□ 江蘇省邳州市實驗小學(xué) 吳榮安

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）確立核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容，重視單元整體教學(xué)設(shè)計。我們在新課標(biāo)引領(lǐng)下，開展了大觀念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)實踐。大觀念是反映小學(xué)數(shù)學(xué)本質(zhì)，居于小學(xué)數(shù)學(xué)課程中心地位且有適用性、解釋力的原理、思想、方法，它是單元教學(xué)設(shè)計與實施的統(tǒng)領(lǐng)和關(guān)鍵性支撐。在大觀念視角下，我們形成了單元整體教學(xué)的框架：整體分析內(nèi)容，提煉學(xué)科大概念；關(guān)聯(lián)核心素養(yǎng)，設(shè)計單元目標(biāo)；分解單元目標(biāo)，設(shè)計課時序列；分析學(xué)習(xí)路徑，設(shè)計教學(xué)活動。本文選取蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊“兩三位數(shù)乘一位數(shù)”單元中“倍的認(rèn)識”相關(guān)知識（蘇教版教材中例3、例4 以及練習(xí)內(nèi)容）作為教學(xué)單元，說明實施流程。

一、整體分析內(nèi)容，提煉學(xué)科大觀念

把單元內(nèi)容置于學(xué)習(xí)主題內(nèi)，整體把握內(nèi)容的學(xué)科本質(zhì)，概括提煉體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)的大觀念，以統(tǒng)領(lǐng)單元教學(xué)，是單元整體教學(xué)設(shè)計的起點。

“倍的認(rèn)識”屬于“數(shù)量關(guān)系”主題?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)量關(guān)系內(nèi)涵比較豐富，其中模型是數(shù)量關(guān)系的核心，人教社王永春主任把數(shù)量關(guān)系概括為三類：四則運(yùn)算模型、估算、用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系。“倍的認(rèn)識”屬于“四則運(yùn)算模型”中的乘法模型內(nèi)容。

心理學(xué)家吉爾德·維格諾德認(rèn)為：小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，它主要包括度量同構(gòu)、量度的積和復(fù)合比例三種結(jié)構(gòu)?！氨兜恼J(rèn)識”屬于乘法結(jié)構(gòu)中的第一種度量同構(gòu)，處在加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點。學(xué)生先前認(rèn)識乘法是從累加的角度學(xué)習(xí)的，本質(zhì)上還是加法結(jié)構(gòu)，切入到“倍的認(rèn)識”，是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一次飛躍。

“倍的認(rèn)識”的學(xué)習(xí)是學(xué)生首次感悟兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，有利于學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比等內(nèi)容，逐步把握兩個數(shù)的比率結(jié)構(gòu)。選取蘇教版、蘇科版教材，梳理關(guān)于兩個數(shù)量之間關(guān)系的內(nèi)容編排，如下表。

從“倍的認(rèn)識”往前回溯，兩個數(shù)量的相差關(guān)系比較了絕對數(shù)量的多少，而倍數(shù)關(guān)系比較了相對數(shù)量的多少，它們的共同之處是先確定一個標(biāo)準(zhǔn)，再去刻畫另一個數(shù)量。不同之處，首先是刻畫的部分不同，相差關(guān)系刻畫的是兩個數(shù)量的差，而倍數(shù)關(guān)系刻畫的是比較量里面有幾個標(biāo)準(zhǔn)量，關(guān)注的是份數(shù)；“相差關(guān)系”中兩個數(shù)量的差距借助一一對應(yīng)可以清晰呈現(xiàn)，而一個數(shù)量是另一個數(shù)量的幾倍需要借助圈、數(shù)（或算）得到；解決實際問題時，“相差關(guān)系”需要通過“差”概念轉(zhuǎn)化為相并關(guān)系，倍數(shù)關(guān)系需要通過“倍”概念轉(zhuǎn)化為份總關(guān)系。表征數(shù)量關(guān)系時，“倍”描述了比較量和標(biāo)準(zhǔn)量的關(guān)系，“份”和“倍”在學(xué)生認(rèn)知圖式上有較大差異，“份”更為具體—直觀感知，而“倍”更為抽象—借助運(yùn)算。

