李軍焰

【摘? 要】? 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，高中數(shù)學(xué)的函數(shù)知識(shí)呈現(xiàn)出發(fā)散性強(qiáng)、涉及面廣的學(xué)科特點(diǎn)，高中學(xué)生利用函數(shù)知識(shí)解題的時(shí)候，往往感到多頭齊下，常常有一種無所適從之感，給學(xué)生們?nèi)粘４痤}時(shí)增添了許多困難.本文主要研究高中數(shù)學(xué)中函數(shù)答題的多元化處理對策，希望在教師教法、學(xué)生學(xué)法方面提供一些有益的建議，使教學(xué)兩方面主體切實(shí)受益.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；解題技巧

當(dāng)前高中學(xué)生在處理高中函數(shù)試題時(shí)的解題技巧常常陷入思維固化狀態(tài)，根據(jù)教學(xué)實(shí)踐顯示，多數(shù)高中學(xué)生仍然習(xí)慣于分析變量關(guān)系的解題思路，這種解題思路是初中時(shí)代考試考查的熱點(diǎn)，學(xué)生習(xí)慣于蕭規(guī)曹隨且依賴性強(qiáng)，但這不適應(yīng)高中函數(shù)教學(xué)的本意.嚴(yán)格來說，函數(shù)并不是某個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)或解題工具，而是一種數(shù)學(xué)思想，與高中數(shù)學(xué)解題效率息息相關(guān).因此高中數(shù)學(xué)階段要解決的不是工具性問題而是思想性問題，高中學(xué)生掌握了函數(shù)問題的多元化處理技巧，是掌握一種數(shù)學(xué)思想的發(fā)端，教師要以這個(gè)目標(biāo)為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，使學(xué)生們在充分掌握和理解函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，綜合利用函數(shù)思想對各種考查點(diǎn)不同的函數(shù)問題進(jìn)行特征判斷，選擇最優(yōu)化的答題思路和切入點(diǎn)，提高解題效率.

1? 高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的作用及意義

1.1? 檢驗(yàn)高中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)能力

數(shù)學(xué)學(xué)科對邏輯能力、推理能力和解析能力的培養(yǎng)具有很大貢獻(xiàn)，尤其是高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)知識(shí)，整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容也是圍繞函數(shù)構(gòu)建的，因此在函數(shù)知識(shí)體系中善于多元化解題思路，是檢驗(yàn)一個(gè)高中學(xué)生對其所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)的重要標(biāo)準(zhǔn)，也是學(xué)生將所學(xué)知識(shí)學(xué)以致用的一項(xiàng)檢驗(yàn)考查目標(biāo)，多元化解題能力能夠使學(xué)生在解題過程中游刃有余，不受迷惑，提高解題效率[1].

1.2? 提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

高中學(xué)生的心理發(fā)展需要數(shù)學(xué)思維來提升，數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的理性思維能夠進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生掌握更加成熟的思維方式，為自己的主觀能動(dòng)性提供有邏輯、有理性的參考資料，使高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)提升綜合素養(yǎng)，從而達(dá)到新課改提出的塑造核心素養(yǎng)的目的.可以看出，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)、靈活運(yùn)用多元化的解題方法本身就是一種強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的進(jìn)步性習(xí)慣，對學(xué)生的日后個(gè)人發(fā)展起到良好的推動(dòng)作用.

1.3? 突破學(xué)生思維固化現(xiàn)象

高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化有助于學(xué)生突破思維的固化現(xiàn)象，嚴(yán)格來說，函數(shù)題型是未來社會(huì)中艱難事務(wù)的一個(gè)縮影，其中的數(shù)字、公式和符號(hào)維持了一種多角度的相互關(guān)聯(lián)關(guān)系，而解決問題的方法也是不一而足的，不存在傳統(tǒng)的、只用一種方法便能解決根本問題的社會(huì)現(xiàn)象，因此解題思路多元化也有助于幫助高中學(xué)生突破固化的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維[2].每一位高中數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該積極向?qū)W生講授函數(shù)題型多元化的解題技巧與方法，并使學(xué)生領(lǐng)悟與探索不同方法殊途同歸的原因、程序，讓學(xué)生增強(qiáng)對函數(shù)知識(shí)的體驗(yàn)感，突破固化思維的局限性.

