任萬燦,陳慧琴,王立才

(北華大學機械工程學院,吉林 吉林 132013)

許多學者已經(jīng)對非虧損振動系統(tǒng)反饋控制器設(shè)計方法進行了大量理論研究[1-5]。MEIROVITCH L[6]給出了振動系統(tǒng)反饋的標準設(shè)計方法;劉中生等[7]研究了重頻系統(tǒng)模態(tài)的可控制性與可觀性,但沒有考慮控制的設(shè)計問題。已有研究中的動力學系統(tǒng)是非虧損的,即具有完備的特征向量系。而一些實際工程問題(如氣動彈性顫振、受不確定載荷影響的橋梁顫振、結(jié)構(gòu)與控制中的耦合等)在一定條件下會發(fā)生虧損現(xiàn)象[8],這類系統(tǒng)稱為虧損系統(tǒng),即不存在完備的特征向量組來張成整個特征空間,在這種情況下,針對非虧損系統(tǒng)反饋控制器設(shè)計的方法將失效[9]。CHEN等[10]介紹了虧損和接近虧損系統(tǒng)的模態(tài)優(yōu)化控制問題;陳宇東等[11]給出了虧損系統(tǒng)振動模態(tài)的可控、可觀性量度指標;李有意[12]研究了非虧損振動系統(tǒng)模態(tài)控制器的設(shè)計方法,但其計算過程比較復(fù)雜;WANG等[13]討論了非線性虧損系統(tǒng)在Hopf分叉臨界點的反饋控制,但并未給出反饋控制器設(shè)計方法。上述反饋控制都局限于非虧損系統(tǒng),因此,有必要給出系統(tǒng)虧損時的反饋控制器設(shè)計方法。本文主要研究動力學虧損系統(tǒng)模態(tài)反饋控制器的設(shè)計問題,給出相應(yīng)反饋控制器模態(tài)向量的計算方法,并通過二自由度機翼的反饋控制,驗證該方法的有效性。

1 廣義模態(tài)坐標下動力學系統(tǒng)的反饋控制

一般動力學系統(tǒng)的微分方程和控制方程分別為

(1)

和

(2)

式中:矩陣M、C和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;q∈n為位移向量;b0∈n為控制向量;z(t)∈為控制輸入。

利用狀態(tài)變換,系統(tǒng)(1)的狀態(tài)方程和控制方程(2)可表達為

和

(3)

其中:

(4)

x(t)∈2n為狀態(tài)向量;z(t)∈為控制輸入;A∈2n×2n為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣;b∈2n為控制向量;G∈2n為狀態(tài)反饋增益向量。

對于系統(tǒng)(3)中的矩陣A,由高等代數(shù)可知,存在可逆右廣義模態(tài)矩陣V使式(5)成立

AV=VJ,

(5)

其中:矩陣J為狀態(tài)矩陣A的Jordan標準型,可表示為

設(shè)狀態(tài)矩陣A的左廣義模態(tài)矩陣為U,滿足關(guān)系式(6),

AHU=UJH,

(6)

式中:矩陣AH和JH分別為矩陣A和J的共軛轉(zhuǎn)置?？勺C明,左、右廣義模態(tài)矩陣U、V滿足雙正交條件[14]

UHAV=J,UHV=I,

(7)

式中:矩陣UH為U的共軛轉(zhuǎn)置矩陣;I為2n階單位陣。

引入線性反饋增益向量GT形成控制輸入z(t),閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性將發(fā)生相應(yīng)變化?？稍O(shè)計一個新的閉環(huán)系統(tǒng),使得虧損系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征值被重新指定為新的孤立特征值。相比原來未控制系統(tǒng)(1),具有更好的運動特性。

利用右廣義模態(tài)變換

x(t)=Vξ(t) ,

(8)

其中:ξ(t)為廣義模態(tài)坐標向量。振動控制方程(3)可轉(zhuǎn)化為廣義模態(tài)坐標下的控制方程

(9)

式中:

H=J+pgT,p=UHb=[p1,p2,…,p2n]T,gT=GTV=[g1,g2,…,g2n] 。

(10)

2 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣具有單個Jordan塊的模態(tài)控制器設(shè)計

若系統(tǒng)(3)狀態(tài)矩陣A的Jordan標準型J為單個Jordan塊,設(shè)λ為A的2n重特征值,具體形式為

矩陣J為非對角陣,則系統(tǒng)(3)為虧損系統(tǒng)。

系統(tǒng)(3)在廣義模態(tài)坐標下的控制方程如式(9)所示。

設(shè)新指定的孤立特征值為ρj(j=1,2,…,2n),其相應(yīng)的模態(tài)向量為ωj,并滿足關(guān)系式(11):

(J+pgT)ωj=ρjωj,j=1,2,…,2n。

(11)

因為ωj≠0,則

det(J+pgT-ρjI)=0 。

(12)

