胡 坤

(江蘇省外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)

高考題對(duì)學(xué)生復(fù)習(xí)備考具有重要意義.2023年新高考Ⅰ卷第18題對(duì)立體幾何的考查難度有所下降,但多數(shù)考生在本題的得分卻并不高.筆者收集了一些考生的作答情況,探究其使用的方法并分析錯(cuò)誤原因,提出了一些備考建議.

1 原題重現(xiàn)

題目 (2023年新高考Ⅰ卷18)如圖1所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,AA1＝4.點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2＝1,BB2＝DD2＝2,CC2＝3.

圖1

(1)證明:B2C2//A2D2;

(2)點(diǎn)P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時(shí),求B2P.

分析 自2021 年起,新高考Ⅰ卷便沒(méi)有文理之別.往年立體幾何解答題一般以棱柱和棱錐為載體分步設(shè)問(wèn),第(1)問(wèn)常以平行、垂直的證明為主;第(2)問(wèn)主要考查線線角、線面角和二面角的計(jì)算,兩問(wèn)合為一證一算,今年依舊是這樣的形式.2023新高考Ⅰ卷立體幾何題共22分,分為1道多選題、1道填空題、1道解答題,分?jǐn)?shù)占比約為14.7%.

2 解析及常見(jiàn)錯(cuò)解

2.1 第(1)問(wèn)的五種證法

證法1 構(gòu)建平行四邊形,利用平行的傳遞性證明.為了排除動(dòng)點(diǎn)P的干擾,這里隱去點(diǎn)P.如圖2 所示,作A2N//AB交BB1于 點(diǎn)N,D2M//CD交CC1于 點(diǎn)M,則A2ND2M,四邊形A2NMD2是平行四邊形,故

圖2

又B2NC2M,四邊形B2NMC2是平行四邊形,故

由①②知B2C2//A2D2.

同類解法還有3種,可把輔助線MN轉(zhuǎn)移至其他位置(如圖3),形成了由A2B2C2D2和MN建構(gòu)的三個(gè)平行四邊形,以其中兩個(gè)證明另外一個(gè).

圖3

證法2 同樣是構(gòu)建平行四邊形,利用平行的傳遞性來(lái)證,只是添加輔助線不同.如圖4所示,可分別作AN//A2D2,BM//B2C2,易得四邊形ABMN是平行四邊形,故AN//BM,又AN//A2D2,BM//B2C2,故B2C2//A2D2.

圖4

類似地,還可以在上方添加輔助線,如圖5所示,證法一致.

圖5

圖6

還有其他的建系方式,原理是一致的.其他建系方式只要將上述關(guān)鍵點(diǎn)的橫、縱、豎坐標(biāo)進(jìn)行輪換即可,這里不再贅述.

證法4 四點(diǎn)共面,結(jié)合面面平行性質(zhì)定理證明.如圖7 所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則B2(0,2,2),D2(2,0,2),故B2D2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,2).同理,可得A2(2,2,1),C2(0,0,3),則A2C2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,2),故B2D2和A2C2的中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn),記為O(1,1,2).

圖7

圖8

該方法十分簡(jiǎn)便,充分利用平面向量的性質(zhì),需要學(xué)生對(duì)空間中的平面向量有一定的把握.另外,由于圖已表明B2C2和A2D2不在同一條直線上,故可由向量相等直接得出平行.

2.2 第(1)問(wèn)常見(jiàn)錯(cuò)解

采用全等來(lái)證明是最常見(jiàn)的錯(cuò)誤.如圖9所示,作幾條輔助線構(gòu)建兩組全等的直角三 角 形,△B2C2M≌△A2D2N,△C2D2H≌△B2A2R,由對(duì)應(yīng)邊相等得四邊形A2B2C2D2為平行四邊形(也是邊長(zhǎng)為5的菱形),則B2C2//A2D2.該方法的錯(cuò)誤在于忽視了要證四點(diǎn)共面,四點(diǎn)不共面,兩組對(duì)邊分別相等,不一定是平行四邊形,可以用空間四邊形(二面角)作反例.

圖9

部分學(xué)生想到用面面平行性質(zhì)定理證明,但同樣忽視了要證四點(diǎn)共面.“坐標(biāo)法”有用左手系的,雖不恰當(dāng),但運(yùn)算正確原則上不扣分.

書寫方面,向量不加箭頭、向量坐標(biāo)不加等號(hào)這類錯(cuò)誤較為常見(jiàn).此外,添加新的輔助線,字母盡可能避免出現(xiàn)很多下標(biāo),本題已有A1B1C1D1和A2B2C2D2,若再寫A3B3C3D3,則容易出現(xiàn)書寫紕漏,采用MN這樣的字母可以很好地規(guī)避.

2.3 第(2)問(wèn)的解法

2.4 第(2)問(wèn)常見(jiàn)錯(cuò)解

建系方式不同,點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)法不一,常見(jiàn)的點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)法主要有P(0,2,t),P(0,2,4t),P(0,2,2＋t),P(0,2,2＋2t)等,其中4t和2＋2t是采用向量共線設(shè)點(diǎn)方式得到的,2＋t是設(shè)B2P＝t得到的.

題中已將點(diǎn)P標(biāo)在B2上方,這使得部分學(xué)生將結(jié)果中的t＝1舍去,但這并不能全算學(xué)生錯(cuò)誤,也反映了題目具有爭(zhēng)議.

