廣東深圳市坪山區(qū)坑梓中心小學 （518118） 王銳利

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《2022 年課程標準》）延續(xù)了《義務教育數學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱《2011 年課程標準》）對領域的分類，仍為“數與代數”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四個領域。在“數與代數”領域，《2022 年課程標準》將《2011 年課程標準》的“數的認識”和“數的運算”兩個主題整合為“數與運算”主題，這樣“數的運算”就從之前的單獨主題調整為“數與運算”主題中的子主題。

加、減、乘、除四則運算是義務教育數學課程內容的重要組成部分，承擔著培養(yǎng)學生用數學的眼光觀察現(xiàn)實世界的育人價值，有助于培養(yǎng)學生的數感、運算能力和推理意識。以北師大版教材編排為例，教材對“數的運算”的編排常以自然單元呈現(xiàn)。例如，100 以內的整數加減法就是分為6 個相互銜接的單元，編排在一年級上、下兩冊教材中。

那么，在組織“數的運算”單元教學時，教師要如何凸顯“數與運算”主題的結構化特征，從而實施“數的運算”單元整體教學呢？

一、從“數與運算”主題整合的視角分析“數的運算”

“數與運算”包括整數、分數和小數的認識及相應的加、減、乘、除四則運算。學生對整數、分數和小數的認識主要依托生活情境，并由此理解數的意義。數的運算需要以數的意義、運算的意義和運算律為基礎。

1.結構化視角“研究對象+”的內涵與價值

將“數的認識”與“數的運算”整合為一個主題，可以凸顯兩者的緊密性。數的運算是在數的認識基礎上的結構化表達，形式上是基于抽象的結構，可以表述為“研究對象+”。其中，“研究對象”可理解為數的概念，也就是整數、分數和小數?；谘芯繉ο蟮摹?”則指的是整數、分數、小數各自的意義、性質、四則運算方法和混合運算方法，以及它們之間的聯(lián)系。史寧中教授認為，這樣的主題調整可使相同學科本質的內容更具結構化，凸顯學科核心內容的穩(wěn)定性，強化內容的整體性和結構性，體現(xiàn)學科內容本質。

2.數的概念與運算的一致性

《2022 年課程標準》指出：“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識?！睌档倪\算的重點在于理解算理、掌握算法，算法是對算理的抽象概括，對算理的理解最終都要追溯到數的意義和運算的意義上。

從數的意義上分析，整數、小數和分數的概念本質都是計數單位的累加。例如：23.5是由十位上的2 個計數單位“十”、個位上的3 個計數單位“一”和十分位上的5個計數單位“0.1”組成的；分數是由5 個計數單位組成。從運算的意義上分析，所有的運算都可以還原成加法（減法是加法的逆運算，乘法是求幾個相同數字相加的簡便運算，除法是求減去幾個相同的數字的簡便運算），可見加法是所有運算的基礎。從抽象運算算法的角度分析，所有運算均可還原為計數單位與計數單位，以及計數單位上的數字（計數單位的個數）與計數單位上的數字的運算。例如，。理解了數的概念本質和運算的意義（見表1），有助于學生提煉“數的運算”單元大概念，挖掘知識內部之間的聯(lián)系，體會數的概念與運算的一致性。

表1 數的概念本質和運算的意義

二、“數的運算”單元整體教學的原則

1.概念本質和算法的一致性

“數的運算”自然單元教材的編排是基于相同研究對象結構化的呈現(xiàn)，隱含數的概念的一致性：同一單元課時均聚焦于相同的研究對象，前后課時關于運算的方法也存在一致性。

例如，一年級下冊“加與減（三）”單元中，學生主要學習兩位數的進位加法和退位減法，解決“兩位數加一位數的進位加法（28+4）”“兩位數加兩位數的進位加法（38+17）”“兩位數減一位數的退位減法（30-7）”和“兩位數減兩位數的退位減法（40-28）”四個問題。學生在探索解決第一個問題“28+4”的過程中，逐步明白其算理是將相同數位上的計數單位相加，即兩位數“28”十位上的數字“2”不變，只需將個位上的數字“8”和“4”相加得12，滿十進一，結果為32。教師強調“相同的計數單位相加”和“滿十進一”的意義，有助于學生進一步探索解決“38+17”“30-7”和“40-28”三個問題。

