江蘇南京市建鄴區(qū)教師發(fā)展中心 （210000） 范韋莉

“做數(shù)學”是一種具身認知，其價值已被廣泛認可?！白鰯?shù)學”較好融入課堂教學的基礎(chǔ)是對“做數(shù)學”素材的開發(fā)。素材的選擇不僅關(guān)系到學生數(shù)學學習的興趣、動機及對數(shù)學的理解，而且直接影響他們學習潛能的發(fā)揮，決定著學習活動能否生動活潑、富有個性。在基于“做數(shù)學”進行素材開發(fā)時，要重點思考素材開發(fā)的價值、目標以及路徑，也就是明確“為何開發(fā)”“開發(fā)時要注意什么”，更要解決“如何開發(fā)”的根本問題。

一、“做數(shù)學”素材的內(nèi)涵解讀

1.對“做數(shù)學”的理解

“做數(shù)學”是以陶行知“教學做合一”的教育思想為基礎(chǔ)，同時融合了“Hands-on”學習理念、杜威的“從做中學”理念、弗賴登塔爾的再創(chuàng)造思想以及具身認知理論的學習方式。匹茲堡大學在QUASAR研究項目成果中提出，“做數(shù)學”是高認知水平層次的任務，它要求學生探索和理解數(shù)學觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì)，在多種表達形式之間建立聯(lián)系。在小學階段，“做數(shù)學”是指學生利用各種媒介、工具、材料，通過手腦協(xié)同作用的行為理解知識、探究規(guī)律、解決問題?！白鰯?shù)學”具體包括三個要素。

（1）“做”是關(guān)鍵

學生應在學習任務或問題情境中，調(diào)動各種感官參與數(shù)學認知活動，通過觀察、操作、實驗、猜想、計算、推理、歸納及遷移等獲得對抽象數(shù)學概念和數(shù)學原理的直接體驗。

（2）“思”是核心

學生在經(jīng)歷“做思共生”的建構(gòu)活動中，認識“做數(shù)學”的價值，產(chǎn)生有質(zhì)量的對話，經(jīng)歷思維的重組，從而掌握解決問題的一般步驟，掌握基本的數(shù)學方法和創(chuàng)新的學習策略。

（3）“創(chuàng)”是目標

經(jīng)過充分學習，學生能夠自主探索未知的數(shù)學領(lǐng)域，能運用數(shù)學的工具、原理、方法和模型解釋現(xiàn)實生活中的問題，能發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學事實或關(guān)聯(lián)，能創(chuàng)造性地解決各種問題。

2.對“做數(shù)學”素材的理解

從課程的角度看，“做數(shù)學”素材其實就是一種課程資源。數(shù)學課程資源是在數(shù)學課程設計、實施和評價的過程中各種可利用的顯性的素材、隱性的素材、所需要的條件，以及在此過程中生成的各種可加以利用的資源。因此，“做數(shù)學”素材既包括實物、學具、計算器等工具，也包括問題、習題、情境等材料。

二、小學“做數(shù)學”素材的基本特征

為了使學生對“做數(shù)學”產(chǎn)生濃厚的興趣，教師應首先考慮素材的現(xiàn)實性、趣味性和挑戰(zhàn)性；此外，素材還應與學生的生活經(jīng)驗、活動經(jīng)驗緊密相關(guān)，且要適合嵌入數(shù)學問題情境，方便設置探究路徑和空間。具體而言，“做數(shù)學”素材應具有以下基本特征。

1.多元化

“做數(shù)學”要求學生借助學具（如小棒、七巧板、紙片等）或調(diào)動身體（實驗、實踐），以動腦、動手、動口的方式解決問題，從而完成從數(shù)學操作向數(shù)學思維建構(gòu)的升華過程。為豐富建構(gòu)過程，教師應為學生提供多元的學習素材，如小棒、七巧板、紙片等實物素材，習題、問題等文本素材，既可以是常規(guī)素材，也可以是非常規(guī)素材，既可以是實物等操作類素材，也可以是題組、問題等思辨類素材。

例如，圍繞“長方體和正方體”內(nèi)容，筆者開發(fā)了“表面涂色的立方體”活動，提供給學生的素材是問題“一個大長方體，表面涂色后切開成若干塊相同的小正方體，其中三面涂色的小正方體有6 塊，這樣的長方體長什么樣？”。

在此之前的學習中，學生接觸到的此類切立方體問題中，三面涂色的小正方體都在大長方體的頂點處，大長方體有8 個頂點，因此三面涂色的小正方體有8 個。然而，上述提供的素材中三面涂色的小正方體卻只有6 個，這與學生已有認知發(fā)生了沖突。這種沖突會引發(fā)學生的思考，當原有的經(jīng)驗無法解決問題時，學生會借助小正方體這一直觀的幾何模型，通過動手操作、空間想象等方式來擺脫思維定式，將解決問題的過程具體、形象地表達出來。