從“倍的認(rèn)識”向后延展，當(dāng)一個數(shù)是另一個數(shù)的整數(shù)倍時，商用整數(shù)表達(dá)；當(dāng)一個數(shù)不是另一個數(shù)的整數(shù)倍時，商用分?jǐn)?shù)表達(dá)；兩個數(shù)量中不變的倍數(shù)關(guān)系也可以用比表達(dá)，比還可以度量兩個數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系。“倍、分?jǐn)?shù)、比”都可以比較兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，“份”是其中的核心概念。

從比差到比率，數(shù)量關(guān)系的豐富性、聯(lián)系性、獨(dú)特性不斷增強(qiáng)。從常量世界到變量世界，兩數(shù)的關(guān)系不斷抽象化、形式化。“差、倍、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比”聯(lián)系緊密，可以構(gòu)成一個“兩個量比較”大單元。

在“兩個量比較”大單元中蘊(yùn)含的大觀念有：①兩個數(shù)量比較，需要選定一個數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)，才能把兩個數(shù)量的關(guān)系說清楚；②兩個數(shù)量比較，要準(zhǔn)確把握關(guān)注的角度；③兩個數(shù)量的比較關(guān)系，聯(lián)結(jié)了“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”和“比較結(jié)果”；④兩個數(shù)量比較蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法：模型意識、推理意識、函數(shù)思想。

在“倍的認(rèn)識”單元，“倍數(shù)關(guān)系”刻畫了相對數(shù)量的比較，聯(lián)系了“一樣多”“份數(shù)”等相關(guān)知識。本單元大觀念表現(xiàn)為：①從兩個數(shù)中選定標(biāo)準(zhǔn)（一份），另一個數(shù)有幾個標(biāo)準(zhǔn)，就可以把兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系說清楚；②用“份”描述兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系是倍的認(rèn)識的重要抓手；③解決實際問題，倍數(shù)關(guān)系需要通過“倍”概念轉(zhuǎn)化為份總關(guān)系；④兩個數(shù)比較倍數(shù)關(guān)系蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法：模型意識、推理意識。

二、關(guān)聯(lián)核心素養(yǎng)，設(shè)計單元目標(biāo)

單元教學(xué)目標(biāo)制約著單元整體教學(xué)的走向。課程標(biāo)準(zhǔn)中“內(nèi)容要求”“學(xué)業(yè)要求”“學(xué)業(yè)質(zhì)量”是制定單元教學(xué)目標(biāo)的參照。教師在整體把握內(nèi)容學(xué)科本質(zhì)、提煉單元大概念之后，要思量與本單元內(nèi)容學(xué)習(xí)中核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，設(shè)計聚焦核心素養(yǎng)的單元教學(xué)目標(biāo)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，“數(shù)量關(guān)系”課程內(nèi)容總要求：“數(shù)量關(guān)系”主要是用符號（包括數(shù)）或含有符號的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律。第二學(xué)段數(shù)量關(guān)系“內(nèi)容要求”：在實際情境中，運(yùn)用數(shù)和數(shù)的運(yùn)算解決問題；并能對結(jié)果的實際意義作出解釋，形成初步的模型意識和應(yīng)用意識。第二學(xué)段數(shù)量關(guān)系“教學(xué)提示”：在具體情境中，利用乘法表示數(shù)量之間的關(guān)系，建立乘法模型，知道模型中數(shù)量的意義。

根據(jù)課標(biāo)以上內(nèi)容，制定“倍的認(rèn)識”單元教學(xué)目標(biāo)：①結(jié)合具體情境，認(rèn)識倍，理解“幾倍”與“幾個幾”的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)幾何直觀、推理意識、模型意識。②探究“求倍數(shù)”“求幾倍數(shù)”和“求1 倍數(shù)”實際問題的思考方法，發(fā)展學(xué)生問題解決能力，提升分析、比較和歸納等思維能力。③探索相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系實際問題、求比一個數(shù)的幾倍多幾（或少幾）的解題思路，形成整體性認(rèn)識，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展推理意識、應(yīng)用意識。

