數(shù)學(xué)眼光，因?qū)Ρ榷羁?/h1>
2024-01-26 13:51:35饒熾奎
新課程·上旬 2023年18期
饒熾奎
一、研究背景
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。在提倡學(xué)生核心素養(yǎng)的當(dāng)下，如何讓“找次品”這類“難課”簡單教，讓學(xué)生在收獲知識(shí)技能的同時(shí)感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)道理，就成了我想解決的問題。
二、課前思考
（一）教材分析
“找次品”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊數(shù)學(xué)廣角中的內(nèi)容，包含兩個(gè)例題。例1是從“3個(gè)里面找一個(gè)次品”，初步感悟用天平找次品的推理過程。要求學(xué)生能說、會(huì)記，為例2研究“從8個(gè)中找一個(gè)次品”做鋪墊。根據(jù)教材的編排，教學(xué)例2時(shí)，教師要大膽放手，讓學(xué)生充分發(fā)散思維去找次品，再通過列表統(tǒng)計(jì)學(xué)生找次品的方法，觀察發(fā)現(xiàn)“一分為三”是最優(yōu)的策略，最后從“10個(gè)、11個(gè)中找一個(gè)次品”驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn)是否合理。教材蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想非常豐富，有優(yōu)化思想、演繹推理思想、幾何直觀、模型思想等。
（二）學(xué)情分析
通過研磨發(fā)現(xiàn)：一是學(xué)生容易想到用天平去找次品，二是在分物品時(shí)，學(xué)生基本上會(huì)把8個(gè)分成（4，4）來稱，9個(gè)分成（3，3，3）來稱，少部分學(xué)生會(huì)分成（4，4，1）來稱。
（三）設(shè)計(jì)理念
本課以培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)眼光”為目標(biāo)，順應(yīng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與思考，巧妙利用“對比—質(zhì)疑”手段，喚醒學(xué)生思維，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后的道理。
三、教學(xué)設(shè)計(jì)
（一）教學(xué)目標(biāo)
1.在不斷嘗試、對比、質(zhì)疑中理解“一分為三”策略更優(yōu)的道理，能解決簡單的“找次品”問題。
2.借助天平，會(huì)用“如果……那么”“接下來從……中找”的語言表達(dá)找次品的過程，發(fā)展演繹推理能力，感悟優(yōu)化思想。
3.發(fā)展想象力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的魅力。
（二）教學(xué)重點(diǎn)
會(huì)“一分為三”地解決簡單的“找次品”問題。
（三）教學(xué)難點(diǎn)
理解“一分為三”是最優(yōu)策略的道理。
（四）教學(xué)準(zhǔn)備
希沃互動(dòng)課件。
四、課堂實(shí)錄
（一）課題質(zhì)疑，導(dǎo)入新課
師：（課件出示：找次品）今天我們學(xué)什么？你有什么疑問嗎？
生：什么是次品？怎么找次品？為什么要找次品？
師：（根據(jù)學(xué)生回答，相機(jī)板書課題、問號(hào)）
（二）自主探究，感受推理
1.嘗試解決從3個(gè)中找一個(gè)次品。
師：（課件出示問題：從3個(gè)乒乓球中找一個(gè)輕的次品）請你默讀，知道了什么？
生：有3個(gè)乒乓球，一個(gè)輕一些，要把它找出來。
師：那個(gè)輕的我們就看作次品。像這樣，不符合標(biāo)準(zhǔn)要求的物品就稱為次品?，F(xiàn)在解決第二個(gè)問題，怎么找？
生：用手掂量，能確定嗎？
師：還有別的方法嗎？
