朱佳碩,王立波

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 吉林 132013)

0 引 言

與整數(shù)階微分相比,分?jǐn)?shù)階微分能夠更好地描述各種材料和工藝的性質(zhì)。因此,分?jǐn)?shù)階微分方程在控制、多孔介質(zhì)、電化學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用。而變指數(shù)勒貝格空間Lp(·)是經(jīng)典勒貝格空間的推廣,能夠更加準(zhǔn)確地描述各種物理現(xiàn)象。目前,關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的研究多在連續(xù)空間中考慮[1-8],也有部分學(xué)者開始在勒貝格空間中研究分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性[9-10]。

JOSEPH和SHAYMA在文獻(xiàn)[9]中利用Banach壓縮映像原理證明了分?jǐn)?shù)階微分方程

在Lp空間中解的存在性。

BURTON和ZHANG在文獻(xiàn)[10]中研究了分?jǐn)?shù)階微分方程

在Lp[0,∞)空間中解的存在性。

BAI和Lü在文獻(xiàn)[11]中研究了分?jǐn)?shù)階微分方程

在C(0,1)中解的存在性。

受文獻(xiàn)[11]的啟發(fā),本文利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和格林函數(shù)的性質(zhì),得到非線性Riemann-Liouville (RL)型分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[12]設(shè)ω是n中開集,設(shè)p(t):ω→[1,∞)是一個(gè)可測(cè)函數(shù)。定義變指數(shù)勒貝格空間Lp(·)(ω)為ω上的所有可測(cè)函數(shù)f構(gòu)成的空間,且滿足

范數(shù)配備為

定義2[11]令α>0,函數(shù)y(∈Lp(·))的α階RL型分?jǐn)?shù)階積分為

其中Γ(·)是伽馬函數(shù)。

定義3[11]令α>0,函數(shù)y(∈Lp(·))的α階RL型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

其中n=[α]+1,[α]表示不大于α的最大整數(shù)。

設(shè)1≤p<∞,Lp([a,b],)表示經(jīng)典勒貝格空間,范數(shù)配備為

當(dāng)p=∞時(shí),

引理1[12]假設(shè)f1、f2∈Lp([a,b],),1≤p<∞,α、β>0,則下面關(guān)于RL積分和RL導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)成立:

引理2[11]如果f∈Lp([a,b],),1≤p<∞,α>0,則)。

引理3[12]設(shè)α>0,則分?jǐn)?shù)階微分方程

有唯一解

Θ(t)=C1(t-a)α-1+C2(t-a)α-2+…+Cn(t-a)α-n,

其中Ci∈,i=1,2,…,n,n=[α]+1。

引理4[12]設(shè)α>0,Θ∈Lp(Τ,),(Τ,),則

其中Ci∈,i=1,2,…,n,n=[α]+1。

引理5[13]設(shè)Ω?n為開集,ω?Ω。設(shè)為Lp(Ω)的有界子集,其中1≤p<∞。假設(shè)?ε>0,?δ>0滿足δ

引理6[13]設(shè)K是Banach空間X中的非空有界閉凸子集,T是K到其自身的全連續(xù)算子,則至少存在一點(diǎn)x∈K,使得Tx=x。

引理7[14]設(shè)Ω為n中的一個(gè)有界域。函數(shù)g滿足

則映射φ(x)g(x,φ(x))∈C(Lr(Ω),Ls(Ω))。

2 主要結(jié)果

為了獲得我們的結(jié)果,做如下假設(shè):

(H1) 令n∈+,序列滿足0=τ0<τ1<…<τρ<…<τn=τ,ρ=1,2,…,n-1。

令Τρ=(τρ-1,τρ],ρ=1,2,…,n,則={Τ1,Τ2,…,Τn}是對(duì)Τ=[0,τ]的一個(gè)分割。

(H2) 函數(shù)f(s,u)連續(xù)且存在常數(shù)aρ、bρ>0,使得

|f(s,u)|≤aρ+bρ|u|, (s,u)∈Τρ×,ρ=1,2,…,n。

(H3) 函數(shù)f(s,u)連續(xù)且存在常數(shù)a、b>0,使得

|f(s,u)|≤a+b|u|, (s,u)∈Τ×。

定義Banach空間Eρ=Lpρ(Τρ,),ρ=1,2,…,n,范數(shù)配備為

令p(t):Τ→[1,∞)是關(guān)于分割的分段常值函數(shù),即其中1≤pρ<∞是常數(shù),Iρ是區(qū)間Τρ的指示函數(shù),ρ=1,2,…,n,即

因此,方程(1)有如下形式:

(2)

定義分?jǐn)?shù)階微分方程(1)的輔助邊值問題為

(3)

引理8設(shè)ρ∈{1,2,…,n},1<α<2,f∈Lpρ(Τρ×,),uρ∈Eρ,則函數(shù)uρ是問題(3)的解當(dāng)且僅當(dāng)uρ是積分方程

(4)

的解,其中格林函數(shù)

(5)

證明:設(shè)uρ滿足問題(3),則根據(jù)引理4,有

再由邊界條件uρ(τρ-1)=uρ(τρ)=0可得

C2=0 。

從而

即uρ是問題(4)的解。

若uρ是積分方程(4)的解,則uρ顯然滿足問題(3)的邊界條件。又

=(t-τ)Γ(α)Γ(2-α) ,

引理9由式(5)定義的函數(shù)G(t,s)滿足下面的條件:

(ⅰ)G(t,s)>0,?t、s∈(τρ-1,τρ);

(ⅱ) 存在一個(gè)正的函數(shù)γ∈Lpρ(Τ,),使得

證明:顯然,t、s∈(τρ-1,τρ)時(shí),G(t,s)>0。

下面考慮函數(shù)γ的存在性。

設(shè)

則有

再由G(t,s)的單調(diào)性,有

因此,可定義

從而(ⅱ)成立。證畢。

定義算子S:Eρ→Eρ為

定理1算子S:Eρ→Eρ全連續(xù)。

從而

即

|G(t+h,s)-G(t,s)|<ε。

從而

|τh(Su)(t)-(Su)(t)|=|(Su)(t+h)-(Su)(t)|

其中

從而

下面證明S:Eρ→Eρ連續(xù)。

設(shè)un、u∈Eρ使得un→u(n→∞),則

即算子S:Eρ→Eρ連續(xù)。

綜上,由引理5知,算子S:Eρ→Eρ全連續(xù)。證畢。

定理2若定理1的條件成立,且存在r>0使得

則問題(3)在Eρ上至少存在一個(gè)解。

≤rpρ,

由定理1知,算子S:Ωr→Ωr全連續(xù)。由引理6,問題(3)在Eρ上至少存在一個(gè)解。證畢。

定理3設(shè)條件(H1)、(H3)成立,則問題(1)在Lp(·)(Ω)中至少存在一個(gè)解。

則函數(shù)uρ∈Lp([0,τρ],)是積分方程(2)的解。從而,函數(shù)

是問題(1)在Lp(·)(Ω)上的解。證畢。