李洪偉

(山東省青島西海岸新區(qū)第二高級(jí)中學(xué))

化歸與轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)中的重要思想方法,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的意義.立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,要求學(xué)生具備較強(qiáng)的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理能力,同時(shí)立體幾何也是高考數(shù)學(xué)中的重要考點(diǎn).本文分析化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用策略.

1 化陌生為熟悉,簡(jiǎn)化空間圖形解題

在高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題中,一些題目對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)較為陌生,此時(shí)可以利用化歸與轉(zhuǎn)化思想將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉問(wèn)題,再借助學(xué)生熟悉的解題方式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面分析,提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果與解題效率.

例1 在一個(gè)直徑為10的球體中有一個(gè)圓臺(tái),圓臺(tái)上底面的半徑是4,下底面的半徑是5,求圓臺(tái)的體積.

如圖1 所示,設(shè)圓球的球心為O,圓臺(tái)上底面的圓心為O1,圓臺(tái)經(jīng)過(guò)OO1的截面是梯形ABCD,延長(zhǎng)AD,BC與OO1,相交于點(diǎn)S,則△SAB為等腰三角形,O是AB的中點(diǎn).根據(jù)題目條件,可以得出CO1＝4,BO＝5.因?yàn)椤鱏O1C∽△SOB,所 以.連接OC,在Rt△OO1C中,由勾股定理可得OO1＝3,所以,解得SO1＝12,SO＝15,所以圓臺(tái)體積

此題考查圓臺(tái)與球的切接問(wèn)題,先求出底面與球的關(guān)系,之后利用幾何關(guān)系將圓臺(tái)體積轉(zhuǎn)化成大圓錐與小圓錐的體積差,進(jìn)而完成問(wèn)題的解答.

2 化三維為二維,借助平面圖形解題

高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題對(duì)學(xué)生空間想象能力要求比較高,在實(shí)際的解題中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生將立體問(wèn)題平面化處理,幫助學(xué)生分析立體問(wèn)題,有效解答立體幾何問(wèn)題.

例2 如圖2所示,ABCDA1B1C1D1是 長(zhǎng) 方 體,AB＝AD＝1,AA1＝2,M是棱DD1上任意一點(diǎn),當(dāng)A1M＋MC取最小值時(shí),證明:B1M⊥平面MAC.

圖2

如圖3 所示,將側(cè)面CDD1C1圍 繞DD1旋轉(zhuǎn)90°,使得其與側(cè)面ADD1A1在同一平面,當(dāng)A1,M,C′三點(diǎn)共線時(shí),A1M＋MC的值最小.因?yàn)锳B＝AD＝1,AA1＝2,所以M是DD1的中點(diǎn).因?yàn)镃1M＝MC＝2,C1C＝2,利用勾股定理可以得出C1C2＝C1M2＋MC2,則∠C1MC＝90°,所以C1M⊥CM.因?yàn)锽1C1⊥平面CDD1C1,所以B1C1⊥CM,因?yàn)锽1C1∩C1M＝C1,所以CM⊥平面B1C1M,則CM⊥B1M,同理可證B1M⊥AM,又AM∩CM＝M,所以B1M⊥平面MAC.

圖3

在立體幾何問(wèn)題中,空間位置關(guān)系可以通過(guò)平面圖形處理,如異面直線形成的角、二面角以及線面角等可以進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化,解題時(shí)需明確平面圖形關(guān)系,通過(guò)轉(zhuǎn)化完成問(wèn)題的解答.

3 化幾何為代數(shù),利用向量知識(shí)解題

數(shù)形轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法,在解答代數(shù)問(wèn)題時(shí),常常會(huì)將數(shù)轉(zhuǎn)化成形,利用圖形解答問(wèn)題.在立體幾何解題中,借助化歸與轉(zhuǎn)化思想將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題,通過(guò)計(jì)算解答幾何問(wèn)題.

例3 如圖4 所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底 面ABCD為正方形,在棱AA1上有一個(gè)點(diǎn)E,且BE⊥EC1.

圖4

(1) 證 明:BE⊥ 平面EB1C1;

(2)若AE＝A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

(1)因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體,所以C1B1⊥平 面ABB1A1.因 為BE在 平 面ABB1A1上,所 以BE⊥B1C1.又BE⊥EC1,EC1∩B1C1＝C1,所以BE⊥平面EB1C1.

(2)以B點(diǎn) 為 原 點(diǎn),分 別 為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖5所示.設(shè)AB＝a,BB1＝2b,則B(0,0,0),C(a,0,0),C1(a,0,2b),E(0,a,b).

圖5

在空間幾何問(wèn)題中,若線線角、線面角以及二面角難以直接求解時(shí),可以通過(guò)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題.

4 化無(wú)形為有形,借助模型解答問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)中,有很多復(fù)雜、抽象的問(wèn)題.面對(duì)這樣的問(wèn)題,如果學(xué)生無(wú)法有效提煉信息,則難以找到解題思路,此時(shí)可以通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化思想將無(wú)形轉(zhuǎn)化成有形,借助模型分析和解答問(wèn)題.

例4 如圖6所示,在三棱錐P-ABC中,AP⊥平 面ABC,∠ACB＝90°,AC＝BC＝1,AP＝3,則三棱錐P-ABC外接球的體積為_(kāi)___.

圖6

方法2 如圖7 所示,根據(jù)題意,對(duì)三棱錐進(jìn)行補(bǔ)形,補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)為1、寬為1、高為3的長(zhǎng)方體,則三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接球是同一個(gè)球.設(shè)外接球的半徑是R,所以所以,從而該三棱錐外接球的體積為

圖7

此題是求解三棱錐外接球體積的典型例題,方法1是常規(guī)解法,通過(guò)分析幾何圖形特征,確定外接球的球心,進(jìn)而求解出外接球的半徑,完成體積求解.方法2是利用補(bǔ)形法,將無(wú)形轉(zhuǎn)化成有形,通過(guò)對(duì)幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析,將三棱錐補(bǔ)形得到長(zhǎng)方體,根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),求解外接球半徑,簡(jiǎn)化解題過(guò)程,提高立體幾何解題效率.

(完)