生：用天平稱。
師：老師這里有一個(gè)天平，可是沒有砝碼，怎么稱呢？
學(xué)生討論。
2.反饋。
師：（準(zhǔn)備好希沃互動(dòng)課件）誰愿意到前面來稱一稱？邊操作邊說說怎么找，需要幾次。
生：（拖動(dòng)課件上的乒乓球）天平兩端各放一個(gè)，如果平衡，次品就是外面的那一個(gè)，如果不平衡，次品就是上升的那一個(gè)，一次就能找出來。
師：誰來評一評，他講得怎么樣？好在哪里？
生：說得很清楚。
師：他怎么說的？（出示語言范式：天平兩端各放一個(gè)，如果平衡，次品就是天平外面那一個(gè)；如果不平衡，那么次品就是上升的那一個(gè)。）
師：是呀，用上“如果……那么”，就能把稱的情況講清楚。外面的這一個(gè)怎么沒有稱？
生：只要稱兩個(gè)，第三個(gè)可以想出來。
師：請大家按照這種方式跟你的同桌說一遍怎么稱的，可以邊說邊手勢比劃。
（三）展示交流，暴露思維
1.順應(yīng)“一分為二”的學(xué)情，研究從8個(gè)中找一個(gè)次品。
師：（課件出示從8個(gè)中找一個(gè)次品）現(xiàn)在從8個(gè)里面找一個(gè)次品，你至少需要幾次找出來？
生：（獨(dú)立畫圖找一找）
師：邊稱邊講解，其他同學(xué)思考，和你的次數(shù)一樣嗎？
生：（邊稱邊講）把8分成（4，4），天平兩端各放4個(gè)，如果天平不平衡，次品在上升的4個(gè)里面，再把4分成（2，2），如果不平衡，說明次品在上升的2個(gè)里面。再把2分成（1，1），次品就是上升的那一個(gè)，需要3次找出來。
師：（幫學(xué)生把分法記錄在副板上）可以簡化一下語言，這樣說：如果……那么……，接下來從……中找。3次確定嗎？大家同意嗎？
生：同意。
2.研究從9個(gè)中找一個(gè)次品，體會(huì)從不利的角度去想。
師：從9個(gè)里面找一個(gè)次品（次品輕一些）你會(huì)找嗎？請用畫圖的方法記錄下你找的過程，再跟同桌交流，看誰的次數(shù)少。
生自主探究。
師：誰的次數(shù)最少？請到前面講解。
生：將9分成（4，4，1），如果平衡，那么次品就是天平外面那一個(gè)；如果不平衡，次品就在上升的4個(gè)里面。接下來從4個(gè)里面找，如果不平衡次品就在上升的兩個(gè)里面，接下來從2個(gè)里面找，次品就在上升的那個(gè)盤子里，需要3次找出來。
師：當(dāng)4和4稱的時(shí)候，一次就找出來了嘛，為什么還要稱呢？
生：因?yàn)椴淮_定。
師：也就是說不僅要次數(shù)少，還要保證找出來，要從剩下的那個(gè)大數(shù)里面去找。從最不利的情況去思考，會(huì)讓方法更穩(wěn)妥。（板書：從大數(shù)中找）
師：還有別的方法嗎？
生：（邊演示邊講解，其他學(xué)生發(fā)自內(nèi)心地鼓掌。）
（四）對比質(zhì)疑，發(fā)展眼光
1.對比把9分成（4，4，1）和（3，3，3）的稱法，有什么不一樣呢？
生：一個(gè)平均分了，一個(gè)沒有平均分。
2.對比把8分成（4，4）和9分成（3，3，3）的分法，為優(yōu)化“一分為三”做鋪墊。
師：（課件出示圖1）你有什么疑問呢？
生：為什么總數(shù)多找次品的次數(shù)反而少呢？
師：你真善于思考。是呀，這是為什么呢？
生1：兩端的個(gè)數(shù)不一樣。要放3個(gè)。
師：這里的個(gè)數(shù)是怎么來的呢？它們的分法一樣嗎？8個(gè)能不能也2次找出來呢？趕緊再試試。
生：（興奮地）我找到了。（畫圖講解）
（五）數(shù)形結(jié)合，解釋道理
1.“一分為二”與“一分為三”進(jìn)行對比。
師：（出示“一分為二”與“一分為三”的對比圖，如圖2。）都是從8個(gè)乒乓球里面找一個(gè)次品，怎么次數(shù)不一樣呢？你覺得是什么問題？快跟同桌討論討論。
生：（討論后還是不明白。）
師：（教師啟發(fā)）左邊的這種分法可以稱為“一分為二”，次品可能會(huì)在哪里？右面這種分法可以稱為“一分為三”，次品可能會(huì)在哪里？（相機(jī)板書：一分為二、一分為三）
生：左面的稱法次品可能會(huì)在天平的左邊、右邊，右邊的稱法次品可能會(huì)在天平的左邊、右邊、外面。
師：（邊說邊擦出第三個(gè)盤子）這有什么好處呢？
生：……
