闞永志

(遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001)

一、問(wèn)題的提出與分析

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”這門(mén)數(shù)學(xué)課程在高等院校的所有數(shù)學(xué)課程中最靈活、應(yīng)用最廣泛，在理論上具有一定的抽象性，學(xué)好它有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使其更有效地奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。學(xué)生在學(xué)習(xí)概率論時(shí)，普遍感到計(jì)算公式具有一定的靈活性、重復(fù)性以及計(jì)算上的繁瑣性，而且在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，由于對(duì)基本概念、基本理論及基本方法的理解不深或掌握不熟練，難以入手，這就使學(xué)生逐漸失去學(xué)習(xí)的興趣和信心。

在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)中，概率的計(jì)算一直是非常重要的問(wèn)題，在涉及比較復(fù)雜概率的計(jì)算時(shí)，全概率公式早已成為常用的、必不可少的有效計(jì)算工具，在概率計(jì)算中具有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。但由于全概率公式的抽象性，且很多學(xué)生對(duì)該公式的使用條件以及如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造樣本空間的劃分還一直感到困惑，所以它也是概率計(jì)算方面的難點(diǎn)之一，學(xué)生對(duì)它更加難以理解和掌握。另外，大眾化的教育也使學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不扎實(shí)，因此，學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力欠缺，這也是教學(xué)中普遍存在的問(wèn)題。

針對(duì)全概率公式的學(xué)習(xí)方法及應(yīng)用已有很多的研究[1-7]，有些學(xué)者也對(duì)該公式進(jìn)行了必要的推廣[8-11]。如有些文獻(xiàn)闡述了它在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域及醫(yī)療診斷方面（如經(jīng)濟(jì)決策、產(chǎn)品檢驗(yàn)、傳染病的診斷）的應(yīng)用，有些文獻(xiàn)闡述了它在求分布函數(shù)時(shí)的應(yīng)用等。

但上述文獻(xiàn)研究和討論的都是全概率公式在哪些方面具有廣泛的應(yīng)用，而本文闡述的是在同一概率計(jì)算的教學(xué)中，除了直接利用傳統(tǒng)的概率計(jì)算方法外，還要會(huì)使用全概率公式，以解決全概率公式應(yīng)用的不足。在概率計(jì)算的不同方法上，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)全概率公式另一方面的重要應(yīng)用。這樣一來(lái)，概率論的教學(xué)方法會(huì)有一定程度的改進(jìn)，學(xué)生對(duì)概率論的學(xué)習(xí)興趣也會(huì)逐漸提高。

有關(guān)定義及計(jì)算公式：

有限可加性[12]8若A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，則有

減法公式[12]8

乘法定理[12]16設(shè)P(A)＞0，則

定義[12]17設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn是E的一組事件，若

（i）B1,B2,…,Bn兩兩互斥，即BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n；

（ii）B1∪B2∪…∪Bn=S，則稱B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分。

定理[12]18設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分，且P(Bi)＞0(i=1,2,…,n)，則有全概率公式

全概率公式是把事件A的概率分成有限個(gè)比較容易計(jì)算的概率之和。在具體分析問(wèn)題的過(guò)程中，把Bi看成A發(fā)生的原因，A是結(jié)果，即由“原因”找“結(jié)果”。也就是說(shuō)，一個(gè)結(jié)果A的發(fā)生總是與某些前提條件（或原因、因素或前一階段結(jié)果）Bi有聯(lián)系，那么在計(jì)算P(A)時(shí)，用Bi對(duì)A進(jìn)行分解：，應(yīng)用全概率公式計(jì)算P(A)，我們常稱這種方法為全集分解法。

基于篇幅所限，本文主要列舉幾個(gè)具體實(shí)例加以講解。

二、實(shí)例應(yīng)用講解

（一）根據(jù)樣本空間的適當(dāng)劃分融入全概率公式

例1[13]有一個(gè)問(wèn)題，甲先答，答對(duì)的概率為0.4，如果甲答錯(cuò)，由乙答，答對(duì)的概率為0.5，求問(wèn)題由乙解答出的概率。

解析由題意分析，乙解答出問(wèn)題需滿足“甲答錯(cuò)，且問(wèn)題由乙解答出”，所以，若設(shè)事件A={甲答對(duì)問(wèn)題}，B={乙答對(duì)問(wèn)題}，則P(AB)=0，且根據(jù)式（2），得所求的概率應(yīng)是事件和B的積事件的概率P(B)=P(B)-P(AB)=P(B)，顯然，即為事件B的概率P(B)。

方法二 直接利用式（4）

上述兩種方法都是我們?cè)诟怕视?jì)算的教學(xué)中使用的傳統(tǒng)方法，其中第二種方法比較簡(jiǎn)便。

如果從下面一種思路來(lái)考慮，那么就有不同的解法，即考慮事件B的發(fā)生與事件A及都有關(guān)聯(lián)，此時(shí)可用A及對(duì)B進(jìn)行分解：

