呂實(shí)戰(zhàn)

【摘? 要】? 近年來(lái)，隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入及主題單元教學(xué)的提出，更強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.本文主要研究利用高等數(shù)學(xué)的思想方法構(gòu)造初等數(shù)學(xué)的解題方法，而極值方法是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接知識(shí)點(diǎn)之一.本文借助極值方法研究中學(xué)數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的解法，從而進(jìn)一步探究不同知識(shí)板塊之間的聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；極值方法；解題技巧

近年來(lái)，隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，微積分、概率、空間向量等高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)被引入中學(xué)數(shù)學(xué)教育．這給中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)新的挑戰(zhàn)，也為中學(xué)數(shù)學(xué)解題策略帶來(lái)新的方向，高等數(shù)學(xué)中的一些解題方法為初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決提供了更為廣闊的空間．最值問(wèn)題廣泛滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各知識(shí)塊，最值問(wèn)題的求解是中學(xué)階段的一個(gè)主要內(nèi)容，不但需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且需要較高的運(yùn)算技巧，因而是較難突破的內(nèi)容，而極值方法的引入為解決這類(lèi)問(wèn)題帶來(lái)新方向.

1? 極值簡(jiǎn)介

1.1? 無(wú)條件極值

對(duì)于函數(shù)的自變量除了定義域內(nèi)的限制，再無(wú)其他條件限制，這類(lèi)極值問(wèn)題稱(chēng)為無(wú)條件極值問(wèn)題.以下簡(jiǎn)要介紹二元無(wú)條件極值的求解、判斷過(guò)程.

求函數(shù)極值的基本步驟：

（1）解方程組求得定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn)；

（2）對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值，，

；

（3）算出的符號(hào)，判斷是否為極值，極大值還是極小值.

1.2? 條件極值

條件極值是指在一定的約束條件下求解極值的問(wèn)題，其中拉格朗日乘數(shù)法是最常用的方法之一.在中學(xué)階段有很多具有實(shí)際背景的問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)建模轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)求最值的題型，用中學(xué)所學(xué)知識(shí)解決較為困難或運(yùn)算難度大，這類(lèi)問(wèn)題一般可轉(zhuǎn)化為在一定約束條件下求解最值問(wèn)題，從而通過(guò)條件極值解決這一類(lèi)問(wèn)題.以下簡(jiǎn)要介紹求解二元條件極值的拉格朗日乘數(shù)法.

用拉格朗日乘數(shù)法求解函數(shù)在約束條件下條件極值的基本步驟：

（1）作輔助函數(shù)；

（2）設(shè)，

則

（3）解上述方程組，可得駐點(diǎn)；

（4）判斷駐點(diǎn)是否為條件極值點(diǎn).若是實(shí)際問(wèn)題，由實(shí)際問(wèn)題判斷；若不是實(shí)際問(wèn)題，可由二階微分判斷.

這樣把求解函數(shù)在約束條件下的條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題.該方法可推廣到多元最值問(wèn)題.

2? 無(wú)條件極值在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

距離、面積等最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的常見(jiàn)題型，也是考試中的高頻考點(diǎn).以下引進(jìn)極值法來(lái)嘗試求解這類(lèi)問(wèn)題.

例1? 在直角坐標(biāo)平面上求一點(diǎn)，使它到三直線的距離平方之和為最小.

解法1? 設(shè)所求點(diǎn)為，

則到三直線距離為，

則距離平方和為：，

構(gòu)造恒等式：，

其中為點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離與到直線的距離之和，猜測(cè)要最小，最小，而的最小為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)點(diǎn)在過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且垂直直線的直線上，

則，

整理得，

所以當(dāng)時(shí)最小，

則使最小的點(diǎn)為.

解法2

求得唯一可能極值點(diǎn)，根據(jù)問(wèn)題本身可知，距離平方和最小的點(diǎn)必定存在，所以所求點(diǎn)即為.

上述解法1為中學(xué)階段的解法，可看出運(yùn)算技巧性很強(qiáng)，過(guò)程繁難，解題過(guò)程中還用到合理猜想，對(duì)學(xué)生要求太高，可操作性低；解法2為極值法求解，解題過(guò)程較簡(jiǎn)單，可操作性強(qiáng).

例 2? 直線過(guò)點(diǎn)且與軸正半軸相交于點(diǎn)，與軸正半軸相交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，

（1）當(dāng)三角形的面積取最小時(shí)，求的方程；

（2）當(dāng)取最小時(shí)，求的方程.

解法1? （1）設(shè)直線的斜率為，由于直線與軸正半軸相較于點(diǎn)，與軸正半軸相較于點(diǎn)，因此，由點(diǎn)斜式知直線方程可表為.

令可得點(diǎn)坐標(biāo)；

令可得點(diǎn)坐標(biāo)；

因此三角形的面積可表示為

因?yàn)?，所以?/p>

由基本不等式得，

因此

且當(dāng)，

即時(shí)，

此時(shí)可得直線方程為，

化簡(jiǎn)得..

（2）的值可表示為

（3）

因?yàn)椋?/p>

所以.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)可得直線方程為，

化簡(jiǎn)得.

