樂(lè)風(fēng)江 楊富儒 方希兵 趙 文

(1.新疆大學(xué)建筑工程學(xué)院, 烏魯木齊 830047; 2.新疆大學(xué),新疆建筑結(jié)構(gòu)與抗震重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 烏魯木齊 830047;3.武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院, 武漢 430070)

0 引 言

長(zhǎng)期以來(lái),網(wǎng)架結(jié)構(gòu)特征值屈曲分析均利用桿單元模型或不分段梁?jiǎn)卧Ｐ瓦M(jìn)行數(shù)值分析,桿單元和不分段的梁?jiǎn)卧Ｐ头峡臻g結(jié)構(gòu)的物理概念,每一根桿件劃分為一個(gè)單元的分析契合工程設(shè)計(jì)的理念。近年來(lái)的研究[1]指出桿系結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析時(shí),采用梁?jiǎn)卧舨豢紤]分段(包括桿單元)時(shí)其誤差較大,可采用提高形函數(shù)的階次來(lái)提高解的精度。在網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究中更是提出了采用多段梁?jiǎn)卧Ｐ偷臄?shù)值方法,認(rèn)為采用多段梁模型不僅可以提高解的精度還可以引入缺陷考慮桿件屈曲[2-5],同時(shí)該方法也在網(wǎng)架結(jié)構(gòu)分析中得以應(yīng)用[6]?？臻g網(wǎng)格結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中若不考慮桿件失穩(wěn)會(huì)高估結(jié)構(gòu)的承載能力,但文獻(xiàn)中并未討論采用多段梁合理性的說(shuō)明,使得在網(wǎng)格結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析中單元選用缺乏相對(duì)依據(jù)。為此,討論了桿單元與梁?jiǎn)卧诳臻g網(wǎng)架特征值屈曲分析中的問(wèn)題,進(jìn)一步論證和揭示多段梁?jiǎn)卧Ｐ陀糜诳臻g網(wǎng)架結(jié)構(gòu)特征值屈曲分析和穩(wěn)定分析的正確性及內(nèi)在機(jī)理,提出了網(wǎng)架結(jié)構(gòu)特征值屈曲數(shù)值分析的方法。

1 鉸支受壓桿的屈曲分析

1.1 鉸支受壓桿屈曲分析的近似解

圖1為理想鉸支受壓桿等截面直桿,其上所受軸心壓力P作用,求解得臨界荷載[7]為:

圖1 鉸支受壓桿

(1)

式中:n為系數(shù);I為截面慣性矩;E為彈性模量;l為柱高。

當(dāng)n=1時(shí),其臨界荷載(解析值)為:

(2)

相應(yīng)的撓曲線為半波正弦函數(shù)。當(dāng)n=2,3,…時(shí),壓力P為解析值的4倍、9倍等。

1.1.1瑞利-里茲法

由勢(shì)能駐值原理得鉸支受壓桿的勢(shì)能表達(dá)式:

(3)

式中:v為撓度。

當(dāng)體系處于平衡狀態(tài)時(shí),其總勢(shì)能一階變分為零,即:

δΠ=0

(4)

設(shè)定不同的撓度曲線方程v=v(x)將得出不同的解。對(duì)于兩端鉸接受壓桿[8],有以下3種情況。

1)設(shè)v=ax2+bx+c,求得臨界荷載:

(5)

其值與解析值的誤差約為21.6%,且所設(shè)變形曲線不夠理想。

2)設(shè)以均布荷載q作用下梁的變形曲線作為屈曲時(shí)的近似變形曲線,即:

(6)

求得臨界荷載:

(7)

其值與解析值相比,誤差約為0.13%。

(8)

其值與解析值相同。

由瑞利里茲法求解所得的臨界荷載的精度取決于變形曲線,實(shí)質(zhì)為位移函數(shù)。當(dāng)位移函數(shù)越接近解析解的撓曲線時(shí),其結(jié)果也越精確。

1.1.2有限單元法

有限單元法是將里茲法“結(jié)構(gòu)化”或“格式化”,即通過(guò)構(gòu)造位移函數(shù)(通常較為簡(jiǎn)單)形成單元?jiǎng)偠染仃嚭蛻?yīng)力剛度矩陣來(lái)求解相應(yīng)問(wèn)題。運(yùn)用有限元法求解鉸支受壓桿,其構(gòu)造的位移函數(shù)為[7]:

v=A+Bx+Cx2+Dx3

(9)

單元分段不同,臨界荷載的計(jì)算式不同。

1)將單元分為2段,臨界荷載為:

(10)

2)將單元分為4段,臨界荷載為:

(11)