由式(9)可張成矩陣pgT,并將其代入式(12)得

(13)

根據(jù)式(13)行列式結(jié)構(gòu),采用添零升階法[15]來簡化計算

(14)

式(14)經(jīng)過行變換可化為

(15)

將式(15)繼續(xù)進行行變換,將副對角線的元素“1”全部變?yōu)椤?”,得到

(16)

式中:

(17)

利用對角線元素消去式(16)中K1、K2、…、K2n,得到

即行列式結(jié)果為

(18)

由迭代關(guān)系式(17),式(18)可進一步化簡為

(19)

假定λ≠ρj,式(19)化為

(20)

式(20)可寫成簡潔的矩陣形式

FPg=E,

(21)

式中:

由式(21)可得

g=P-1F-1E。

(22)

根據(jù)式(10)得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益向量

GT=gTUH。

(23)

將式(22)代入式(23)得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益向量

GT=ET(F-1)T(P-1)TUH。

3 具有多個Jordan塊的模態(tài)控制器設(shè)計

3.1 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣具有兩個Jordan塊的模態(tài)控制器設(shè)計

若系統(tǒng)(3)狀態(tài)矩陣A的Jordan標準型J可表示為兩個Jordan塊的直和,即J=J(1)⊕J(2)。設(shè)λ1、λ2為A的兩個不同特征值且對應(yīng)代數(shù)重數(shù)分別為m和2n-m,可將其Jordan標準型J表示為分塊形式

其中:

狀態(tài)矩陣A的左、右模態(tài)矩陣U、V同樣進行分塊處理,即

U=[U(1)U(2)] ,V=[V(1)V(2)] 。

(24)

左、右廣義模態(tài)矩陣U、V的各個分塊矩陣U(j)、V(j)(j=1,2)具體為

(25)

(26)

式(24)、(25)和(26)滿足雙正交條件式(7),利用右廣義模態(tài)變換式(8)可得

其中:ξ(t)為廣義模態(tài)坐標向量,則振動控制方程(3)可轉(zhuǎn)化為如下的模態(tài)控制方程

(27)

其中:

(28)

設(shè)式(27)的特征值為ρj(j=1,2,…,2n),其相應(yīng)的模態(tài)為ωj,并滿足關(guān)系式(29):

(J+b1gT)ωj=ρjωj,j=1,2,…,2n。

(29)

因為ωj≠0,則

det(J+b1gT-ρjI)=0 。

(30)

(31)

利用化簡式(13)的方法對式(31)進行同樣處理,得

(32)

對式(32)進行行初等變換

(33)

將式(33)繼續(xù)進行行變換,將副對角線的元素“1”全部變?yōu)椤?”,得到

(34)

式中:

(35)

利用對角線元素消去式(34)中B1、B2、…、Bm,C1、C2、…、C2n-m,得到

此行列式值為

(36)

由遞推關(guān)系(35)進一步簡化式(36),得

(37)

假定λ1≠ρj,λ2≠ρj,式(37)化為

(38)

式(38)可寫成簡潔的矩陣形式

FPg=E,

(39)

其中:

(40)

(41)

(42)

由式(39)可得

g=P-1F-1E。

(43)

根據(jù)式(28)得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益向量

GT=gTUH。

(44)

將式(43)代入式(44),得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益向量

GT=ET(F-1)T(P-1)TUH。

3.2 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣具有一般形式時的模態(tài)控制器設(shè)計

若系統(tǒng)(3)狀態(tài)矩陣A的Jordan標準型J可表示為多個Jordan塊的直和,即J=J(1)⊕J(2)⊕…⊕J(v),設(shè)λi(i=1,2,…,v)為A的v個不同特征值且對應(yīng)代數(shù)重數(shù)為mi(i=1,2,…,v),則可將其Jordan標準型J表示為分塊形式

狀態(tài)矩陣A的左、右模態(tài)矩陣U、V同樣進行分塊處理,即

U=[U(1)U(2)…U(v)] ,V=[V(1)V(2)…V(v)] 。

(45)

左、右廣義模態(tài)矩陣U、V的各個分塊矩陣U(i)、V(i)(i=1,2,…,v)具體如下:

(46)

式(45)、(46)滿足雙正交條件式(7),振動控制方程(3)可轉(zhuǎn)化為如下的模態(tài)控制方程

其中:

gT=GT[V(1)V(2)…V(v)]=[(g(1))T(g(2))T… (g(v))T],

(47)

此時系統(tǒng)的反饋增益向量計算方法與具有兩個Jordan塊相似,即與式(43)相似,其增益向量的解同樣為

g=P-1F-1E,

(48)

其中:

