梁琪雅

(福建省廈門雙十中學)

空間幾何體最值問題是高中數(shù)學的?？紗栴},該類問題情境復(fù)雜多變,解題方法靈活多樣.求解問題時需具體問題具體分析,采用針對性策略,尋找切入點.實踐表明,解答空間幾何體最值問題常用方法主要有基本不等式法、空間向量法、二次函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等,本文舉例分析.

1 基本不等式法

基本不等式法是求解空間幾何體最值問題的常用方法.運用該方法解題的關(guān)鍵在于靈活運用題干中的已知條件,合理設(shè)出相關(guān)參數(shù),構(gòu)建相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系.在構(gòu)建參數(shù)之間的關(guān)系時注重靈活運用幾何知識(如勾股定理、三角形相似等)探尋未知參數(shù).

例1 在三棱錐P-ABC中,點P在底面上的射影O為△ABC的垂心,如圖1 所示,其中AO的延長線交BC于點D.S△ABC?S△OBC＝S2△PBC,若△PAB,△PBC,△PAC的面積之和的最大值為8,則三棱錐P-ABC外接球的體積為________.

由題意可知PO⊥BC,而AD⊥BC,PO∩AD＝O,則BC⊥平面PAD,則BC⊥PD,BC⊥AP.由S△ABC?S△OBC＝S2△PBC,可得

整理得AD?OD＝PD2,即,而∠ODP＝∠PDA,則△ODP∽△PDA,∠POD＝∠APD＝90°,所以AP⊥PD.又BC∩PD＝D,故AP⊥平面PBC,則AP⊥PB,AP⊥PC.同理,得BP⊥PC,即PA,PB,PC兩兩垂直.設(shè)PA,PB,PC的長分別為a,b,c,則

2 空間向量法

空間向量是研究空間幾何體的重要工具,尤其用于解決動點問題,可能會獲得事半功倍的效果.運用向量法解答空間幾何體最值問題應(yīng)建立能夠便于運算的空間直角坐標系.同時,運用題干中線段的等量關(guān)系,借助坐標運算確定動點軌跡,而后運用立體幾何知識,通過轉(zhuǎn)換分析問題的視角,迅速找到解題的切入點.

例2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD內(nèi)存在一動點P,且滿足|PA|＝2|PB|.設(shè)PD1 和平面ABCD 所成角為α,則α 的最大值為_________.

動點問題應(yīng)首先想到運用空間向量法分析.以點B為原點,分別以BC,BA,BB1所在直線 為x軸、y軸、z軸 建立空間直角坐標系,如圖2所示.設(shè)正方體的棱長為2,點P(x,y,z),則A(0,2,0),D(2,2,0),由|PA|＝2|PB|,得

圖2

3 二次函數(shù)法

二次函數(shù)是學生非常熟悉的函數(shù).求解空間幾何體最值問題有時運用二次函數(shù)可獲得良好效果.當然構(gòu)建二次函數(shù)應(yīng)建立在對空間幾何體點、線、面空間位置的準確判斷與把握上,因此,應(yīng)靈活應(yīng)用線線平行、線面平行、面面平行以及垂直判定定理.

例3 如圖3所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點P1,P2分別在線段AB,BD1(不含端點)上運動,且P1P2//平面A1ADD1, 則 四 面 體P1P2AB1 的體積的最大值為_____.

圖3

4 導(dǎo)數(shù)法

求解空間幾何體最值問題有時構(gòu)建的函數(shù)較為特殊,為順利解答需運用導(dǎo)數(shù)知識判斷特殊函數(shù)的單調(diào)性求出其最值.構(gòu)建函數(shù)時要注重運用空間幾何體基礎(chǔ)知識,基于空間幾何體面積、體積公式構(gòu)建函數(shù).為更好地突破問題,深化學生的認識與理解,實踐中可借助多媒體技術(shù)多視角展示空間幾何體,更好地把握空間幾何體之間的關(guān)系,在頭腦中留下深刻的印象.

例4 如圖4所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2 的正方形,PA⊥底面ABCD,且PA＝2.若在該四棱錐中挖掉一個體積最大的圓柱,則該圓柱體的體積為_________.

圖4

綜上,解決空間幾何體最值問題時應(yīng)具備靈活的思維,掌握通法通解,同時,應(yīng)把握不同解題方法的特點以及適用題型,多進行訓(xùn)練與反思,及時發(fā)現(xiàn)與彌補解題中的不足,實現(xiàn)解題能力的進一步提升,從而在以后解題時把握關(guān)鍵點,迅速找到解題切入點,避免走彎路.

鏈接練習

1.已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB＝2,△ABC和△PAB的外接圓圓心分別為O1,O2,若該三棱錐外接球的表面積 為16π,設(shè)O1A＝a,O2A＝b,則a＋b的 最 大 值為_________.

2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,|AB|＝3,點E為線段AB上靠近點A的三等分點,在△A1BD內(nèi)有一動點P(包括邊界),則|PA|＋|PE|的最小值為_________.

3.已知四棱錐P-ABCD內(nèi)接于半徑為1的球,則該正四棱錐體積最大時,高為_________.

4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面ADD1A1上存在一動點P,且PB1⊥A1C,則直線PB1和直線AB所成角的正弦值的最小值為_________.

鏈接練習參考答案

(完)