解法2? （1）設(shè)直線的斜率為，由解法一知三角形的面積可表示為

令，可得唯一駐點(diǎn).

又，

故函數(shù)在時(shí)取極小值.

因駐點(diǎn)唯一，極小值點(diǎn)為最小值點(diǎn)，即時(shí)三角形的面積最小，

此時(shí)可得直線方程為，

化簡(jiǎn)得.

（2）的值可表示為

令，

由可得唯一駐點(diǎn).

又，故函數(shù)在時(shí)取極小值.

因駐點(diǎn)唯一，極小值點(diǎn)為最小值點(diǎn)，

即時(shí)的值最小，

此時(shí)可得直線方程為，

化簡(jiǎn)得.

本題是中學(xué)經(jīng)典例題，這兩種解法各有千秋，解法1是中學(xué)的常規(guī)解法，適用于一元和二元的解題過(guò)程及結(jié)果較簡(jiǎn)單的最值求解問(wèn)題；解法2是極值法，它除了可求解一般最值問(wèn)題，更適應(yīng)于求解多元的，較復(fù)雜的最值求解問(wèn)題.

3? 條件極值在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

帶條件最值問(wèn)題求解在中學(xué)階段有著廣泛應(yīng)用，在函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、三角函數(shù)及解三角形等等各知識(shí)塊都有應(yīng)用，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主陣地之一，下面，我們用兩種方法進(jìn)行求解并進(jìn)行比較.

例 3? 已知平面上兩定點(diǎn)，.試在橢圓上求一點(diǎn)，使三角形的面積最大.

解法1? 設(shè)橢圓參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，

則，

又直線AB方程為，

即，

則點(diǎn)C到直線AB距離為：

，

，

則△ABC的面積為

（其中），

因?yàn)椋?/p>

所以（其中），

則當(dāng)即時(shí)，

.

此時(shí)三角形面積最大.

解法2? 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由高等數(shù)學(xué)向量積的定義可知△ABC的面積為

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在條件下，求函數(shù)的最大值.

作拉格朗日函數(shù)，

解方程組

可得唯一駐點(diǎn)，

對(duì)應(yīng)面積為.

而，，比較可知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，△ABC的面積最大.

在中學(xué)階段對(duì)這類(lèi)問(wèn)題求解途徑有以下幾種：1.（幾何法）通過(guò)求與直線AB平行并且與橢圓相切的直線，得到切點(diǎn)，則切點(diǎn)到直線AB的距離為△ABC的邊AB上高的最大值或最小值，從而求出面積的最大值，但本例有限制條件，橢圓為第一象限部分，為問(wèn)題解決帶來(lái)較大的困擾；2.（代數(shù)法）在橢圓上取點(diǎn)，再求點(diǎn)P到直線AB的距離d，再求面積，這種方法在討論距離d的最值時(shí)需要較強(qiáng)的解題技巧和扎實(shí)的運(yùn)算能力；3.（參數(shù)法）通過(guò)橢圓參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)，再用點(diǎn)到線距離公式求三角形的高，再求面積.解法1即為參數(shù)法求解，設(shè)參達(dá)到消元的目的把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值討論，解法2即為拉格朗日乘數(shù)法；從上述過(guò)程可看出，解法2有較強(qiáng)的可操作性.

例 4? 在三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若.

（1）求A；

（2）求的取值范圍.

解法1? （1）略，可得.

（2）由（1）及余弦定理可得：

，

設(shè)，

則，

因?yàn)椋?/p>

所以，

則可得：，

即，

可得：.

解法2? 作拉格朗日函數(shù)，

解方程組：

可得：，

此時(shí)取得最小值，

即.

本例為新編人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)54頁(yè)第22題改編題，是高中數(shù)學(xué)考試中的高頻考點(diǎn)，解法1為中學(xué)階段的解答思路，它需要較高的運(yùn)算技巧，且對(duì)相同題干求不同式子取值范圍又有不同的運(yùn)算技巧，這是大部分中學(xué)生通過(guò)大量訓(xùn)練都感覺(jué)不好把握的解題方法；解法1是采用極值法求解，可以作為通用的方法通用的思路，可操作性強(qiáng).

4? 結(jié)語(yǔ)

隨著課程改革的深入，主題單元教學(xué)是趨勢(shì)，它強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系；初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系也越來(lái)越密切，高等數(shù)學(xué)知識(shí)面更廣，難度更大，思維層次更高，它可以從不同角度、高觀點(diǎn)的分析許多初等數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)很多初等數(shù)學(xué)的解題具有指導(dǎo)作用.初等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多，但研究比較淺，停留在面上，更多是解題技巧，知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系也較少，高等數(shù)學(xué)恰好能在初等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的串聯(lián)上起作用，就如本文研究的極值法就能解決處于不同知識(shí)板塊的最值問(wèn)題，能很好地串聯(lián)起知識(shí)，從而減少學(xué)生重復(fù)做同樣的題目和做太難的題目，減少把大量的時(shí)間花在解題技巧上，提高中學(xué)生學(xué)習(xí)效率.所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可適當(dāng)滲透高等數(shù)學(xué)的一些思想方法，對(duì)提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有重要的意義，也讓老師能更好地駕馭課堂，提高效率.

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