師：多了一個(gè)盤子，就能幫我們多想一種情況。而左邊這種分法其實(shí)也有第三個(gè)盤子，只不過那里面是0個(gè)，是空閑狀態(tài)，它想幫忙也幫不上?。】磥?，“一分為三”比“一分為二”好。
2.對比“一分為三”的其他分法，歸納“盡量平均分，最多和最少相差1”。
師：這“一分為三”的稱法確實(shí)好，充分利用了第3個(gè)盤子，縮小了查找的范圍。是不是任意分3份都可以呢？展示（1、1、6）（2、2、4）（4、4、1）
生：發(fā)現(xiàn)有的分3份稱的次數(shù)并不是最少的。
師：看來這分三份是有講究的，請你們對比觀察，應(yīng)該怎樣分呢？
生：平均分三份，不能平均分3份的，最多和最少相差1。
3.“一分為三”與“一分為多”進(jìn)行對比。
師：你還有什么想法？
生1：會(huì)不會(huì)分4份稱的次數(shù)更少呢？
生2：會(huì)不會(huì)分的份數(shù)越多，稱的次數(shù)越少呢？
師：你很有問題意識(shí)，大家覺得呢？趕緊驗(yàn)證一下你的想法吧。
生：（驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)：稱的次數(shù)會(huì)大于2次。）
師：（出示條形圖，數(shù)形結(jié)合，說明道理。）看來，只有“一分為三”才是最優(yōu)策略。
（六）回顧小結(jié)，拓展應(yīng)用
（出示從80個(gè)里面找一個(gè)次品）
五、課例反思
（一）合理取舍，抓住問題本質(zhì)進(jìn)行簡單而深刻的教學(xué)
“怎么分物品”就是找次品的核心問題，“一分為三”就是最優(yōu)的策略。圍繞重要內(nèi)容多角度探究，直達(dá)問題本源。
（二）選取典型素材，為學(xué)生搭建探究支架
抓住最典型的素材展開探究。通過分析，從3個(gè)中找必須探究，因?yàn)槟鞘菍W(xué)會(huì)推理的開始。從8個(gè)中找的情況比較復(fù)雜，便于各種方法的對比，從9個(gè)中找比較容易想到一分為三，引發(fā)認(rèn)知沖突。有了從9個(gè)中找的啟發(fā)，再回頭研究8個(gè)的主動(dòng)性就更強(qiáng)一些。
（三）善用對比引質(zhì)疑，發(fā)展數(shù)學(xué)眼光
應(yīng)用“對比”這一教學(xué)策略，引起學(xué)生思考。第一次對比：天平外面的為什么不稱？感受推理的重要性。第二次對比：把9分成（4，4，1）和（3，3，3）進(jìn)行對比稱，感受平均分的重要性。第三次對比：9個(gè)只需稱2次就能保證找到次品，8個(gè)卻需要3次，這合理嗎？第四次對比：同樣是從8個(gè)物品中找一個(gè)次品，為什么把8個(gè)分成（3，3，2）兩次就可以稱出來，而分成（4，4）卻需要3次？發(fā)現(xiàn)分法不同，把目光聚焦到“第3個(gè)盤子”上。第五次對比：把8個(gè)分成3份稱的不同情況進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)“使最大數(shù)與最小數(shù)的差為1”的這種盡量平均分的方法最好。第六次對比：“一分為三”和“一分為多”進(jìn)行對比，通過數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)，分的份數(shù)越多，第二次查找的范圍越大，再次確認(rèn)“一分為三”就是最好的策略。
編輯：溫雪蓮
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（二）學(xué)情分析
通過研磨發(fā)現(xiàn)：一是學(xué)生容易想到用天平去找次品，二是在分物品時(shí)，學(xué)生基本上會(huì)把8個(gè)分成（4，4）來稱，9個(gè)分成（3，3，3）來稱，少部分學(xué)生會(huì)分成（4，4，1）來稱。
（三）設(shè)計(jì)理念
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1.在不斷嘗試、對比、質(zhì)疑中理解“一分為三”策略更優(yōu)的道理，能解決簡單的“找次品”問題。