4 數(shù)值算例

在航空工業(yè)領(lǐng)域,機翼(葉片)的顫振(系統(tǒng)發(fā)生虧損時)是航空飛行器失事的主要原因之一。為了減少事故,目前抑制和延緩虧損現(xiàn)象發(fā)生的最有效方法是前期恰當?shù)慕Y(jié)構(gòu)控制設(shè)計。為了研究機翼顫振,建立二元機翼顫振模型[16]。機翼顫振時彎曲和扭轉(zhuǎn)變形可等效為由垂直方向彎曲彈簧的位移和扭轉(zhuǎn)彈簧繞剛度中心的旋轉(zhuǎn)位移。將機翼簡化為矩形截面梁,見圖1。其中:機翼弦長為2b(b為半弦長);Kh和Kα分別為升降和俯仰的結(jié)構(gòu)剛度系數(shù);V為空速;M為剛度中心;ab為半弦點到剛度中心的距離;h為機翼剛度中心的垂直距離;α為機翼的俯仰角。

圖1 二元機翼模型Fig.1 Model of two-dimensional airfoil

機翼振動方程可寫為[8]

式中:m為機翼質(zhì)量;s為質(zhì)量靜矩;Jα為質(zhì)量慣矩;ε(0<ε?1)為小參數(shù);Q1、Q2分別為氣動力和氣動力矩。將運動方程寫成矩陣形式

式中:M為質(zhì)量矩陣;K為剛度矩陣;H為非對稱的空氣動力學矩陣;q為位移向量。分別具有以下形式

利用狀態(tài)變換,機翼非線性運動方程及其線性部分可表示為

和

(49)

式中:

取參數(shù)s/m=0.25,Jα/m=Kα/m=0.5,Kh/m=0.25,ρab2/m=0.2,e=0.4,p2=v2/b,p=1.325 677 35,系統(tǒng)矩陣可具體表示為

此時系統(tǒng)狀態(tài)矩陣特征值為

λ1=λ2=0.673 189j,λ3=λ4=-0.673 189j 。

矩陣A的Jordan標準型為

該Jordan標準型不能最簡化為對角陣,則此系統(tǒng)是虧損的。因為Re(λ)=0,Im(λ)≠0,由微分方程穩(wěn)定性理論可知,此時系統(tǒng)處于Hopf分叉臨界狀態(tài)(即機翼發(fā)生顫振)。

狀態(tài)矩陣A的左右廣義模態(tài)矩陣U、V分別為[14]

此系統(tǒng)處于Hopf分叉臨界狀態(tài),需要引入反饋控制使其漸進穩(wěn)定。多尺度法求解非線性微分方程可獲得精度較高的解,既能計算嚴格的周期運動,還適用耗散系統(tǒng)的衰減振動和非穩(wěn)態(tài)過程[17]。機翼的運動方程(49)及其控制方程[13]含有小參數(shù)ε,在多尺度分析中,通過將問題分解為不同尺度上的子問題,可以針對每個子問題建立相應(yīng)的微分方程,通過解這些微分方程,可以獲得精確的近似解。

利用多尺度法,系統(tǒng)(49)的零階和一階近似控制微分方程如下[13]:

對機翼垂直位移h進行反饋控制,由式(4)可知,控制輸入為

則零階控制方程具體形式為

(50)

由式(28)可知,

對振動控制方程(50)進行右模態(tài)變換:

其中:ξ0(t)為廣義模態(tài)坐標向量。振動控制方程(50)可轉(zhuǎn)化為如下的模態(tài)控制方程

(51)

下面通過本文反饋控制器設(shè)計方法對系統(tǒng)進行閉環(huán)極點配置。先指定特征值

ρ1=-1+0.673 188 87j,ρ2=-1.2+0.673 188 87j,

ρ3=-1-0.673 188 87j,ρ4=-1.2-0.673 188 87j 。

由式(40)、(41)和(42)可得

得到增益向量的零階近似修正g0:

計算輸入z:

容易求出新的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A1特征值

ρ1=-1+0.673 188 87j,ρ2=-1.2+0.673 188 87j,

ρ3=-1-0.673 188 87j,ρ4=-1.2-0.673 188 87j 。

綜上,通過極點配置,控制系統(tǒng)得到了預(yù)期指定的特征值,達到漸進穩(wěn)定。

5 小 結(jié)

本文基于廣義模態(tài)理論,利用狀態(tài)反饋控制和閉環(huán)控制系統(tǒng)的極點配置法,提出了一種計算反饋增益向量的新方法。該方法適用于狀態(tài)矩陣具多個Jordan塊的虧損系統(tǒng),并且避免了繁雜的數(shù)學計算,使結(jié)果更為直觀,易在計算機上實施,大大縮短了計算時間。由算例可知,動力學系統(tǒng)經(jīng)過反饋控制,其特征值符合配置要求,系統(tǒng)達到漸進穩(wěn)定。結(jié)果表明,此反饋增益向量的計算方法在振動系統(tǒng)為虧損時是有效的,適合工程應(yīng)用。