三角形嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作，折出三角形，然后小組內(nèi)交流.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)折紙得到一個(gè)等腰三角形，為探索主要內(nèi)容作準(zhǔn)備.

問(wèn)題2對(duì)于剛才的實(shí)驗(yàn)探究，你能通過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理證明這個(gè)結(jié)論嗎？

（1）你能根據(jù)結(jié)論畫出圖形，寫出已知和求證嗎？

（2）結(jié)合所畫圖形，你認(rèn)為證明△ABD是等腰三角形的思路是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)結(jié)論畫出圖形，寫出已知和求證，并在教師設(shè)置的問(wèn)題串的啟發(fā)下獲得證明思路，即要證明兩條邊相等，只需要證明兩個(gè)角相等即可.教師在黑板板書過(guò)程.

引例1如圖1，AD∥BC，BD平分∠ABC.

求證：AB=AD.

證明：∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠ADB.

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC.

∴∠ABD=∠ADB.

∴AB=AD.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過(guò)渡.

追問(wèn)：如果將引例1的結(jié)論與題目中的任意一個(gè)條件互換，命題還成立嗎？你能證明嗎？

變式1已知AD∥BC，AB=AD，求證：BD平分∠ABC.

變式2已知BD平分∠ABC，AB=AD，求證：AD∥BC.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成變式的證明，教師請(qǐng)學(xué)生口述證明過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生意識(shí)到三者的關(guān)系是，已知其中兩個(gè)可以推導(dǎo)第三個(gè).

問(wèn)題3上面的引例中是已知AD∥BC，那如果過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD，會(huì)產(chǎn)生等腰三角形嗎？

（1）你能畫出圖形，寫出已知和求證嗎？

（2）你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

師生活動(dòng)：按照引例1的思路，學(xué)生自主畫出圖形，寫出已知和求證，并獨(dú)立完成證明.然后由學(xué)生口述證明過(guò)程，教師在黑板板書.

引例2如圖2所示，已知AE∥BD，BD平分∠ABC，求證：AB=BE.

證明：∵AE∥BD，

∴∠CBD=∠AEB，

∠ABD=∠EAB.

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC.

∴∠AEB=∠EAB.

∴AB=BE.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步探索三者之間的關(guān)系，引例1是平行于角的一邊得到等腰三角形，引例2是平行于角平分線得到等腰三角形.

追問(wèn)：類比引例1和引例2中的結(jié)論，與題目中的一個(gè)條件互換，結(jié)論是否還成立？你能證明嗎？請(qǐng)同學(xué)們課后思考，并證明.

變式1已知AE∥BD，AB=BE，求證：BD平分∠ABC.

變式2已知BD平分∠ABC，AB=BE，求證：AE∥BD.

設(shè)計(jì)意圖：由于證明方法和引例1一樣，因此這里主要是提醒學(xué)生學(xué)會(huì)用類比的思想解決問(wèn)題.

問(wèn)題4通過(guò)引例1和引例2的學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論，你有何收獲？

師生活動(dòng)：（1）學(xué)生回答——在具體數(shù)學(xué)問(wèn)題中，等腰三角形、角平分線、平行線存在一定的聯(lián)系，往往是題目中出現(xiàn)其中兩個(gè)條件，就可以推導(dǎo)第三個(gè)，也就是“知二推一”

（2）教師引導(dǎo)——在引例1和引例2的探索中，等腰三角形、角平分線、平行線是通過(guò)找相等的角來(lái)建立它們之間的聯(lián)系的，所以在解題中找相等的角是關(guān)鍵.

2 鞏固練習(xí)

（1）口答題：找出下列各圖中的等腰三角形.

①如圖3，已知AD平分∠BAC，EF∥AC;

②如圖4，已知AD平分∠BAC，CE∥AB.

③如圖5，已知AD平分∠BAC，AD∥CE.

（2）填空題：

①如圖6，已知AD平分∠BAC，G為AB的中點(diǎn)，過(guò)G作EF∥AD交CA延長(zhǎng)線于E，交BC于F，若AB=6，則AE=.

②如圖7，已知△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則EF與BE，CF的之間的數(shù)量關(guān)系是.

③如圖8，若△ABC中∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則EF與BE，CF間的數(shù)量關(guān)系是.

思考：如果過(guò)△ABC的兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)作平行線，自己畫出圖形，你能得到什么結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，相互補(bǔ)充，并說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖：口答題是鞏固引例1和引例2的解題方法，比較簡(jiǎn)單；填空題是利用結(jié)論求線段長(zhǎng)，探索線段間的數(shù)量關(guān)系.

3 典型例題

例1如圖9，已知AD是△ABC的角平分線，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使得DE=AE，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于點(diǎn)F，連接DF，若∠ABE=80°，求∠FDC的度數(shù).

師生活動(dòng)：學(xué)生分析題中條件和解題思路：本題的關(guān)鍵是通過(guò)已知條件找到隱藏的等腰三角形AFD，再聯(lián)系已知條件中的AD是角平分線，得到FD∥AB，進(jìn)而求出答案.教師引導(dǎo)，學(xué)生解答，一名學(xué)生板書，師生共同交流.

例2如圖10，已知CD=CE，∠ACE=∠B，M為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB交AD于點(diǎn)N，求證：EN=ND.

師生活動(dòng)：學(xué)生分析題中條件和解題思路，明確本題的關(guān)鍵是通過(guò)已知條件找到隱藏的角平分線，即AD平分∠BAC，再聯(lián)系已知條件中的MN∥AB，得到△AMN是等腰三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題.

例3如圖11，已知AD是△ABC的角平分線，E為BC上一點(diǎn)，且滿足BD=DE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交AD于點(diǎn)F.

求證：AB=EF.

課后思考：例3中由已知條件找不到需要的等腰三角形、角平分線或者是平行線，該如何處理？（學(xué)生想到作輔助線構(gòu)造.）

設(shè)計(jì)意圖：前面的鞏固練習(xí)題的條件中能找到已知的等腰三角形、角平分線或平行線，學(xué)生很自然把它們聯(lián)系起來(lái)；而例1、例2的題目已知條件中沒有明顯的等腰三角形、角平分線或平行線，此時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)已知條件挖掘隱藏條件.例3是在隱藏條件也沒有的情況下，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造等腰三角形、平行線或者角平分線來(lái)解決問(wèn)題.

4 小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

（2）等腰三角形、角平分線、平行線三者間的關(guān)系是如何建立的？

（3）具體解題中，如果已知條件中沒有明顯的等腰三角形、角平分線或平行線，該怎么辦？隱藏條件也找不到該怎么辦？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容和研究方法，把握本節(jié)課的核心是等腰三角形與角平分線、平行線相關(guān)的問(wèn)題，體會(huì)找相等的角對(duì)建立三者之間關(guān)系的作用.