王慧興(正高級(jí)教師 特級(jí)教師)

(清華大學(xué)附屬中學(xué))

立體幾何中的幾何計(jì)算包括距離、角、體積以及與球面關(guān)聯(lián)的幾何計(jì)算.在面向高考的常態(tài)教學(xué)中,常以向量坐標(biāo)法為重點(diǎn),為實(shí)現(xiàn)教學(xué)與考查的全面性,高校強(qiáng)基?？济}更注重考查幾何體的幾何性質(zhì)、基于邏輯推理的幾何分析能力與計(jì)算能力.支撐幾何計(jì)算的基本圖形是三角形,在求距離或求角時(shí),基本路徑都是通過(guò)尋求一個(gè)與求解目標(biāo)相關(guān)聯(lián)的三角形來(lái)完成計(jì)算.

1 求幾何體中的距離

1.1 內(nèi)容提要

空間距離的類型共有6種,如表1所示.求空間距離時(shí)應(yīng)選擇合適的位置并作出對(duì)應(yīng)的線段,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng),最終在一個(gè)三角形中由勾股定理或余弦定理完成計(jì)算.

表1

1.2 典例精析

例1 (清華大學(xué))在四棱錐P-ABCD中,已知∠APB＝∠APD＝∠PBC＝∠PDC＝90°,PA＝PB＝PD＝BC＝CD＝2,則四棱錐P-ABCD的高為( ).

如圖1所示,因?yàn)椤螦PB＝90°,PA＝PB＝2,所以AB＝2 2.同理,PC＝2 2,AD＝2 2.由得AC垂直平分線段BD,且垂足M是線段BD的中點(diǎn).

圖1

因?yàn)椤螦PB＝90°＝∠APD,所以AP⊥平面PBD,從而AP⊥BD,故BD⊥平 面PAC,則 平 面PAC⊥平面ABCD.作PH⊥平面ABCD于H,則點(diǎn)H在交線AC上.又AP⊥PM,所以點(diǎn)H在線段AM上.記∠PCA＝α,由PB＝PD＝2＝CB＝CD,M是線段BD的中點(diǎn),可得MP＝MC,則∠CPM＝α,故∠AMP＝2α.在Rt△PAM與等腰△MPC中,有

再由Rt△PAH,得

故選A.

分析圖形幾何性質(zhì),合理安排垂足位置,增強(qiáng)空間圖形的直觀性,便于幾何計(jì)算,扎實(shí)的空間想象能力和平面幾何分析能力是基礎(chǔ).

例2 (北京大學(xué))在△ABC中,AC＝1,BC＝3,AB＝2,M為線段AB的中點(diǎn),把△BCM沿CM折起,使得三棱錐B′-ACM的體積為,則A,B′兩點(diǎn)之間的距離可以是( ).

先作出圖2～5,依次體現(xiàn)原圖到最后折疊圖形.其中圖2與圖3分別是原圖及其直觀圖,圖4 與圖5 是折疊后的兩種圖形,分別對(duì)應(yīng)二面角B′-CM-A為鈍二面角、銳二面角兩種情形.

圖2

圖3

圖5

因?yàn)椤鰽CM的面積,所以三棱錐B′-ACM的高為

情形1 二面角B′-CM-A為鈍二面角,如圖4所

在圖4中,由△ABH1,應(yīng)用余弦定理,得

再在圖4中,由Rt△AH1B′,應(yīng)用勾股定理,得

情形2 二面角B′-CM-A為銳二面角,如圖5所示,作B′H2⊥平面ACM于H2,則垂足H2位于線段BK延長(zhǎng)線上.以下計(jì)算參考情形1,得AB′＝2.

綜上,選BC.

折疊問(wèn)題中的幾何作圖,需分析清楚折疊過(guò)程中的垂直關(guān)系、位置關(guān)系與不變性,弄清折疊前后圖形的關(guān)聯(lián),從而合理地利用折疊前的平面圖形理解折疊后的空間圖形,并完成相關(guān)計(jì)算.

2 求幾何體中的角

2.1 內(nèi)容提要

空間角包括如下5種類型,如表2所示.

表2

求空間角需要合理作出角,其中“合理”是為了作直觀的圖形,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上,最后應(yīng)用余弦定理或銳角三角形函數(shù)求一個(gè)三角形的內(nèi)角問(wèn)題.