2.基本活動經驗的一致性

數學活動經驗是學生在探索與學習活動中所形成的感性意識和個性化感受。學習活動經驗有助于學生探索算理并提煉算法，是學生個性化理解算理、掌握算法的基礎。教師在設計“數的運算”單元整體教學時，要充分考慮單元內活動經驗的可遷移性和一致性。

例如，三年級下冊“除法”單元中，學生要學習并掌握兩位數、三位數除以一位數的計算方法，依次解決“兩位數除以一位數”“三位數除以一位數、商是三位數（包括被除數中沒有0 和有0 的情況）”“三位數除以一位數、商是兩位數”和“除法的驗算”等問題。分析本單元的知識結構，筆者發(fā)現(xiàn)在第一課時“兩位數除以一位數”的探索活動中，教材借助實物圖、小棒、除法豎式等多樣化表征“平均分物”的過程，使學生積累了用不同抽象水平的方式解決平均分問題的經驗，掌握了兩位數除以一位數的算法，也為繼續(xù)學習其他平均分問題和包含除問題奠定了經驗基礎。通過遷移、類比兩位數除以一位數的直觀操作經驗或者抽象的算式表達方式來解決更復雜的平均分問題和包含除問題，凸顯了學生對該單元認知經驗的一致性，有助于學生構建結構化的單元知識體系。

3.數學思維方式及其抽象水平的一致性

數學在培養(yǎng)人的思維方面有著不可替代的作用，在不同領域和主題中都有相應的思維方式，不同的思維方式之間呈現(xiàn)不同層級的抽象水平。通常，同樣的思維方式會在同一個“數的運算”單元中反復出現(xiàn)，體現(xiàn)了數學思維方式的一致性。

例如，四年級下冊“小數的意義和加減法”單元中，學生先學習小數的意義，再探索小數加減法運算（1.25+2.41）。教師要怎樣引導學生理解算理、概括算法，感悟“小數加減法計算中小數點要對齊”的道理呢？在經歷借助“元、角、分模型”等實物表示小數—脫離實物借助面積模型理解小數—用小數的計數單位理解小數的意義三個過程后，學生可能出現(xiàn)三種抽象水平的思維方式：一是仍然借助“元、角、分模型”，將相同面值的人民幣擺放在一起，得到計算結果；二是借助面積模型“百格圖”表示小數1.25 和2.41，直觀表征小數的意義，進而得出計算結果；三是根據小數的概念，通過相同計數單位相加來嘗試兩位小數的加減法豎式計算。本單元在解決兩位小數進位加法和退位減法計算問題時，將繼續(xù)遷移使用相同抽象水平的思維方式。

三、基于結構化的“數的運算”單元整體教學實施步驟

指向學科核心素養(yǎng)的單元整體教學設計應按單元整體教學模型指導教學。邵朝友教授和崔允漷教授認為，實施大觀念統(tǒng)領下的單元整體教學包括“確定核心素養(yǎng)”“確定大觀念等既有目標”“形成一致性目標體系”“設計單元評價方法”和“圍繞主要問題創(chuàng)設學習活動”五個關鍵行動。馬云鵬教授深刻分析了基于主題的大單元整體教學，認為基于主題的大單元整體教學有“提煉核心概念，形成系列單元”“整體分析單元學習內容和學生學習，確定學習目標”和“針對關鍵內容，設計體現(xiàn)知識與方法遷移的單元整體教學活動”三個關鍵要素，這里的核心概念也就是數學大概念。張丹教授和于國文教研員則提煉出了具體的實施流程（如圖1），他們認為在數學大概念統(tǒng)領下實施促進理解與遷移的單元整體教學需依照教學模型。

圖1 大概念統(tǒng)領下的單元教學實施流程

分析發(fā)現(xiàn)，許多專家均將單元教學方案設計聚焦在“確定學科核心素養(yǎng)”“確定大概念”“明確單元學習目標”“形成單元關鍵問題”“設計系列單元學習任務”和“設計匹配的單元體系”等重要元素上。

1.從結構化主題提煉大概念

提煉核心大概念是實施單元整體教學的關鍵。如何提煉大概念是一直以來困擾教師的現(xiàn)實問題，究其原因是國內外關于大概念的本質與內涵的理解未達成一致，具體可以從“學科本質”“專家思維”“生活價值”“高通路的遷移”等不同方面進行闡述。

