郭姣姣 莊清渠

摘要： 采用三角標量輔助變量（TSAV）方法，構(gòu)造求解耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程初邊值問題的高效數(shù)值格式?；诜匠谭蔷€性勢能的三角函數(shù)形式，提出求解方程的TSAV格式；對方程在時間和空間上分別采用二階Crank-Nicolson格式和傅里葉譜方法進行離散，并證明時間半離散格式的修正能量守恒律。最后，通過數(shù)值算例對文中格式進行驗證。結(jié)果表明：文中格式具有有效性，修正能量具有守恒性。

關(guān)鍵詞： 耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程； 三角標量輔助變量方法； 修正能量； 守恒律

中圖分類號： O 241.8文獻標志碼： A?? 文章編號： 1000-5013（2024）01-0098-10

Trigonometric Scalar Auxiliary Variable Method for Coupled Nonlinear Schr?dinger-Boussinesq Equation

GUO Jiaojiao， ZHUANG Qingqu

（School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China）

Abstract： Based on the trigonometric scalar auxiliary variable （TSAV） method， an efficient numerical scheme is constructed to solve the initial boundary value problem of the coupled nonlinear Schr?dinger-Boussinesq equation. Firstly， based on the trigonometric function form of the nonlinear potential energy equation， the TSAV scheme of the considered equation is proposed. Then， the equation is discretized in temporal and spatial by using the second-order Crank-Nicolson scheme and Fourier spectral method respectively， and the modified energy conservation law of time semi-discrete scheme is proved. Finally， the proposed scheme is verified by numerical examples. The results show that the proposed scheme is effective and the modified energy is conserved.

Keywords：coupled nonlinear Schr?dinger-Boussinesq equation； trigonometric scalar auxiliary variable method； modified energy； conservation law

Schr?dinger方程和Boussinesq方程是應(yīng)用數(shù)學和物理學中的重要方程，前人對這兩類方程展開了廣泛的研究［1-2］。耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq（CNSB）方程是一類用于描述激光和等離子體領(lǐng)域各種物理過程的重要的波動方程［3］。文獻［4-5］對方程解析解的存在性、全局光滑解及適定性進行了研究。由于直接求解CNSB方程的困難較大，所以數(shù)值求解CNSB方程得到了廣泛的關(guān)注。例如，Yang等［6］設(shè)計了求解CNSB方程的BDF2-Galerkin有限元格式。Tian等［7］設(shè)計了基于Galerkin有限元框架的時間兩網(wǎng)格格式。 Oruc［8］提出一種用于求解CNSB方程的徑向基函數(shù)結(jié)合有限差分的無網(wǎng)

格逼近方法。Cai等［9］針對CNSB方程構(gòu)造了一種保持質(zhì)量和能量守恒的快速求解器。文獻［10-11］對一維和二維CNSB方程構(gòu)造一類保能量和質(zhì)量守恒的有限差分方法。關(guān)于求解CNSB方程的一系列線性和非線性的緊致有限差分格式及其穩(wěn)定性、收斂性等理論分析可參考文獻［12-13］。二次B樣條有限元方法［14］、基于時間分裂的傅里葉譜方法［15］及標量輔助變量（SAV）方法［16］等均可用于高效求解CNSB方程。

SAV方法首先由Shen等［17］提出，之后出現(xiàn)了基于SAV方法的各類擴展形式，如拉格朗日乘數(shù)法、指數(shù)標量輔助變量方法等，這些方法因計算的高效性和簡便性受到了廣泛的應(yīng)用［18］。Yang等［19］提出一種基于非線性勢能泛函的三角函數(shù)形式，即三角標量輔助變量（TSAV）方法，并驗證該方法可以成功應(yīng)用于一大類梯度流模型。該方法繼承了傳統(tǒng)SAV方法所有優(yōu)點的同時，還彌補了其不足，它對于任意非線性勢能泛函，均可通過添加一個大于1的常數(shù)c0，使新引入的標量輔助變量具有常正性。將標量輔助變量作用于方程的非線性部分，可以使方程完全解耦，簡便計算。文獻［20-21］基于正弦函數(shù)型標量輔助變量，分別構(gòu)建了四階非線性波動方程和廣義分數(shù)階Schr?dinger方程的高階TSAV保能格式。目前，針對CNSB方程的高階TSAV保能格式的研究仍較少?；诖耍疚幕谟嘞液瘮?shù)型標量輔助變量，提出一種求解耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程的高效能量穩(wěn)定方法。