2.2 典例精析

例3 (清華大學(xué))四面體D-ABC頂點(diǎn)處三個(gè)角∠BDC,∠CDA,∠ADB的 大 小 分 別 是arctan2,則二面角B-AD-C的大小為_(kāi)________.

如圖6所示,在棱DA上取一定點(diǎn)O,在平面DAB與平面DAC上分別過(guò)點(diǎn)O作AD的垂線,交DB,DC于M,N,則∠MON就是二面角B-AD-C的平面角.

圖6

記OD＝a,在Rt△DOM中,∠DOM＝90°,∠MDO＝arctan2,因此

同理,在Rt△DON中,ON＝3a,DN＝2a.

在Rt△MDN中,由勾股定理,得

在△MON中,由余弦定理,得

所求二面角的平面角大小θ的余弦值可以用三射線定理直接寫出:

例4 (北京大學(xué))在三棱錐P-ABC中,∠BAC＝90°,PA⊥平面ABC,如果PA＝AB＋AC,求∠APB＋∠APC＋∠CPB.

如圖7所示,在平面APB上作AM⊥PB于M,連接CM.因?yàn)镻A⊥平面ABC,∠BAC＝90°,所以平面PAB⊥平面ABC,且交線為AB.再由AC⊥AB,可得AC⊥平面PAB,從而PB⊥AC,故PB⊥平面AMC,CM⊥PB,所以

圖7

另一方面,有

由①②,可得

再由PA＝AB＋AC＞AB和AC,可 知∠APB＋∠APC＜45°＋45°＝90°,從而

即

本題解析思路基于熟知的三余弦公式:

例5 (清華大學(xué))已知正三棱柱ABC-A1B1C1的9條棱長(zhǎng)都相等,在棱AB上有一點(diǎn)P滿足平面PB1C1、平面PA1C1與平面A1B1C1所成角分別為α,β.

(2)求tan(α＋β)的最小值.

如圖8所示,在平面A1ABB1上,作PM⊥A1B1于M,則PM⊥平面A1B1C1.

圖8

分別取線段B1C1,A1C1的中點(diǎn)E,F,則A1E⊥B1C1,B1F⊥A1C1.再分別取線段B1E,A1F的中點(diǎn)X,Y,則MX//A1E,MY//B1F,所以MX⊥B1C1,MY⊥A1C1,故二面角P-B1C1-A1的平面角為∠PXM＝α,二 面 角P-A1C1-B1的 平 面 角 為∠PYM＝β.

因?yàn)檎庵鵄BC-A1B1C1的9 條棱長(zhǎng)都相等,所以可設(shè)其長(zhǎng)為1.(1)記AP＝x∈(0,1),則BP＝1－x,A1M＝x;,所以MY＝.在Rt△PMY中,有

通過(guò)推理轉(zhuǎn)化,把求幾何最值歸結(jié)為探究一個(gè)代數(shù)最值,應(yīng)注重對(duì)目標(biāo)式子調(diào)結(jié)構(gòu),尋求應(yīng)用均值不等式快捷確定最值的結(jié)構(gòu).

3 求幾何體的面積與體積

3.1 內(nèi)容提要

幾何體中的面積計(jì)算主要包括側(cè)面積、全面積與截面面積;體積的算法比較靈活,包括著名的“等積變換”.梳理柱體、錐體與球體的體積公式,如表3所示.

表3

表4

探求幾何體的體積時(shí)要合理選擇體積公式,并在題設(shè)幾何情境中尋求公式所需幾何量的計(jì)算路徑,其中作出幾何體的高及計(jì)算其長(zhǎng)度往往是解題難點(diǎn).

3.2 典例精析

例6 (北京大學(xué))在三棱錐D-ABC中,AC＝BC＝AD＝BD＝1,則三棱錐D-ABC的體積V的最大值為( ).