2? 高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化面臨的困境

2.1? 學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)理解不深

高中學(xué)生自初中習(xí)得的函數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)并不全面，或者說初中函數(shù)知識(shí)只是為學(xué)生高中函數(shù)學(xué)習(xí)打開一扇門，而學(xué)生在面對高中時(shí)更加復(fù)雜的函數(shù)題型時(shí)，往往感覺思想上豐富了，解題手段的選擇面廣泛了，卻比初中時(shí)期單一思路直來直去的效率更加降低，甚至對函數(shù)知識(shí)產(chǎn)生了一種迷惑感，這是由于在學(xué)習(xí)高中函數(shù)的過程中沒有循序漸進(jìn)地進(jìn)行深刻理解，對函數(shù)概念停留在一些初中階段死記硬背的固定公式層面，對于高中數(shù)學(xué)函數(shù)覆蓋范圍擴(kuò)大到指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)等領(lǐng)域時(shí)出現(xiàn)瓶頸現(xiàn)象，導(dǎo)致對各種函數(shù)的概念、性質(zhì)發(fā)生互相混淆現(xiàn)象.

2.2? 學(xué)生解題思想與手段僵化

高中函數(shù)作為一種解題思想覆蓋多個(gè)子領(lǐng)域，不同領(lǐng)域的解題方法在函數(shù)這個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)上產(chǎn)生了交叉點(diǎn)并互相轉(zhuǎn)化，因此使得解題方向、解題角度豐富起來，許多學(xué)生只依賴習(xí)慣的解題方法，導(dǎo)致模式固定、思維僵化，遏制了想象力與創(chuàng)造性的發(fā)展，沿用概念化的固定思維模式難以應(yīng)變當(dāng)前高中數(shù)學(xué)復(fù)雜多變的函數(shù)題型，導(dǎo)致陌生考點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)解題無從下手.

例如? 以下常見題：“對于函數(shù)，上有意義？”許多學(xué)生在審題的時(shí)候?qū)⑦@道題的考查點(diǎn)當(dāng)作了定義域下的驗(yàn)證題，實(shí)際上，本題中的定義域尚未恒成立，這也是在考點(diǎn)考查中經(jīng)常模糊概念的“定義域”與函數(shù)“有意義”的考點(diǎn)，解體思想僵化的學(xué)生往往將“能成立”與“恒成立”混為一談，以致審題時(shí)出現(xiàn)思維障礙，直接將“有意義”，默認(rèn)為“定義域”為“恒成立”，而不假思索地直接應(yīng)用韋達(dá)定理進(jìn)行解題研究其定義域的子集，這是教師應(yīng)該時(shí)刻提醒學(xué)生注意的一個(gè)誤區(qū)，避免視覺誤差導(dǎo)致的思維僵化現(xiàn)象影響了學(xué)生們對對函數(shù)定義域成立的概念性理解.

2.3? 教師講授依賴公式或例題成法

在教科書上列舉的函數(shù)題型目的是為了方便學(xué)生明晰其中的函數(shù)定理，覆蓋和強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，不是為了學(xué)生一套模式多方套用，但許多教師在講授習(xí)題的時(shí)候無意識(shí)地打造成了標(biāo)桿、堡壘，導(dǎo)致一些學(xué)生潛意識(shí)中默認(rèn)這種解題方法迎合教材、適合自己，沒有意識(shí)到范例性的解題方法只適用于該題型， 導(dǎo)致考試題型發(fā)生變化的時(shí)候束手無策，思維的局限性妨礙了學(xué)生信息處理的有效性，因而教師講授時(shí)過度依賴課本例題也一定程度上導(dǎo)致學(xué)生思維產(chǎn)生了封閉性，錯(cuò)誤地認(rèn)為每道函數(shù)習(xí)題都是追求“一把鑰匙開一把鎖，找到最佳解決方案”，導(dǎo)致函數(shù)知識(shí)分散化、孤立化.一個(gè)值得注意的現(xiàn)象是，各個(gè)不同版本的“新課標(biāo)”對教材例題和教學(xué)方向都有著微妙的影響.