由式(10)、(11)可知,兩式與式(2)的誤差已經(jīng)較小,且分段數(shù)目越多,結(jié)果會(huì)越接近精確解。一般情況下,單元分段數(shù)量為3～5時(shí),精度就能滿足要求。

1.2 鉸支受壓桿的屈曲分析

特征值屈曲分析中,需求解其特征值方程[9]:

[KE]+{λi}[KG]){φi}=0

(12)

式中:[KE]為彈性剛度矩陣;[KG]為幾何剛度矩陣,或稱為初始應(yīng)力剛度矩陣;{λi}為第i階特征值;{φi}為與{λi}對(duì)應(yīng)的特征向量,是相應(yīng)該階屈曲荷載時(shí)結(jié)構(gòu)的變形形狀,即屈曲模態(tài)。在ANSYS的特征值屈曲分析中,其結(jié)果給出的是{λi}和{φi},即屈曲荷載系數(shù)和屈曲模態(tài),而屈曲荷載為{λi}{P0}。

采用Link 180單元分析鉸支受壓桿,由于桿無(wú)側(cè)向位移,不能形成幾何剛度矩陣,無(wú)法進(jìn)行特征值屈曲分析。設(shè)受壓桿采用圓鋼管,參數(shù)如表1所示,試采用Beam 188(梁?jiǎn)卧?進(jìn)行分析。

表1 圓鋼管參數(shù)(60 mm×3.5 mm)

由表2可知,Beam 188單元選用不同的形函數(shù)[10]時(shí),單元形函數(shù)階次越高,單元數(shù)目劃分較少(3～5段)即可得出較為準(zhǔn)確的最低階屈曲荷載系數(shù)。若不考慮單元分段,形函數(shù)階次的選擇直接影響幾何剛度矩陣和彈性矩陣的形成,一次形函數(shù)的精度不如二次形函數(shù)。

表2 鉸支受壓桿最低階屈曲荷載系數(shù)

由圖2～圖4可知:分段數(shù)目越多,屈曲模態(tài)越接近“半波正弦函數(shù)”。若單元不考慮分段,不論采用哪種形函數(shù),鉸支受壓桿均不會(huì)發(fā)生屈曲,其屈曲模態(tài)為直桿。這是因?yàn)槿魞H采用一個(gè)單元,其桿件中間無(wú)節(jié)點(diǎn)位移,屈曲模態(tài)上無(wú)法顯示出“半波正弦曲線”,當(dāng)桿劃分為多個(gè)單元時(shí)(3段或5段),鉸支受壓桿中間節(jié)點(diǎn)有位移,其形狀雖不是光滑的“半波正弦曲線”,但隨著單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)目的增多,屈曲模態(tài)愈接近“半波正弦曲線”(鉸支桿劃分50段時(shí)最低階屈曲模態(tài)已經(jīng)非常接近,但在實(shí)際工程分析時(shí),不需要?jiǎng)澐诌@么多單元)。

圖2 Beam 188單元采用一次形函數(shù)時(shí)不同分段數(shù)目的最低階屈曲模態(tài)

圖3 Beam 188單元采用二次形函數(shù)時(shí)不同分段數(shù)目的最低階屈曲模態(tài)

圖4 Beam 188單元采用三次形函數(shù)時(shí)不同分段數(shù)目的最低階屈曲模態(tài)

有限元分析的解與理論解存在誤差的原因是,一方面由于形函數(shù)本身存在誤差,這種誤差可以通過(guò)將單元分段來(lái)減小;另一方面,Beam 188是空間(3D)梁?jiǎn)卧?而理論解是由平面梁得到的,其支座約束條件與平面鉸接條件有一定差別。

2 鉸接桁架的屈曲分析

2.1 鉸接桁架屈曲分析的解析解

(13)

a—鉸接桁架; b—鉸接桁架節(jié)點(diǎn)失穩(wěn)示意。

臨界荷載Pkp必須小于將BC桿視為兩端鉸支時(shí)的臨界荷載才有實(shí)際意義。否則,體系將是由于BC桿的屈曲喪失穩(wěn)定而不是由于節(jié)點(diǎn)B發(fā)生橫向側(cè)移而失穩(wěn)。它應(yīng)滿足:

(14)

式中:i1為回轉(zhuǎn)半徑。

當(dāng)兩桿彈性模量E相同時(shí),上述條件可以表示為:

(15)

一般(i1/l)2很小,故當(dāng)A2遠(yuǎn)小于A1或α角很小時(shí),才會(huì)發(fā)生B點(diǎn)橫向側(cè)移而失穩(wěn)[8]。以上給出的結(jié)論實(shí)際上基于桿單元的桁架整體失穩(wěn)的解析式,并不考慮桿件屈曲。