如 圖9 所 示,線 段AB,CD的中點(diǎn)分別記作E,F,分別作長(zhǎng)度為h的向量,使線段CD,A′B′互 相 平 分,則 四 邊 形A′DB′C是平行四邊形.因?yàn)?/p>

圖9

所以△CAB≌△DAB,從 而EC＝ED,并且ED⊥AB,EC⊥AB,則AB⊥平面ECD,故AB⊥CD.再由A′B′//AB,得A′B′⊥CD,平行四邊形A′DB′C是菱形.記(AB,CD,AA′)＝(2x,2y,h),則.由EC＝ED,FC＝FD,可得EF⊥CD,結(jié)合EF⊥A′B′,且CD∩A′B′＝F,得EF⊥平面A′DB′C,進(jìn)而AA′⊥平面A′DB′C,∠AA′D＝90°,故

例7 (北京大學(xué))在圓錐MO中,M是頂點(diǎn),O是底面圓心,點(diǎn)A在底面圓周上,點(diǎn)B在底面圓內(nèi),MA＝6,∠ABO＝90°,OH⊥MB于H,C為母線AB的中點(diǎn).當(dāng)四面體O-CHM的體積最大時(shí),線段BH的長(zhǎng)度是( ).

如圖10 所示,引入OM＝x,OB＝y(tǒng),AB＝z,由OM⊥平面OAB,∠ABO＝90°,可得x2＋y2＋z2＝OM2＋OB2＋AB2＝MA2＝36.因 為AB⊥OB,AB⊥OM,所以AB⊥平面OBM,故OH⊥AB.

圖10

等號(hào)成立的條件是

故選D.

得到條件x2＋y2＋z2＝36(x＞0,y＞0,z＞0),也可進(jìn)行球變換:

將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題.

4 球與球面關(guān)聯(lián)的幾何計(jì)算

4.1 內(nèi)容提要

4.2 典例精析

例8 球O的直徑SC＝4,A,B為球面上兩點(diǎn),滿足AB＝3,并且∠ASC＝∠BSC＝30°,則四面體S-ABC的體積V＝________.

如圖11所示,取弦AB的中點(diǎn)M,連接MC,MS.由題設(shè)可知CS是球O的直徑,則∠CAS＝90°＝∠CBS,又∠ASC＝30°＝∠BSC,從而CA＝CB＝2,SA＝SB＝2 3,所 以AB⊥MC,AB⊥MS,故AB⊥平面CMS.在△CMS中,有

圖11

由余弦定理,得

所以

例9 (中國(guó)科技大學(xué))將地球視作半徑為R的球體,則分別位于東經(jīng)120°北緯60°和西經(jīng)120°南緯60°的A,B兩地之間的球面距離是_________.

“球面距離”是指過(guò)球面上兩點(diǎn)的大圓上的劣弧AB的長(zhǎng)度L,因此,應(yīng)先計(jì)算球心角∠AOB的弧度數(shù),為此要先求出線段AB的長(zhǎng)度.

由題設(shè)可知A,B兩點(diǎn)的地理坐標(biāo)分別是A(120°,60°),B(－120°,－60°).如圖12 所示,取點(diǎn)A′(－120°,60°),B′(120°,－60°),則60°北緯線就是圖中過(guò)A,A′的小圓O1,60°南緯線就是圖中過(guò)B,B′的小圓O2,東經(jīng)120°經(jīng)線就是過(guò)A,B′的大圓O,西經(jīng)120°經(jīng)線就是過(guò)A′B的大圓O.

圖12

5 探求空間軌跡

空間曲線是滿足某種運(yùn)動(dòng)條件的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,命題立意通常包括判斷曲線的類型.

例10 (北京大學(xué))用一個(gè)平面α,截一高為h且底面圓的半徑為r的圓柱面,得到一橢圓曲線,并且橢圓與圓柱的底面恰有一個(gè)公共點(diǎn),則沿柱面展開(kāi)的交線形狀為_(kāi)_______.

如圖13所示,在截口線上任取一點(diǎn)P,作PM⊥圓O′所在平面于M,則M在底面圓周上.記平面α與圓O′所在平面的交線為l,則l與底面圓O′相切于點(diǎn)O.在底面圓O′所在平面上作MN⊥l于N,則Rt△PMN∽R(shí)t△A′AO,所以

圖13

記∠OO′M＝θ∈[0,2π],圓O′的半徑為r,則沿逆時(shí)針?lè)较蚧M的長(zhǎng)度為x＝rθ.