2.借助天平，會(huì)用“如果……那么”“接下來從……中找”的語言表達(dá)找次品的過程，發(fā)展演繹推理能力，感悟優(yōu)化思想。
3.發(fā)展想象力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的魅力。
（二）教學(xué)重點(diǎn)
會(huì)“一分為三”地解決簡單的“找次品”問題。
（三）教學(xué)難點(diǎn)
理解“一分為三”是最優(yōu)策略的道理。
（四）教學(xué)準(zhǔn)備
希沃互動(dòng)課件。
四、課堂實(shí)錄
（一）課題質(zhì)疑，導(dǎo)入新課
師：（課件出示：找次品）今天我們學(xué)什么？你有什么疑問嗎？
生：什么是次品？怎么找次品？為什么要找次品？
師：（根據(jù)學(xué)生回答，相機(jī)板書課題、問號(hào)）
（二）自主探究，感受推理
1.嘗試解決從3個(gè)中找一個(gè)次品。
師：（課件出示問題：從3個(gè)乒乓球中找一個(gè)輕的次品）請你默讀，知道了什么？
生：有3個(gè)乒乓球，一個(gè)輕一些，要把它找出來。
師：那個(gè)輕的我們就看作次品。像這樣，不符合標(biāo)準(zhǔn)要求的物品就稱為次品?，F(xiàn)在解決第二個(gè)問題，怎么找？
生：用手掂量，能確定嗎？
師：還有別的方法嗎？
生：用天平稱。
師：老師這里有一個(gè)天平，可是沒有砝碼，怎么稱呢？
學(xué)生討論。
2.反饋。
師：（準(zhǔn)備好希沃互動(dòng)課件）誰愿意到前面來稱一稱？邊操作邊說說怎么找，需要幾次。
生：（拖動(dòng)課件上的乒乓球）天平兩端各放一個(gè)，如果平衡，次品就是外面的那一個(gè)，如果不平衡，次品就是上升的那一個(gè)，一次就能找出來。
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生：說得很清楚。
師：他怎么說的？（出示語言范式：天平兩端各放一個(gè)，如果平衡，次品就是天平外面那一個(gè)；如果不平衡，那么次品就是上升的那一個(gè)。）
師：是呀，用上“如果……那么”，就能把稱的情況講清楚。外面的這一個(gè)怎么沒有稱？
生：只要稱兩個(gè)，第三個(gè)可以想出來。
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師：邊稱邊講解，其他同學(xué)思考，和你的次數(shù)一樣嗎？
生：（邊稱邊講）把8分成（4，4），天平兩端各放4個(gè)，如果天平不平衡，次品在上升的4個(gè)里面，再把4分成（2，2），如果不平衡，說明次品在上升的2個(gè)里面。再把2分成（1，1），次品就是上升的那一個(gè)，需要3次找出來。
師：（幫學(xué)生把分法記錄在副板上）可以簡化一下語言，這樣說：如果……那么……，接下來從……中找。3次確定嗎？大家同意嗎？
生：同意。
2.研究從9個(gè)中找一個(gè)次品，體會(huì)從不利的角度去想。
師：從9個(gè)里面找一個(gè)次品（次品輕一些）你會(huì)找嗎？請用畫圖的方法記錄下你找的過程，再跟同桌交流，看誰的次數(shù)少。
生自主探究。
師：誰的次數(shù)最少？請到前面講解。
生：將9分成（4，4，1），如果平衡，那么次品就是天平外面那一個(gè)；如果不平衡，次品就在上升的4個(gè)里面。接下來從4個(gè)里面找，如果不平衡次品就在上升的兩個(gè)里面，接下來從2個(gè)里面找，次品就在上升的那個(gè)盤子里，需要3次找出來。
師：當(dāng)4和4稱的時(shí)候，一次就找出來了嘛，為什么還要稱呢？
生：因?yàn)椴淮_定。
師：也就是說不僅要次數(shù)少，還要保證找出來，要從剩下的那個(gè)大數(shù)里面去找。從最不利的情況去思考，會(huì)讓方法更穩(wěn)妥。（板書：從大數(shù)中找）
師：還有別的方法嗎？
生：（邊演示邊講解，其他學(xué)生發(fā)自內(nèi)心地鼓掌。）
（四）對比質(zhì)疑，發(fā)展眼光
1.對比把9分成（4，4，1）和（3，3，3）的稱法，有什么不一樣呢？
生：一個(gè)平均分了，一個(gè)沒有平均分。
2.對比把8分成（4，4）和9分成（3，3，3）的分法，為優(yōu)化“一分為三”做鋪墊。