2.2 鉸接桁架屈曲分析的有限單元解

采用桿單元求解鉸接桁架的屈曲荷載系數(shù)[11]:

(16)

其中φ=A1/A2

令N=1,φ=1,即A1=A2,得:

(17)

基于桿單元進(jìn)行求解時(shí)桿件不發(fā)生屈曲,λcr只與桿件的截面面積和彈性模量以及兩桿的相對(duì)長(zhǎng)度有關(guān),與其絕對(duì)長(zhǎng)度和截面慣性矩?zé)o關(guān),不符合屈曲理論[11]。

2.3 鉸接桁架的屈曲分析

2.3.1采用Link 180單元的鉸接桁架屈曲分析

令:A1=A2=6.212 5×10-4m2,取E=200 GPa,則ANSYS分析結(jié)果為λcr=-3.244 6×107。

選用Link 180單元,其屈曲荷載系數(shù)與有限元法采用的桿單元的結(jié)果一致,其屈曲模態(tài)(圖6)表現(xiàn)為鉸接桁架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)側(cè)移而使結(jié)構(gòu)失穩(wěn),但此臨界荷載作用下,桿件所受應(yīng)力可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)屈服強(qiáng)度,且不能反映桿件屈曲。

圖6 采用Link180單元的屈曲模態(tài)

2.3.2采用Beam 188單元的鉸接桁架屈曲分析

由表3和表4可以看出,采用Beam 188單元時(shí),若梁?jiǎn)卧豢紤]分段,隨著形函數(shù)的階次提高,其屈曲荷載系數(shù)也越接近準(zhǔn)確值(λcr=-71.675),但屈曲模態(tài)均不能反映桿件失穩(wěn);若梁?jiǎn)卧紤]分段,其屈曲模態(tài)可以反映桿件失穩(wěn)。

表3 鉸接桁架最低階屈曲荷載系數(shù)

表4 Beam 188單元采用不同形函數(shù)及不同分段數(shù)目的最低階屈曲模態(tài)

在形函數(shù)不變的條件下,單元分段的數(shù)目越多,其結(jié)果越準(zhǔn)確;形函數(shù)階次越高,分段數(shù)目較少時(shí)即可得到較為準(zhǔn)確的解。

3 網(wǎng)架結(jié)構(gòu)特征值屈曲分析

網(wǎng)架平面尺寸為22.4 m×34 m,高度1.6 m。網(wǎng)架屈曲分析時(shí)荷載組合選用:1.2×恒載+1.4×活載。網(wǎng)架結(jié)構(gòu)桿件截面由滿應(yīng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)獲得,桿件截面規(guī)格和框架梁柱尺寸見(jiàn)表5所列。單一網(wǎng)架分析時(shí),支座采用固定鉸支座;考慮下部框架時(shí),由于實(shí)際工程中,網(wǎng)架與框架支座一般采用平板鋼支座,其剛度一般較大[12]。ANSYS分析時(shí),網(wǎng)架采用梁?jiǎn)卧?框架采用實(shí)體單元,兩者的連接采用“剛性區(qū)法”[9]。

表5 網(wǎng)架截面規(guī)格和框架梁柱尺寸

3.1 單一網(wǎng)架的特征值屈曲分析

3.1.1采用Link 180單元的特征值屈曲分析

采用Link 180單元進(jìn)行數(shù)值模擬分析,得到屈曲荷載系數(shù)為λcr=-84.894,其屈曲模態(tài)如圖7所示。其臨界荷載過(guò)大是由于桿單元無(wú)法考慮桿件屈曲而高估網(wǎng)架整體穩(wěn)定性所致。

a—平面圖; b—側(cè)視圖。

3.1.2采用Beam 188單元的特征值屈曲分析

由表6及圖8、9可知,Beam 188單元選用一次形函數(shù)且不考慮分段的最低階屈曲荷載系數(shù)為-86.312,屈曲模態(tài)無(wú)法反映桿件屈曲,對(duì)比分段的結(jié)果為-1.609 4(分段數(shù)目為50),網(wǎng)架的屈曲模態(tài)可以反映出桿件失穩(wěn)。

表6 單一網(wǎng)架的最低階屈曲荷載系數(shù)

a—平面圖; b—側(cè)視圖。

圖9 選用一次形函數(shù)、分段數(shù)目為3時(shí)網(wǎng)架的最低階屈曲模態(tài)

由圖10、11所示,當(dāng)Beam 188單元采用二次或三次形函數(shù)時(shí),若考慮不分段,最低階屈曲荷載系數(shù)雖已較為接近精確值,但屈曲模態(tài)仍不能反映桿件失穩(wěn);考慮分段之后,網(wǎng)架可以反映出桿件失穩(wěn)。

a—平面圖; b—側(cè)視圖。

圖11 選用二次形函數(shù)、分段數(shù)目為3時(shí)網(wǎng)架的最低階屈曲模態(tài)