另一方面,記PM＝y(tǒng),AA′＝h,AO＝2r,則MN＝r－rcosθ,代入①,得

因此,把截面交線鋪展在平面上所得曲線即為點(diǎn)P(x,y)的軌跡,其參數(shù)方程為

消去參數(shù)θ,得,故交線形狀為一段余弦曲線.

6 基于三視圖構(gòu)建直觀圖計(jì)算求解

三視圖是檢測(cè)學(xué)生空間想象能力,培育學(xué)生情境轉(zhuǎn)化能力,鍛煉和發(fā)展學(xué)生幾何分析、幾何推理和幾何計(jì)算能力的最佳題材.

例11 (清華大學(xué))已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖14所示,則該四棱錐的四個(gè)側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)是________.

圖14

如圖15所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA′B′C′D′中,取棱AD的中點(diǎn)E,底面中心O,則三視圖表示的幾何體在圖15 中即為四棱錐D′-OCDE.

圖15

由DD′⊥平面ABCD,可知∠D′DC＝90°＝∠D′DE,則△D′DC與△D′DE都是直角三角形.再由OE⊥AD,OE⊥DD′,可得△D′EO是直角三角形.

因?yàn)椤螩OD＝90°,所以O(shè)C⊥OD,且DD′⊥OC,所以O(shè)C⊥平面ODD′,故∠COD′＝90°,則△OCD′是直角三角形.

綜上,題設(shè)四棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形,故直角三角形的個(gè)數(shù)是4.

通常可先在一個(gè)正方體中構(gòu)建出三視圖表現(xiàn)的幾何體,再計(jì)算路徑.

7 求解新概念問(wèn)題

基于幾何情境抽象,提出新概念,檢測(cè)理解能力、空間想象能力以及應(yīng)用概念進(jìn)行幾何推理與計(jì)算的能力.

例12 (清華大學(xué))對(duì)于三維空間中任意給定的空間四邊形ABCD,四條線段AB,BC,CD,DA順次首尾相連,定義頂點(diǎn)A的內(nèi)角為射線AB和射線AD所成角,其補(bǔ)角稱為頂點(diǎn)A的外角,其他頂點(diǎn)的定義相同.若空間四邊形ABCD的外角和為X,則( ).

A.X＝2π

B.X≥2π

C.X≤2π

D.X相對(duì)于2π的大小關(guān)系不確定,三種可能性都存在

記空間四邊形ABCD各頂點(diǎn)的所有內(nèi)角和為Y.一方面,按題設(shè)定義,得

另一方面,如圖16 所示,由∠ABC≤ ∠ABD＋ ∠CBD,∠ADC≤∠ADB＋∠CDB,得

圖16

由①和②,得X≥2π,故選B.

例13 (北京大學(xué))設(shè)定點(diǎn)A,B,C,D是以點(diǎn)O為中心的正四面體的頂點(diǎn),用σ表示空間內(nèi)以直線OA為軸,滿足條件σ(B)＝C的旋轉(zhuǎn);用τ表示空間內(nèi)關(guān)于平面OCD的鏡面反射;設(shè)l為過(guò)棱AB中點(diǎn)與棱CD中點(diǎn)的直線,用ω表示空間內(nèi)以l為軸,作180°的旋轉(zhuǎn)變換.定義σ?τ為一個(gè)復(fù)合變換:σ?τ(P)＝σ(τ(P)),即先作變換τ,再作變換σ,則ω可表示為( ).

A.σ?τ?σ?τ?σB.σ?τ?σ?τ?σ?τ

C.τ?σ?τ?σ?τD.σ?τ?σ?σ?τ?σ

如圖17所示,直線l分別過(guò)棱AB,CD的中點(diǎn)M,N,由MC＝MD以及NA＝NB,可知直線l是異面直線AB,CD的公垂線,并且垂直平分線段AB,CD,所以ω(A,B,C,D)＝(B,A,D,C).

圖17

因?yàn)槠矫鍻CD就是平面MCD,所以τ(A,B,C,D)＝(B,A,C,D).再根據(jù)變換σ的定義,得σ(A,B,C,D)＝(A,C,D,B).因?yàn)?/p>

所以選項(xiàng)A,B,C都不正確,因此D 是正確選項(xiàng).

事實(shí)上,有

綜上,選D.

(完)