例如? 蘇教版舊版必修一學(xué)習(xí)完集合這一章后就立即開始學(xué)習(xí)函數(shù)，而蘇教版新教材則突出了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，先學(xué)習(xí)集合、常用邏輯用語、不等式、指數(shù)與對數(shù)之后再學(xué)習(xí)函數(shù)，而且特地添加了部分例題與習(xí)題，尤其是增加了問題與探究，可見新教材更注重知識(shí)銜接，有優(yōu)化學(xué)生組織邏輯思維的傾向，這應(yīng)該在教師的教學(xué)案中清晰地展示出來.

3? 運(yùn)用多元化解題思路的注意事項(xiàng)

3.1? 注重培養(yǎng)一題多解思想

多元化解題思路提倡發(fā)散性的解題方法，強(qiáng)調(diào)奔著函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)一題多解的實(shí)用性處理方案，雖然函數(shù)思想可以“條條大路通羅馬”，但離開閱讀題干的分析思路是不可取的，題干中復(fù)雜的函數(shù)式的顯性隱性條件使得一些解題法更加迂回，而一些解題方法則簡單快捷許多[3].

例如? 高中函數(shù)值域題型，學(xué)生在選擇解題方法時(shí)就有配方法、換元法、分離常數(shù)法、單調(diào)性法、圖象法等多種方法，但要注意帶有絕對值的函數(shù)問題在式中出現(xiàn)，隱含的數(shù)學(xué)語言就是“范圍”，拆分時(shí)要格外重視遺漏現(xiàn)象所導(dǎo)致的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)空缺，在遇到這種題型的時(shí)候，某些解題方法中沒有查驗(yàn)空缺的補(bǔ)救手段，因此一題多解能使學(xué)生即時(shí)拓展思維，采用其他解決方向?qū)Υ鸢感纬删C合性認(rèn)識(shí)，防止以偏概全的現(xiàn)象出現(xiàn)，有效提高解題的準(zhǔn)確性.

3.2? 重視函數(shù)式的指數(shù)問題

許多考題設(shè)置條件、考查考點(diǎn)的目的就是考驗(yàn)學(xué)生的鑒別能力，是否能將有迷惑性的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化、拆分成相對簡單的函數(shù)路徑，準(zhǔn)確、直觀地解題.例如帶有指數(shù)的函數(shù)問題一般采用待定系數(shù)法，但指數(shù)性質(zhì)對解析式的設(shè)計(jì)影響很大，學(xué)生要利用解析式數(shù)量解決問題需要深入探索題干中的關(guān)系，因此有必要先解讀數(shù)學(xué)文本，準(zhǔn)確無誤地陳列出題設(shè)條件，作為轉(zhuǎn)變思路的依據(jù)，如果待定系數(shù)法不能全方位地反映出該題目的考查問題，則需要多角度地審視考查題目中變量之間的相互關(guān)系.因此，教師講授例題時(shí)不可再依賴過去的成法，要深刻理解新教材設(shè)置例題的意圖，不厭其煩地給學(xué)生剖析例題設(shè)置條件、考查設(shè)置考點(diǎn)的出發(fā)點(diǎn)和應(yīng)用價(jià)值，發(fā)現(xiàn)考題中函數(shù)與變化規(guī)律之間的聯(lián)系.