2.開放性

提供給學生的“做數(shù)學”素材應區(qū)別于標準化習題，要具有更強的開放性，是學生實踐的直接經(jīng)驗和書本的間接經(jīng)驗整合的結(jié)果。學生在面對這類素材時，可能會有些擔心，因為素材本身沒有提供明顯的解決問題的途徑，也沒有可以直接得到答案的用于解決整個問題的步驟。因此，學生需要運用已有的知識進行深入探究。這種學習過程曲折且結(jié)果具有多樣性的素材能夠激發(fā)學生的探究欲望，為學生數(shù)學學習提供有力的支撐。

例如，圍繞“用列舉的方法解決問題”內(nèi)容，筆者開發(fā)了開放性問題“怎樣圍面積最大”，設計了層層遞進的素材鏈：①王叔叔用12個1米長的柵欄在空地上圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？②王叔叔用12 個1 米長的柵欄圍一個一面靠墻的長方形花圃，怎樣圍面積最大？③如果花圃兩面靠墻呢？學生要想成功解決這些問題，必須在不斷變化的任務情境中推理驗證，最終得出一般化的結(jié)論。

3.思考力

在“做數(shù)學”的過程中，學生應探索和理解數(shù)學觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì)，以深入知識內(nèi)核進行深度學習，其重點在于學生應具備獨立或者在適當?shù)闹笇抡业絻?nèi)隱的數(shù)學結(jié)構(gòu)的能力。換言之，“做數(shù)學”素材，應彰顯數(shù)學本質(zhì)、內(nèi)蘊思考力，促進學生積極思考。因此，教師要加工好適合學生開展“做數(shù)學”的學習素材，這既能幫助學生獲得對知識的深刻認識，掌握處理新材料、新問題、新情境的方法，又能讓學生感受到自我知識的局限性，隨著一波三折具有反轉(zhuǎn)活動的徑深，進入良性的學習循環(huán)。

例如，圍繞“10 以內(nèi)數(shù)的分與合”內(nèi)容，筆者開發(fā)了“玩轉(zhuǎn)三角數(shù)圖”活動，將三角數(shù)圖作為素材，讓學生思考“如何把圓片合理地擺在三角數(shù)圖中？”，并設計了任務串：①規(guī)則是什么；②動手擺一擺；③說說你的秘訣。當學生能熟練地在三角數(shù)圖中擺放圓片后（三角數(shù)圖及擺放如圖1-1），教師提供了如圖1-2 所示的素材，讓學生思考“為什么剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律不適用了？”，隨著學習的深入，學生逐漸能夠探尋到規(guī)則的缺陷，并意識到這與素材本身提供的3 個數(shù)的奇偶性有關(guān)，為培養(yǎng)其理性精神奠定了基礎(chǔ)。

圖1-1

圖1-2

三、小學“做數(shù)學”素材的開發(fā)路徑

“做數(shù)學”素材的開發(fā)是通過將素材所承載的數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學意識和數(shù)學情感等元素進行整合，把現(xiàn)成的數(shù)學學習資源轉(zhuǎn)化為動態(tài)的、適合學生建構(gòu)數(shù)學知識體系的學習內(nèi)容。

1.對教材“動手做”欄目的再組織

（1）欄目分析

“動手做”欄目是蘇教版小學數(shù)學教材中的特色內(nèi)容，通常出現(xiàn)在單元結(jié)束后，是與單元內(nèi)容配套的，全套小學數(shù)學教材共安排了37 個“動手做”欄目，包含數(shù)據(jù)收集、方案設計、定期觀察、動手制作、實驗操作、數(shù)學游戲等?！皠邮肿觥睓谀恐械幕顒?，具有較強的操作性和實踐性，有助于學生在觀察、操作、實驗的過程中感受數(shù)學學習的樂趣，增強實踐意識和動手能力；具有較強的探索性和啟發(fā)性，有助于學生在“做數(shù)學”的過程中發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學的豐富內(nèi)涵。

然而，有時這個欄目的教學僅止于學生文本閱讀層面，雖然學生對這部分內(nèi)容很感興趣，但缺乏教師的有效指導和學生之間的互動交流。因此，在研讀教材的過程中，教師應聯(lián)系單元整體內(nèi)容以領(lǐng)會教材編寫意圖，對教學內(nèi)容進行合理組織、適度拓展。

（2）欄目使用

深挖素材內(nèi)涵。教材就像一根杠桿，教師對待教材的態(tài)度以及研讀開發(fā)教材的能力就是杠桿的支點，“支點”離學生越近，教師在教學活動中付出的價值就越高。因此，教師要理解教材的深層意義，充分挖掘教材的數(shù)學內(nèi)涵，從而更好地引導學生掌握知識、發(fā)展能力。