1 問題與TSAV格式

考慮帶周期邊界條件的CNSB方程的數(shù)值求解格式，即

式（1）中：i2=-1；Ω=［a，b］d，d=1，2；ε表示電子數(shù)與離子數(shù)質(zhì)量比的參數(shù)，ε>0；γ，ξ，α，θ，ω均為正實數(shù)；f（v）為一個滿足f（0）=0的充分光滑函數(shù)；u（x，t）為朗繆爾振蕩電場的復值函數(shù)；v（x，t）為描述低頻密度攝動的實值函數(shù)。

式（1）的初始條件為u（x，0）=u0（x），v（x，0）=v0（x），vt（x，0）=v1（x），x∈Ω。

式（1）滿足電荷（Q）守恒律和能量（E）守恒律［15］，有

將式（1）中的第1個方程與u作內(nèi)積，取虛部，可證明電荷守恒律。將式（1）中的第1個方程與-ut作內(nèi)積，取實部，再將式（1）中的第2個方程與-vt作內(nèi)積，結(jié)合上述內(nèi)積結(jié)果和vt=Δφ，可證明能量守恒律。

采用TSAV方法對式（1）進行求解，首先，引入vt=Δφ，將式（1）降階為關(guān)于時間一階導的等價形式，有

此時，式（2）的初始條件和邊界條件可分別表示為

u（x，0）=u0（x）， v（x，0）=v0（x）， φ（x，0）=φ0（x），? x∈Ω，

u（a，t）=u（b，t）， v（a，t）=v（b，t）， φ（a，t）=φ（b，t），? t∈（0，T］。

其次，對于任意網(wǎng)格函數(shù)u1，u2∈L2（Ω），定義內(nèi)積（·，·）和范數(shù)·的表達式為

然后，基于方程的非線性勢能引入三角標量輔助變量，有

式中：c0是一個恒大于1的常數(shù)，則有

基于此，可構(gòu)建式（2）的TSAV格式，有

其中有

定理1 式（3）滿足修正能量守恒律，有

將式（3）中第2，3個方程分別與vt，-φt作內(nèi)積并相加，可得

將上述兩個內(nèi)積結(jié)果相加，并結(jié)合式（3）中最后一個方程，可得

即可證得式（4）。證明完畢。

2 時間半離散格式

對于n=1，2，…，N-1，為了求解un+1，vn+1，φn+1，Rn+1，通過二階Crank-Nicolson格式構(gòu)建CNSB方程的時間半離散格式，有

此外，式（5）的實現(xiàn)需要第1層的值u1，v1，φ1，R1和初始條件。初始條件是已知的，則當n=0時，第1層的值可通過隱式Crank-Nicolson格式求解，有

定理2 時間半離散格式（5），（6）滿足修正能量守恒律，有

在式（5）第2，3個方程的兩端分別乘以（vn+1-vn），-（φn+1-φn），然后，在Ω上積分，再將結(jié)果相加，整理可得

將以上兩個等式相加，并利用式（5）中最后一個方程，可得

下面考慮式（5），（6）的求解。首先，考慮將式（5）的前3個方程分別改寫為

最后，將求得的un+1，vn+1代入式（5）中最后一個方程，可得

值得注意的是，余弦函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，且通過計算可知Γ的值恒為實數(shù)，所以Rn+1是始終可解的。