B=B(A A)=BA BA；或者將該試驗(yàn)的樣本空間構(gòu)建為互斥事件A及，則A,A構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，而事件B為該試驗(yàn)的事件，從而就可應(yīng)用全概率公式（5）求P(B)。下面給出具體解法：

方法三 由于P(A)=0.4，P(B|A)=0，P(B|)=0.5，故由式（5）可得

這樣就將全概率公式應(yīng)用于概率計(jì)算的教學(xué)中，使學(xué)生不僅會(huì)用傳統(tǒng)的概率計(jì)算方法，而且也會(huì)用全概率公式。對(duì)于本例，雖然全概率公式不是最簡(jiǎn)便的方法，但從中可領(lǐng)悟全概率公式使用的奧妙所在。

（二）抽簽?zāi)Ｐ椭袀鹘y(tǒng)的概率計(jì)算方法融入全概率公式

例2袋中有4 個(gè)白球，3 個(gè)黑球，從中無(wú)放回地取三次，每次取1 球，求第二次取到白球的概率。

解析顯然本例屬于比較簡(jiǎn)單的抽簽?zāi)Ｐ椭懈怕视?jì)算問(wèn)題，也是常規(guī)題型，幾乎所有的有關(guān)概率論教材及參考書(shū)都有講解，且傳統(tǒng)的講解方法有多種，如利用有限可加性及古典概率計(jì)算公式等，結(jié)果都是4/7。

方法二 把無(wú)放回地取三次球作為隨機(jī)試驗(yàn)，即從袋中任意取出3 個(gè)球?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)。由于共有A37種取法，每種取法為一基本事件，所以樣本空間包含的基本事件總數(shù)為A37。事件A={第二次取到白球}包含的基本事件總數(shù)為4×3×2+4×3×3+3×4×3+3×2×4=120。故依式（3），所求的概率為P(A)=120=47。

方法三 第二次取到白球應(yīng)從4 個(gè)白球中任取1 個(gè)，共有4 種取法；其余兩次為從余下的6 個(gè)球中任取2 個(gè)，共有種取法。故依式（3），所求的概率為P(A)=。

方法四 假設(shè)試驗(yàn)為不放回地一件一件取走，則樣本空間包含的基本事件總數(shù)為7!。事件A的發(fā)生等價(jià)于“在4 個(gè)白球中任取1 個(gè)放在第二個(gè)位置上，余下的6 個(gè)球隨意排在其余位置”，則A包含的基本事件總數(shù)為·6!。故依式（3），所求的概率為

。

除上述傳統(tǒng)的講解方法外，本文再介紹一種方法——應(yīng)用全概率公式（5）。我們?nèi)詮臉颖究臻g不同構(gòu)建方法的角度去探討。

方法五 設(shè)事件A={第二次取到白球}，Bi={第一次和第三次取到的 2 個(gè)球中恰有i個(gè)白球}(i=0,1,2)。易知B0,B1,B2是樣本空間的一個(gè)劃分，且有

故由式（5），得

（三）求邊緣分布律時(shí)融入全概率公式

若某事件A依賴于某個(gè)離散型隨機(jī)變量X，或者說(shuō)某事件A的發(fā)生與事件{X=xk}（k=1,2,…,n）都有關(guān)聯(lián)，則由式（5）得全概率公式

例3從數(shù)1,2,3,4 中任取1 個(gè)數(shù)，記為X，再?gòu)?,…,X中任取1 個(gè)數(shù)，記為Y，求P{Y=2}。

解析若能求得二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律，則很容易求得邊緣分布律中概率P{Y=2}，下面即關(guān)于求邊緣分布律教學(xué)中傳統(tǒng)的講解方法。

方法一 當(dāng)i＜j時(shí)，P{X=i,Y=j}=0；當(dāng)i≥j時(shí)，P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=1/4×1/i，即（X,Y）的分布律，見(jiàn)表1。

表1 （X,Y）的分布律

故P{Y=2}=0+1/8+1/12+1/16=13/48。

如果不僅考慮到Y(jié)的取值依賴于X，且能深一層想到事件{Y=2}，可做如下全集分解：

對(duì)于本例，因?yàn)榉椒ǘ苊饬寺?lián)合分布律的求解過(guò)程，所以應(yīng)用全概率公式求邊緣分布律中概率的方法就更加簡(jiǎn)便。這樣一來(lái)，學(xué)生對(duì)全概率公式的使用條件以及如何構(gòu)造樣本空間的劃分自然就有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，這也有助于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)概率論的信心。

三、結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例說(shuō)明全概率公式在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，而且它在應(yīng)用上非常靈活有效，能夠解決日常生活中很多難以解決的繁瑣問(wèn)題。在應(yīng)用時(shí)，需要將試驗(yàn)的樣本空間進(jìn)行恰當(dāng)?shù)膭澐郑瑢⒑軓?fù)雜的問(wèn)題化為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的和，最后利用全概率公式就能得到所要的結(jié)果。全概率公式的靈活融入不僅能讓每位學(xué)生真正體會(huì)其內(nèi)涵所在，而且也有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。