溫春奎

(梅河口市第五中學(xué) 吉林 通化 135000)

“等效重力”是等效思維在解題過程中的具體應(yīng)用，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有效途徑.用這種方法求解帶電小球在勻強電場中的運動問題會收獲意想不到的效果,即把生疏的復(fù)合場問題轉(zhuǎn)化為熟知的重力場問題，使解題思路更加暢通.

1 求解勻強電場中的拋體運動問題

【例1】如圖1所示，在場強為E,水平向右的勻強電場中，以初速度v0豎直向上拋出一個質(zhì)量為m，電荷量為+q的帶電小球，求：(1)小球在運動過程中的最小速度;(2)從拋出到速度最小經(jīng)歷的時間(空氣阻力不計).

圖1 圖2

解析：小球在運動過程中受重力mg和電場力Eq(恒力)的作用，把這兩個力的合力作為“等效重力” ，該問題就轉(zhuǎn)化為重力場中的斜上拋運動，可用運動分解的方法求解.

v=vx=v0sinθ

由圖2可得

所以，最小速度為

(2)當(dāng)vy=0時，由vy=v0cosθ-at得

所以，從拋出到速度最小經(jīng)歷的時間為

該題的常規(guī)解法是建立正常的坐標(biāo)系，將小球的運動分解為水平向右的勻加速直線運動和豎直上拋運動，當(dāng)合速度與合力垂直時速度最小(這個條件學(xué)生不易想到).這樣解比上述解法繁瑣很多，這里不再贅述.

2 求解勻強電場中圓周運動的臨界問題

【例2】如圖3所示，在豎直平面內(nèi)有E=1.0×104N/C的水平向右的勻強電場. 一個質(zhì)量為m= 0.04 kg,電荷量為q=3×10-5C的小球，用長為R=0.4 m的細繩拴住，懸掛在電場中的O點，當(dāng)小球靜止時處于圖中的A點.為使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動，在A點至少給小球多大的初速度？

(取g=10 m/s2)

圖3

解析：該題是重力場中圓周運動臨界問題的進一步演變.如果把重力和電場力的合力看成一個力,即“等效重力”,小球就只受“等效重力”和繩的拉力.不同的是臨界點的位置發(fā)生變化，這是問題的關(guān)鍵.

設(shè)“等效重力”的大小為F,則

方向與豎直方向夾角為θ,且

得

θ=37°

A點為“等效最低點”,B點為“等效最高點”,能到達B點就能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動.到達B點時有

TB=0時,vB最小,且

從A到B由動能定理得

解得

vA=5 m/s

即為最小速度.

如果本題不用“等效重力”的方法，“等效最高點”將無法體現(xiàn)，誤把C點當(dāng)做“最高點”，這是學(xué)生易犯的錯誤.

拓展：當(dāng)vA=5 m/s時，求小球運動到C,D和A點時繩對小球的拉力分別是多大.

(1)從B到C,根據(jù)動能定理得

解得

在C點，根據(jù)牛頓第二定律得

(電場力對向心力沒有貢獻，不用“等效重力”簡單)

解得

TC=0.3 N

(2)從B到D，根據(jù)動能定理得

解得

在D點，根據(jù)牛頓第二定律得

(重力對向心力沒有貢獻，不用“等效重力”簡單)

解得

TD=2.4 N

(3)運動到A點時，根據(jù)牛頓第二定律得

(重力和電場力對向心力都有貢獻，用“等效重力”簡單)

解得

TA=3.0 N

變式訓(xùn)練：如圖4所示,把小球穿在半徑為R=0.4 m的光滑圓環(huán)上，并把圓環(huán)固定在豎直面內(nèi)，其他條件不變，求：(1)在A點至少給小球多大的初速度才能使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動;(2)把小球從最高點C由靜止釋放，小球在運動過程中的最大速度;(3)把小球從A點拉開一段很小的距離并由靜止釋放，求小球運動到A點所用時間.

圖4

解析：(1)“等效最高點”為B點，“等效最低點”為A點，但圓環(huán)既可以“拉”球也可以“支”球，因此，小球到B點時的最小速度可以為零，這是與原題不同之處.

從A到B，根據(jù)動能定理得

解得

(2)因為A點為“等效最低點”所以，小球運動到A點時速度最大.從C到A，根據(jù)動能定理得

解得

(3)小球釋放后，在A點兩側(cè)往復(fù)運動，由于拉開的距離很小(遠小于R),小球的運動可等效為單擺.“等效擺長”為L=R,“等效重力加速度”為g′,可由“等效重力”求得

從釋放到A點所用時間為

3 求解勻強電場中單擺的周期

(1)擺球帶+q(-q) ,勻強電場豎直向下(上)，場強大小為E, 則“等效重力”為

mg′=mg+Eq

方向豎直向下，如圖5所示.

“等效重力加速度”大小為

所以

平衡位置不變，周期變小.

(2)擺球帶+q(-q),勻強電場豎直向上(下)，Eq

mg′=mg-Eq

“等效重力加速度”為

所以

平衡位置不變，周期變大，如圖6所示.

圖5 圖6

Eq>mg時 ,“等效重力”為

mg′=Eq-mg(豎直向上)

等效重力加速度為

所以

平衡位置在懸點正上方(倒掛)，如圖7所示.

圖7 圖8

(3)如圖8所示,勻強電場為水平方向時，“等效重力”為

“等效重力加速度”為

所以

平衡位置在“等效最低點”A.

上述實例表明，帶電小球在勻強電場中運動時受到的電場力(恒力)和重力的合力可等效為一個力即等效重力，等效重力與質(zhì)量的比值即等效重力加速度.等效重力的方向決定等效重力加速度的方向及等效最高點和等效最低點的位置.這對解題非常重要.