二面角為150°使得最終結(jié)果為1,調(diào)查發(fā)現(xiàn),很多學(xué)生的解題過(guò)程有錯(cuò)誤,但結(jié)果都為1,甚至有做不出來(lái),猜結(jié)果為1的,看似答案正確,實(shí)際上不得分.本題若將150°改為135°,那么最終結(jié)果為3,不容易猜出答案,但值得注意的是,3雖更有區(qū)分度,但也會(huì)使得計(jì)算變得更復(fù)雜,不側(cè)重知識(shí)點(diǎn)的考查,值得討論.

若|cos150°|＝|cos?m,n?|中不加絕對(duì)值符號(hào),則結(jié)果為,隨后再平方處理,這種錯(cuò)誤實(shí)質(zhì)上是對(duì)法向量所成角與二面角的大小關(guān)系為相等或互補(bǔ)沒(méi)有把握.

還有一些常見(jiàn)錯(cuò)誤,由于建系不當(dāng)、引入分?jǐn)?shù)坐標(biāo)、法向量不化簡(jiǎn)等,導(dǎo)致t解不出來(lái),這些錯(cuò)誤既花費(fèi)了大量時(shí)間,又不得分,得不償失.

3 從高考題談備考建議

1)注重方法,優(yōu)化運(yùn)算.

第(2)問(wèn)要建系,不妨在第(1)問(wèn)就建系做,用向量相等證平行,最直截了當(dāng).因此,要注重選擇解題方法,停一停再動(dòng)筆,多想一些,慢算一些,“磨刀不誤砍柴工”.運(yùn)算方面,爭(zhēng)取一筆到底,不走回頭路.例如,若將點(diǎn)P的豎坐標(biāo)設(shè)為2＋2t,后面法向量求解容易出錯(cuò);法向量盡可能取整數(shù),使得代入運(yùn)算變得簡(jiǎn)單.目前,學(xué)生對(duì)含有分?jǐn)?shù)、根號(hào)、負(fù)號(hào)的運(yùn)算有些畏懼,建議總結(jié)與練習(xí).

2)合理分布書寫空間,得分點(diǎn)要寫在醒目的位置,圖也是答案的一部分.

書寫要講究“美觀”,養(yǎng)成良好的習(xí)慣,條件不能漏,字跡要工整,字母書寫注意下標(biāo).當(dāng)含有較多下標(biāo)字母的時(shí)候,盡量用不含下標(biāo)的字母規(guī)避.作答前,要預(yù)先規(guī)劃書寫區(qū)域,采用“上下＋左右”結(jié)構(gòu),得分點(diǎn)寫在醒目位置.另外,圖也是答案的一部分,由于答題卡上的圖沒(méi)有輔助線痕跡,導(dǎo)致扣分的情況已屢見(jiàn)不鮮,建議先在試卷上畫草圖,確認(rèn)無(wú)誤后再轉(zhuǎn)移到答題卡上.

3)過(guò)程不跳步、詳略得當(dāng).

中檔題拿不到滿分,常見(jiàn)的問(wèn)題就是過(guò)程詳略不當(dāng),“想得快、寫得亂”是多數(shù)學(xué)生的通病.例如,求法向量,答題卡上寫“易得平面A2C2D2的一個(gè)法向量為m＝(1,1,2)”;再比如,對(duì)于余弦絕對(duì)值的式子,不少同學(xué)省略運(yùn)算細(xì)節(jié),直接得出結(jié)果,或猜出結(jié)果(兩解猜其一),省略計(jì)算過(guò)程,都屬于解題不規(guī)范.平時(shí)復(fù)習(xí)備考要重視步驟分、過(guò)程分.

4)回歸教材、研究真題.

新高考沒(méi)有熱門和冷門知識(shí)點(diǎn)一說(shuō),不能過(guò)度依賴模擬卷的出題套路,四點(diǎn)共面和性質(zhì)結(jié)合突出了今年高考對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查.建議考前復(fù)習(xí)回歸教材,夯實(shí)基礎(chǔ),以真題為藍(lán)本.章建躍曾表明,新教材的題目注重對(duì)知識(shí)的“識(shí)記”與“理解”,在一定程度上提高了推理題的比例,注重培養(yǎng)學(xué)生推理論證的能力,新高考更加注重考查學(xué)生的邏輯推理能力.

5)適當(dāng)用好教育大數(shù)據(jù)平臺(tái).

科技的發(fā)展使得一些優(yōu)質(zhì)的模擬題和真題卷都能在一些平臺(tái)上獲取.借助大數(shù)據(jù)平臺(tái),可快速篩選出適合自己的題目加以訓(xùn)練,通過(guò)一題多解、一題多變的方式達(dá)成“橫向?qū)Ρ日也罹?、縱向選題強(qiáng)化訓(xùn)練”的目標(biāo).

4 小結(jié)

立體幾何是高考的重要內(nèi)容,它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力起到了關(guān)鍵作用.學(xué)生從平面幾何過(guò)渡到空間立體幾何面臨著諸多困難,高考題的研究無(wú)疑是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題一種有效途徑.著名教育家杜威說(shuō)過(guò)“教學(xué)即生長(zhǎng)”,立體幾何學(xué)習(xí)不是格式化、模式化的被動(dòng)接受,而是以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、改正錯(cuò)誤的方式啟發(fā)學(xué)生自主成長(zhǎng).

(完)