適度改造素材。根據(jù)學生情況和教學需求，教師需要對教材所提供的素材進行有選擇、有目的地取舍、開發(fā)和利用。具體地說，就是從整合、拓展和結(jié)構(gòu)化的視角對素材進行重組和補充，對知識脈絡進行聯(lián)結(jié)和延伸，對學習內(nèi)容進行梳理和重構(gòu)。

創(chuàng)新素材使用。教師要對素材實施動態(tài)層面的創(chuàng)新加工，以引導學生通過“做數(shù)學”的方式參與到數(shù)學活動中，使素材本身成為展現(xiàn)數(shù)學知識形成過程并促進學生探究的媒介。這樣，可以拉長學生的探究過程，讓學生更易掌握知識。

例如，蘇教版教材四年級下冊有一則“動手做”，把一幅圖平均分成4 份后打亂，要求學生經(jīng)過若干次平移和旋轉(zhuǎn)，把圖案恢復成原本的樣子。

以此素材為基礎(chǔ)，教師可以選擇冬奧會吉祥物為素材，開發(fā)“冰墩墩還原記”一課。教師引導學生回顧平移和旋轉(zhuǎn)的要素之后，設計闖關(guān)活動。第一關(guān)：將打亂的冰墩墩圖片還原。引導學生比較不同的還原方法，讓學生初步學會用數(shù)學語言記錄還原的步驟。第二關(guān)：將一分為二的冰墩墩圖片還原。教師鼓勵學生尋找最少的還原步驟以及思考這樣做的道理。第三關(guān)：獨立還原一分為四的圖片，先想象、再驗證，記錄操作的步驟。完成以上三個活動，學生不僅需要不斷嘗試與調(diào)整、比較與優(yōu)化，還需要想象與推理。

2.由例到類對習題深度挖掘

深入思考是“做數(shù)學”的關(guān)鍵屬性，它將“做數(shù)學”與淺顯的實踐操作相區(qū)分，這就帶來了開發(fā)素材的另一視角，即教師可以聚焦某個習題進行深入探討，科學、合理、有序地組織學生開展探究活動。具體來說，教師可以運用情境背后的線索，改變習題的條件或結(jié)論，以“做數(shù)學”為載體將其轉(zhuǎn)化為開放性的探究素材，引導學生形成“繼續(xù)思考下去”的數(shù)學思維方式，促進學生對知識之間關(guān)聯(lián)性理解。通過聯(lián)想、類比、推廣、演變，學生可以在數(shù)學學科的學習中建立獨特的發(fā)現(xiàn)問題方式和思考路徑。

例如，認識完“千以內(nèi)的數(shù)”，學生遇到一道思考題：“在計數(shù)器上表示212 要用5 顆算珠，那么用5 顆算珠還可以表示哪些三位數(shù)？”為了引導學生探討用若干顆算珠在計數(shù)器上表示三位數(shù)的問題，筆者以“用若干顆算珠在計數(shù)器上表示三位數(shù)，有多少種方法”為問題引領(lǐng)，開發(fā)了“神奇的組數(shù)問題”一課。

簡單探索后，有學生提出了“算珠越多，算珠能表示的三位數(shù)的個數(shù)越多”，馬上有學生反駁“用27 顆算珠時，只有1 種方法，即每個數(shù)位上都有9顆算珠，只能表示999”，這一觀點引發(fā)了熱烈討論，在新的探究中，有的學生驗證了用25 顆算珠、26 顆算珠的情況，覺察“隨著用的算珠變多，組成的三位數(shù)的個數(shù)可能先變多再多少”，并猜想1～27的中間數(shù)14 是一個反轉(zhuǎn)數(shù)。為了確認這一想法，學生合作列舉出所有的數(shù)據(jù)。仔細觀察這些數(shù)據(jù)，學生發(fā)現(xiàn)，用1～14 顆算珠表示時，算珠越多，算珠能表示的三位數(shù)的個數(shù)越多，從14 顆算珠開始，算珠越多，算珠能表示的三位數(shù)的個數(shù)越少。

由教材問題延伸的“做數(shù)學”，過程為“自主感悟—萌生猜想—分析驗證—修正猜想—成功體驗”。在這個過程中，學生積極猜想，意識到驗證猜想的重要性，并在驗證中完善與修正猜想。

總的來說，開發(fā)“做數(shù)學”素材必須以基礎(chǔ)性課程的目標和要求為基礎(chǔ)，其目標是發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，其課程內(nèi)容是對基礎(chǔ)性課程的延伸、補充、拓展和整合。要有效開發(fā)“做數(shù)學”素材，還需廣大教師繼續(xù)探索和創(chuàng)新。