3.3? 注重基礎(chǔ)知識(shí)的培養(yǎng)

將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化、拆分為簡單函數(shù)的基礎(chǔ)是對函數(shù)知識(shí)的全面掌握，作為一種函數(shù)思想，學(xué)生掌握的基礎(chǔ)知識(shí)要覆蓋面大、一通百通，才能夠靈活運(yùn)用.如果學(xué)生仍然受困于各種函數(shù)知識(shí)的孤立現(xiàn)象，光是計(jì)算函數(shù)值一項(xiàng)就會(huì)浪費(fèi)許多解題時(shí)間，函數(shù)解題的一大問題就是效率問題，學(xué)生固然能通過大量計(jì)算得出正確答案，但機(jī)械計(jì)算在考試中經(jīng)常得不償失.因此教師教學(xué)時(shí)注重培養(yǎng)高中學(xué)生們的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，打好傳授函數(shù)思想的基礎(chǔ)，學(xué)生們從一出發(fā)，自然對多元化思考有所幫助，對解題思路的來龍去脈掌握得更為靈活，能夠本著題干分析的結(jié)論更快地選擇最合理最有效率的解題方式.

例如? “已知函數(shù)y=，求出函數(shù)在［-，-］上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值時(shí)的值.”這一題型是化簡三角函數(shù)的常見的題型，目的就是考查學(xué)生將復(fù)雜函數(shù)化解為簡單函數(shù)的求解問題，因此學(xué)生應(yīng)第一時(shí)間考慮到相應(yīng)函數(shù)公式進(jìn)行化簡，通常簡單轉(zhuǎn)化就能起到化生為熟的效果，而且方便利用三角函數(shù)特性來解決問題.

4? 處理函數(shù)解題多元化的具體方式

4.1? 挖掘性解讀題干

考試中的函數(shù)題型都比較有代表性，例如偏向于精簡的題目，不直接明示信息而是一句話帶過，審題時(shí)往往不容易第一時(shí)間察覺這些隱藏的已知信息，那么處理起來也增添了困難[4].因此要擅長從簡短題目中挖掘出更多的信息作為已知條件，以降低問題難度，豐富解題手段.

例如? 一道結(jié)構(gòu)精干的函數(shù)題“函數(shù)是一次函數(shù)，如果，求”，乍一看之下這道題的已知條件很簡短而且沒有解析式系數(shù)，因此許多學(xué)生剛審題就陷入思維混亂模式，造成失分.通過挖掘性解讀題干的方式可以首選待定系數(shù)法，系數(shù)補(bǔ)足之后解析式便成立，缺失的已知條件也被“點(diǎn)亮”，是一種處理短試題的重要辦法，具體如下：設(shè)，則++，5，+=-3，所以，=-或者，=，所以-或+.

4.2? 拓展思維模式

高中函數(shù)題型多變，另一個(gè)使學(xué)生感覺解題難的方面出現(xiàn)在一種知識(shí)點(diǎn)在不同的題目中存在方式與作用完全不同的現(xiàn)象，這也導(dǎo)致了學(xué)生認(rèn)為解法失效而產(chǎn)生思維障礙，因此既要謹(jǐn)慎審題又要擅長拓展思維邊界，用不通的角度來觀察題干，尋找適合的思維模式，決定應(yīng)用經(jīng)濟(jì)而準(zhǔn)確的解題方法，縮短答題時(shí)間.

例如? 一題“已知不等式2對滿足的所有實(shí)數(shù)取值都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”.從題干上可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式整體運(yùn)算的計(jì)算量較大，如果拆分成一前一后兩個(gè)部分分別單獨(dú)計(jì)算則相對簡單而且實(shí)際，因此可以首先將不等式轉(zhuǎn)化為＜0，建立函數(shù)關(guān)系=，由于-2，因此采取分類討論法，研究0、＜0、=0分別計(jì)算，或者將其看作關(guān)于的一次函數(shù)利用整體思想將函數(shù)式轉(zhuǎn)變?yōu)椴坏仁?，更加方便快捷，最終計(jì)算出，）.可以看出，該題的思維方式從函數(shù)思想過渡到分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想，解法雖然簡潔，但數(shù)學(xué)思想在其中應(yīng)用得十分通透，體現(xiàn)了思維模式的靈活性.