三、分解單元目標(biāo)，設(shè)計課時序列

單元教學(xué)目標(biāo)不是一蹴而就的，要通過一節(jié)課一節(jié)課的教學(xué)逐步達(dá)成。核心素養(yǎng)在同一單元不同課時中，抽象程度具有層級性，表現(xiàn)水平呈現(xiàn)遞進(jìn)性。因此，分解單元目標(biāo)，設(shè)計課時序列，是單元整體教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

確定“倍的認(rèn)識”單元內(nèi)課時序列，首先要根據(jù)單元大觀念進(jìn)行內(nèi)容整理，其次是創(chuàng)設(shè)單元內(nèi)容鏈接，既要保證每課時教學(xué)都服務(wù)于單元目標(biāo)的達(dá)成，又要使單元內(nèi)各課時目標(biāo)之間呈現(xiàn)連貫性。特編排3 道例題、2 個練習(xí)，共安排4 課時，內(nèi)容脈絡(luò)如下。

單元教學(xué)內(nèi)容是有若干個知識點組合而成，這些內(nèi)容中，一般總會有少量的幾個是單元學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，關(guān)鍵內(nèi)容是最能體現(xiàn)單元內(nèi)容本質(zhì)，促進(jìn)大觀念理解，對其他學(xué)習(xí)內(nèi)容具有統(tǒng)領(lǐng)作用，確定單元關(guān)鍵內(nèi)容設(shè)計并實施教學(xué)（關(guān)鍵課時），是單元整體教學(xué)設(shè)計的重點。在“倍的認(rèn)識”單元中第1、第3 課時是關(guān)鍵課時。

四、分析學(xué)習(xí)路徑，設(shè)計教學(xué)活動

在單元整體教學(xué)中，需要以大觀念為統(tǒng)領(lǐng)從單元的角度整體考慮教學(xué)活動的設(shè)計，既要遵循學(xué)科發(fā)展的規(guī)律，又要順應(yīng)學(xué)生的思維特點和心理特點。

學(xué)生先前已學(xué)過比多少，學(xué)習(xí)的路徑為：建立“差”的概念→比多少→解決問題→轉(zhuǎn)化（相并關(guān)系），本單元學(xué)習(xí)的路徑類似：建立“倍”的概念→比倍數(shù)→解決問題→轉(zhuǎn)化（份總關(guān)系）。本單元重點組織以下教學(xué)活動。

1.經(jīng)歷確定標(biāo)準(zhǔn)去度量比較量的過程

“倍”的概念源于比較，需要有一個標(biāo)準(zhǔn)，所以標(biāo)準(zhǔn)就成為了本單元的重要概念，“倍”概念要建立在“標(biāo)準(zhǔn)”之上。倍的概念的第一次建構(gòu)，是從花圃里有3 種花數(shù)量之間的比較開始的。通過教師問題的引領(lǐng)：你能想個辦法，讓我們一眼就看出誰比誰多多少或誰比誰少多少嗎？其目的是凸顯標(biāo)準(zhǔn)在比較中的重要性?！氨丁钡母拍畹牡诙谓?gòu)，是讓學(xué)生對整齊擺放的三種花的數(shù)量，通過圈、畫再次進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生去嘗試“這三種花除了有多和少的關(guān)系，還有什么關(guān)系，你能在學(xué)習(xí)單上圈出他們的關(guān)系嗎？”學(xué)生會確定標(biāo)準(zhǔn)，并用標(biāo)準(zhǔn)去度量，發(fā)現(xiàn)他們之間其他的數(shù)量關(guān)系。這種其他的數(shù)量關(guān)系，其實就是“份”的關(guān)系，也就是倍的關(guān)系。這樣借助已有的差比關(guān)系，緊扣標(biāo)準(zhǔn)，引領(lǐng)學(xué)生主動建構(gòu)倍比關(guān)系，提升了學(xué)生的推理意識和創(chuàng)新意識。