師：（課件出示圖1）你有什么疑問呢？
生：為什么總數(shù)多找次品的次數(shù)反而少呢？
師：你真善于思考。是呀，這是為什么呢？
生1：兩端的個(gè)數(shù)不一樣。要放3個(gè)。
師：這里的個(gè)數(shù)是怎么來的呢？它們的分法一樣嗎？8個(gè)能不能也2次找出來呢？趕緊再試試。
生：（興奮地）我找到了。（畫圖講解）
（五）數(shù)形結(jié)合，解釋道理
1.“一分為二”與“一分為三”進(jìn)行對比。
師：（出示“一分為二”與“一分為三”的對比圖，如圖2。）都是從8個(gè)乒乓球里面找一個(gè)次品，怎么次數(shù)不一樣呢？你覺得是什么問題？快跟同桌討論討論。
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生：左面的稱法次品可能會(huì)在天平的左邊、右邊，右邊的稱法次品可能會(huì)在天平的左邊、右邊、外面。
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2.對比“一分為三”的其他分法，歸納“盡量平均分，最多和最少相差1”。
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師：看來這分三份是有講究的，請你們對比觀察，應(yīng)該怎樣分呢？
生：平均分三份，不能平均分3份的，最多和最少相差1。
3.“一分為三”與“一分為多”進(jìn)行對比。
師：你還有什么想法？
生1：會(huì)不會(huì)分4份稱的次數(shù)更少呢？
生2：會(huì)不會(huì)分的份數(shù)越多，稱的次數(shù)越少呢？
師：你很有問題意識(shí)，大家覺得呢？趕緊驗(yàn)證一下你的想法吧。
生：（驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)：稱的次數(shù)會(huì)大于2次。）
師：（出示條形圖，數(shù)形結(jié)合，說明道理。）看來，只有“一分為三”才是最優(yōu)策略。
（六）回顧小結(jié)，拓展應(yīng)用
（出示從80個(gè)里面找一個(gè)次品）
五、課例反思
（一）合理取舍，抓住問題本質(zhì)進(jìn)行簡單而深刻的教學(xué)
“怎么分物品”就是找次品的核心問題，“一分為三”就是最優(yōu)的策略。圍繞重要內(nèi)容多角度探究，直達(dá)問題本源。
（二）選取典型素材，為學(xué)生搭建探究支架
抓住最典型的素材展開探究。通過分析，從3個(gè)中找必須探究，因?yàn)槟鞘菍W(xué)會(huì)推理的開始。從8個(gè)中找的情況比較復(fù)雜，便于各種方法的對比，從9個(gè)中找比較容易想到一分為三，引發(fā)認(rèn)知沖突。有了從9個(gè)中找的啟發(fā)，再回頭研究8個(gè)的主動(dòng)性就更強(qiáng)一些。
（三）善用對比引質(zhì)疑，發(fā)展數(shù)學(xué)眼光
應(yīng)用“對比”這一教學(xué)策略，引起學(xué)生思考。第一次對比：天平外面的為什么不稱？感受推理的重要性。第二次對比：把9分成（4，4，1）和（3，3，3）進(jìn)行對比稱，感受平均分的重要性。第三次對比：9個(gè)只需稱2次就能保證找到次品，8個(gè)卻需要3次，這合理嗎？第四次對比：同樣是從8個(gè)物品中找一個(gè)次品，為什么把8個(gè)分成（3，3，2）兩次就可以稱出來，而分成（4，4）卻需要3次？發(fā)現(xiàn)分法不同，把目光聚焦到“第3個(gè)盤子”上。第五次對比：把8個(gè)分成3份稱的不同情況進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)“使最大數(shù)與最小數(shù)的差為1”的這種盡量平均分的方法最好。第六次對比：“一分為三”和“一分為多”進(jìn)行對比，通過數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)，分的份數(shù)越多，第二次查找的范圍越大，再次確認(rèn)“一分為三”就是最好的策略。
編輯：溫雪蓮
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