4.3? 找準(zhǔn)切入角度

通常情況下高中數(shù)學(xué)函數(shù)試題很少有且僅有一種解法，當(dāng)前行新高考形勢下高中數(shù)學(xué)函數(shù)命題往往在題干的隱藏已知條件中就蘊(yùn)含了兩種以上的解法，學(xué) 生們可以選擇一種解法進(jìn)行切入，但不能同時(shí)思考兩種解題思路并進(jìn)行雜糅，這往往是考試解題的一個(gè)失分誤區(qū)，齊頭并進(jìn)地思考不但起不到觸類旁通的效果，反而導(dǎo)致解題中出現(xiàn)矛盾之處，無法進(jìn)行，平時(shí)練習(xí)中也起不到提高數(shù)學(xué)思維能力的作用.

例如? 簡單的值域問題“y=”，有兩種解法，一種是判別式法，一種是單調(diào)性法，判別式法相對要嚴(yán)謹(jǐn)一些，首先由入手將函數(shù)定義域定義為R，將原式變?yōu)榻馕鍪?，接著判斷y=2和y2時(shí)解析式的實(shí)根情況，由解出，條理相對清晰，邏輯鏈短，但需要注意判斷其系數(shù)是否為0，若單調(diào)性法則更為直觀，也會(huì)在判斷函數(shù)大小值時(shí)自動(dòng)審視函數(shù)式系數(shù)的問題.

4.4? 選擇相對簡潔的解題方法

新高考模式下，命題人基于全體學(xué)生的平均水平進(jìn)行考題設(shè)置，首先假設(shè)所有學(xué)生對于基礎(chǔ)知識(shí)掌握牢固的情況下，用例題范式的常規(guī)解題法作為參考，即一名考生按部就班地使用數(shù)學(xué)思維工具答題，能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)全部完成答題任務(wù).這種情況下，在解題時(shí)使用便捷、直觀的解題法，考生能夠提前完成任務(wù)，能夠獲得充裕的答卷時(shí)間.當(dāng)前新高考模式下題型減少了填空題，以選擇題為主，因此在解題時(shí)盡量選擇深入淺出的解法，與選項(xiàng)進(jìn)行對照可使考生最大程度獲益.

例如? 求解“函數(shù)的圖象大致為哪一個(gè)”的單項(xiàng)選擇題，如果利用函數(shù)或?qū)?shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性就會(huì)非常復(fù)雜，但如果分別研究出函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在四個(gè)選項(xiàng)中進(jìn)行對照，利用排除法，則可快速篩選出正確答案.因此單項(xiàng)選擇題的求解策略值得研究，因?yàn)槭切☆}，無需過程，力求小題不大做，又因?yàn)榇鸢冈谶x項(xiàng)中，可對比選項(xiàng)、尋求差異、特值檢驗(yàn)、果斷排除，通過選擇題訓(xùn)練提升學(xué)生思維能力.

5? 結(jié)語

函數(shù)思想對于高中生而言顯得相對抽象性，當(dāng)前高中學(xué)生遇到許多題型都傾向于簡單的計(jì)算，導(dǎo)致耗時(shí)長、效率低，因此高中數(shù)學(xué)教師有必要幫助學(xué)生鞏固函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，不著急一開始就通過練習(xí)題的方式教授方法，往往是題目簡單的題型考查解題技巧而且失分率高，因此在提高學(xué)生函數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)之后再講授一題多解的具體方法，有助于學(xué)生建立整體性的函數(shù)思想，而不是孤立的，還要針對題目進(jìn)行數(shù)學(xué)語言解讀進(jìn)而選擇更合適的處理方法.

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[3]徐沛豐.關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法舉例探討[J].文化創(chuàng)新比較研究，2018（31）：179+181.

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