2.用“幾份”來關(guān)聯(lián)“幾個幾”和“幾倍”

借助“份”的概念和直觀支撐提煉出“幾個幾”，打通“幾份”“幾個幾”“幾倍”這三種表述方式。教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生以“幾份”為媒來認(rèn)識倍數(shù)關(guān)系，先定標(biāo)準(zhǔn)，也就是確定一份，另一個數(shù)量有這樣的幾份（也可以說“幾個幾”），就是標(biāo)準(zhǔn)的幾倍（如下圖）。這樣使學(xué)生認(rèn)識到三種表述方式，說法不同，關(guān)系相同，體驗到數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在一致性，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)語言，提升了思維的靈活性和深刻性。

3.運(yùn)用變式促進(jìn)“倍”的理解

圍繞核心問題“哪個量決定了倍數(shù)關(guān)系”設(shè)計結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)活動，促進(jìn)學(xué)生對“倍”的理解不斷深入。①標(biāo)準(zhǔn)相同，另一個數(shù)量不同，表示的倍數(shù)關(guān)系也不同，讓學(xué)生認(rèn)識到有時標(biāo)準(zhǔn)量不能決定倍數(shù)關(guān)系；②另一個數(shù)量相同，標(biāo)準(zhǔn)不同，表示的倍數(shù)關(guān)系也不同，讓學(xué)生感悟到有時另一個數(shù)量不能決定倍數(shù)關(guān)系；③標(biāo)準(zhǔn)和另一個數(shù)量都不同，表示的倍數(shù)關(guān)系卻不變。學(xué)生在比較和反思“哪個量決定倍數(shù)關(guān)系”的問題中，理解到作為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量和另一個數(shù)量都決定著倍數(shù)關(guān)系，從而全面、深刻地把握了“倍”的概念，發(fā)展了模型意識和函數(shù)思想。

4.前后觀照理解倍數(shù)

在學(xué)生感悟了“倍”之后，還要讓學(xué)生認(rèn)識“倍數(shù)關(guān)系”與“相差關(guān)系”“分?jǐn)?shù)的意義”的關(guān)聯(lián)。首先，引導(dǎo)學(xué)生回憶差比關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“兩個數(shù)量相等的關(guān)系，也可以說是1 倍關(guān)系?！碑?dāng)兩個數(shù)量相差的部分相當(dāng)于1 個較小數(shù)、2 個較小數(shù)、3個較小數(shù)……就出現(xiàn)了2 倍、3 倍、4 倍的關(guān)系……使學(xué)生看到倍數(shù)關(guān)系是由相差關(guān)系發(fā)展而來。其次，要幫助學(xué)生認(rèn)識“結(jié)構(gòu)不良”的倍數(shù)關(guān)系。借助標(biāo)準(zhǔn)量大于比較量時的比較認(rèn)識“不到1 倍”。這樣“拉幫結(jié)派”，使學(xué)生理解倍數(shù)關(guān)系與相差關(guān)系的相通之處，并且也為以后學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”打下基礎(chǔ)，從而做到上通下聯(lián)，感受到數(shù)學(xué)知識的和諧統(tǒng)一。

5.聯(lián)結(jié)份總關(guān)系把握倍的應(yīng)用

有關(guān)“倍”的實際問題大體有三種（“求倍數(shù)”“求幾倍數(shù)”“求1 倍數(shù)”），在一課時中把這三種問題進(jìn)行整合，引導(dǎo)學(xué)生利用直觀手段鏈接“倍”概念把倍數(shù)關(guān)系化歸為份總關(guān)系來解決，上述三類問題就轉(zhuǎn)化為“求一個數(shù)里面有幾個另一個數(shù)”“求幾個幾的和是多少”“把一個數(shù)平均分成幾份，求一份是多少”，這樣不僅能促使學(xué)生深刻把握“倍”的概念，形成了良好的認(rèn)識結(jié)構(gòu)，提升了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展了數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。