此外，初始值u1，v1，φ1，R1可通過式（6）采用預估校正法進行類似的求解。簡言之，TSAV格式（5），（6）可以通過以下4個步驟快速求解：

1） 通過式（6）解得第1層的值u1，v1，φ1，R1；

2） 計算b1，b2，b3；

3） 依次從式（7），（10），（11）求解un+1，vn+1，φn+1；

4） 由式（12）解得Rn+1。

3 數(shù)值算例

為了方便求解，對所有數(shù)值實驗均采用快速傅里葉變換（FFT）和傅里葉逆變換（IFFT）進行空間離散，以驗證文中格式在時間方向上具有二階精度，在空間方向上具有譜精度，有效保持修正能量E的守恒性，并模擬CNSB方程二維孤立波的演化行為。在此之前，先定義enj（g）=gnj-g（xj，tn），則對應(yīng)的L∞誤差和L2誤差可分別表示為

式中：任意網(wǎng)格函數(shù)g可分別表示u，v，φ。

L∞誤差和L2誤差對應(yīng)的收斂階Rate的計算公式分別為

當t=0時，式（13）可作為CNSB方程的初始條件，取常數(shù)c0=2.0。

檢驗文中格式的時間精度和空間精度。選擇計算區(qū)域Ω=［-20，20］，T=1。固定空間剖分M=512。

不同時間步長下u，v，φ的時間L∞ 誤差及收斂階，時間L２ 誤差及收斂階，分別如表1，2所示。

表1，2中：Rate∞，u，Rate∞，v，Rate∞，φ分別為Err∞（u），Err∞（v），Err∞（φ）的收斂階；

Rate2，u，Rate2，v，Rate2，φ分別為Err2（u），Err2（v），Err2（φ）的收斂階。

由表1，2可知：文中格式在時間方向上具有二階精度。

固定時間步長τ=0.000 1，u，v，φ在不同空間剖分下的空間L∞誤差和L2誤差，分別如圖1所示。由圖1可知：文中格式在空間方向上呈現(xiàn)指數(shù)收斂，具有譜精度。

選取計算區(qū)域Ω=［-20，140］，T=100，固定空間剖分M=512，時間步長τ=0.01。u，v，φ的精確解與數(shù)值解，如圖2所示。

由圖2可知：不同時刻下的數(shù)值解與精確解都能很好地吻合，故文中提出的TSAV格式是穩(wěn)定的。

驗證CNSB方程的守恒律，基于上述計算區(qū)域和網(wǎng)格設(shè)計，修正能量（E）和修正能量誤差（enE）隨著時間的變化情況，如圖3所示。

由圖3可知：TSAV格式能很好地保持修正能量守恒，這與節(jié)2的能量守恒定理一致。

在不同時間步長τ=1/100，1/200，1/400下，電荷誤差（enQ）和能量誤差（enE）隨著時間的變化情況，如圖4所示。由圖4可知：電荷誤差和能量誤差均隨著時間步長的減小而減小。

算例2 考慮CNSB方程二維孤立波的演化行為，選擇初始條件，有［7，15］

計算區(qū)域取Ω=［-20，20］2，固定空間剖分和時間步長分別為M=512，τ=0.01，取常數(shù)c0=2.0。

CNSB方程在情況1下的數(shù)值解u，v，φ不同時間的曲面圖，如圖5所示。

由圖5可知：u的數(shù)值解隨著時間的推移，由一個波峰變成多個波峰；v，φ的數(shù)值解逐漸呈現(xiàn)下陷趨勢，且逐漸產(chǎn)生少量余波。

CNSB方程在情況2下可以簡化為Zakharov系統(tǒng)，它是CNSB方程的一種特殊形式。二維Zakharov系統(tǒng)的數(shù)值解u，v，φ不同時間的曲面圖，如圖6所示。

由圖6可知：u的數(shù)值解隨著時間的演化過程與情況1類似；v的數(shù)值解也隨著時間推移出現(xiàn)下陷趨勢，但形態(tài)與情況1不同；φ隨著時間的推移并未出現(xiàn)下陷趨勢，也無余波產(chǎn)生。這與文獻［7］中算例4.3的研究結(jié)果一致。

綜上可知，文中TSAV格式可推廣至方程高維問題的求解。

4 結(jié)束語

利用TSAV方法構(gòu)造耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程的能量穩(wěn)定數(shù)值求解格式，理論證明了時間半離散格式的修正能量守恒性。通過數(shù)值實驗驗證了格式的穩(wěn)定性和有效性，并模擬了方程二維的動力學過程。

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