為便于小學數學教師提煉大概念，實施單元整體教學，馬云鵬教授建議在聚焦數學學科結構化主題內容的前提下提煉數學大概念，這是一種更容易實踐的策略?！皵档倪\算”是“數與運算”的重要組成內容，是基于研究對象“數的概念”的“+”。提煉“數的運算”單元大概念需考慮數的概念本質和運算的意義。從數的概念的一致性上分析，計數單位是構建數的基礎，由計數單位理解整數、小數和分數的構建是關鍵；從運算的意義的一致性上分析，減法、乘法和除法都可以由加法衍生而來。由此可以得到數的概念和運算的一致性的框架（如圖2）。加、減法的一致性體現(xiàn)為相同計數單位的累加（減），乘法的一致性體現(xiàn)為計數單位（計數單位上的數字）與計數單位（計數單位上的數字）相乘，除法的一致性體現(xiàn)為計數單位（計數單位上的數字）與計數單位（計數單位上的數字）相除。

圖2 數的概念與運算的一致性的框架

經過以上分析，筆者發(fā)現(xiàn)計數單位是“數的運算”的單元大概念，延續(xù)到“分數乘法”單元，則是“計數單位與計數單位相乘”“計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘”這兩種情況。

2.明確單元學習目標和學習評價體系

根據威金斯在《追求理解的教學設計（第二版）》的單元設計理念，以目標為導向的逆向設計是最佳的。確定單元學習目標是設計教學的前提，教師在明確單元具體目標后能更有針對性地設計單元整體教學?！?022 年課程標準》將教學內容分為“內容標準”“評價標準”和“教學提示”三個部分，教師確定單元整體教學目標需要以此為基礎。理解為先的教學目標包括遷移目標（T 目標）、理解目標（U 目標）、技能目標（K 目標）。“分數乘法”單元的TUK目標和具體行為表現(xiàn)如表2所示。

表2 “分數乘法”單元TUK目標及具體行為表現(xiàn)

3.確定單元關鍵問題

單元關鍵問題指向單元具體觀念。通過關鍵問題驅動學生深度思考、開展合作與探究，是達成理解目標的關鍵途徑。大概念統(tǒng)領下的單元整體教學的開展需要教師依托單元具體觀念，提出驅動學生思考的關鍵問題。提煉單元關鍵問題可以根據實際情況，采取“于知識遷移中提煉核心問題”“于知識對比中提煉核心問題”和“于學科知識本質中提煉核心問題”等策略。

例如，在五年級下冊“分數乘法”單元中，教師可以引導學生分別從“幾個相同分數相加”和“求一個數（整數和分數兩種）的幾分之幾”兩個不同角度，探索并理解整數乘法和分數乘法的一致性。為了讓學生在對比遷移中體會“求幾個相同整數相加的和”與“求幾個相同分數相加的和”的算法一致性，教師需要提出關鍵問題：“如何求幾個相同分數相加的和?！蓖瑫r為學生提供面積模型圖、方格紙等直觀學具，引導學生理解分數乘法的運算意義、算理并提煉算法。（見表3）

表3 “分數乘法”單元的關鍵問題

4.設計單元核心任務序列

學習任務是學生在關鍵問題和好奇心的驅動下，通過合作探究完成的具體學習活動。學習任務相比關鍵問題而言更加直觀，它是將學生的注意力聚焦在某一個或某一系列問題的具體數學學習活動，是形成并理解單元具體觀念的依托。學習任務具體指導學生需要學習什么，決定了他們怎么思考、發(fā)展和理解數學活動。

例如，在“分數乘法”單元中，教師要為學生創(chuàng)設問題解決和意義構建的學習任務序列（見表4），讓學生在核心問題的引領下明確思考的方向，為學生提供學習的腳手架。

表4 “分數乘法”單元學習任務序列

根據《2022 年課程標準》的理念，“數的運算”是以數的概念為研究對象的“+”，其單元整體教學更加需要注重數的概念與運算的一致性，從而凸顯“數與運算”主題知識的結構化。在實施單元整體教學時，教師要基于核心概念計數單位、運算的意義和數學思想提煉單元大概念，明確單元學習目標和評價體系，提出符合生活情境的關鍵問題及子問題，進而設計出與問題對接的學習任務序列，促使學生的學習真正發(fā)生。