實(shí)際設(shè)計(jì)中,雖然保證了單根桿件的強(qiáng)度及穩(wěn)定性,但在網(wǎng)架結(jié)構(gòu)特征值屈曲分析中發(fā)現(xiàn),最低階屈曲模態(tài)出現(xiàn)了桿件的屈曲,說(shuō)明網(wǎng)架桿件失穩(wěn)不容忽視。

穩(wěn)定問(wèn)題是一個(gè)幾何非線性的問(wèn)題,分析過(guò)程需要選定較為合適的單元,而選用合適的單元?dú)w根結(jié)底是選用較為精確的形函數(shù)。一般而言,形函數(shù)階次越高,其結(jié)果越精確,這也是Beam 188若采用三次形函數(shù),分3段的結(jié)果(-1.608 0)已經(jīng)十分接近精確解(-1.607 5)。若形函數(shù)階次越低,如Beam 188采用一次形函數(shù),分段數(shù)目達(dá)50時(shí),其結(jié)果為-1.609 4,仍與精確解存在誤差。

梁?jiǎn)卧?Beam 188)中將網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)處理為剛接,與桿單元(Link 180)雖然有差別,但實(shí)際中,網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)不一定為理想鉸接,接近半剛接?？紤]到網(wǎng)架結(jié)構(gòu)僅受節(jié)點(diǎn)荷載,其受軸力影響較大,采用梁?jiǎn)卧治?對(duì)網(wǎng)架的穩(wěn)定性能影響不大。

3.2 考慮下部框架的網(wǎng)架特征值屈曲分析

網(wǎng)架桿件截面不變,下部框架的混凝土梁柱采用Solid 65單元(加筋混凝土實(shí)體單元),考慮鋼筋的影響。

3.2.1采用Link 180單元的特征值屈曲分析

采用Link 180單元,通過(guò)數(shù)值模擬分析得出最低階屈曲荷載系數(shù)為λcr=128.80,其屈曲模態(tài)如圖12所示。

a—平面圖; b—側(cè)視圖。

3.2.2用Beam 188單元的特征值屈曲分析

由表7、圖13～圖16可知,考慮下部框架的網(wǎng)架屋蓋最低階屈曲模態(tài)和單一網(wǎng)架屋蓋的屈曲模態(tài)相近,最低階屈曲荷載系數(shù)比不考慮下部框架(表6)的要小2.36%。

表7 考慮下部框架的網(wǎng)架屋蓋最低階屈曲荷載系數(shù)

a—平面圖; b—側(cè)視圖。

圖14 選用一次形函數(shù)、分段數(shù)目為3時(shí),考慮下部框架的網(wǎng)架最低階屈曲模態(tài)

a—平面圖(放大2 000倍); b—側(cè)視圖(放大2 000倍)。

圖16 選用二次形函數(shù)、分段數(shù)目為3時(shí),考慮下部框架網(wǎng)架的最低階屈曲模態(tài)

4 結(jié)束語(yǔ)

基于鉸支受壓桿和鉸接桁架穩(wěn)定性的對(duì)比,分別采用桿單元、不同形函數(shù)的不分段與分段的梁?jiǎn)卧獙?duì)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)工程實(shí)例進(jìn)行特征值屈曲分析,討論了網(wǎng)架結(jié)構(gòu)特征值屈曲分析中的單元采用多段梁?jiǎn)卧暮侠硇约皟?nèi)在機(jī)理,得到以下結(jié)論:

1)采用桿單元對(duì)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)進(jìn)行特征值屈曲分析時(shí),由于桿單元無(wú)法考慮桿件屈曲,使得最低階屈曲荷載系數(shù)過(guò)大,會(huì)高估網(wǎng)架的整體穩(wěn)定性。

2)采用梁?jiǎn)卧獙?duì)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)進(jìn)行特征值屈曲分析時(shí),若不分段,無(wú)法考慮桿件的屈曲,其形函數(shù)階次越低,求得的最低階屈曲系數(shù)誤差越大;采用二階和三階形函數(shù)的多段梁?jiǎn)卧獣r(shí),網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的最低階屈曲模態(tài)中出現(xiàn)桿件失穩(wěn)。

3)對(duì)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)特征值屈曲分析時(shí),建議采用多段梁?jiǎn)卧獙?duì)網(wǎng)架進(jìn)行特征值屈曲分析,以此可以得出較為準(zhǔn)確可靠的網(wǎng)架屈曲荷載和屈曲模態(tài)。