李健雄

(莆田哲理中學,福建 莆田 351100)

把數(shù)學變得更容易學習,是張景中院士從20世紀70年代就開始思考并著手實踐的事情,這也是“教育數(shù)學”的來由.隨著教育信息化和數(shù)學學科信息技術的發(fā)展,為促進信息技術與數(shù)學教與學的創(chuàng)新融合帶來了契機.網(wǎng)絡畫板(前身是超級畫板)是最近幾年發(fā)展起來的數(shù)學學科專用的優(yōu)秀的信息技術平臺,是中小學數(shù)學教學開發(fā)共享的數(shù)學實驗室.筆者利用網(wǎng)絡畫板對2018年貴陽市中考的一道與點運動路徑有關的試題進行探究,采用“模型提取——解題關鍵——完整解答——解后反思——鞏固訓練”的形式,讓讀者知一型,悟一法.

1 試題呈現(xiàn)

(1)當m=3時,求點A的坐標;

(2)DE=____,設點D的坐標為(x,y),求y關于x的函數(shù)關系式和自變量的取值范圍;

(3)連接BD,過點A作BD的平行線,與(2)中的函數(shù)圖象交于點F,當m為何值時,以A,B,D,F為頂點的四邊形是平行四邊形[1]?

圖1 中考題圖

2 模型提取

已知A,B,D三點確定(含m的式子),在拋物線上求一點F,當m為何值時,以A,B,D,F為頂點的四邊形是平行四邊形.

3 探究實驗

第(2)問:如圖2所示,拖動變量尺m,觀察點D運動的路徑,猜測這是什么函數(shù)的圖象.

第(3)問:如圖3所示,拖動變量尺m,觀察點F1,F2,F3(點F1,F2,F3是過△ABD的頂點分別作對邊平行線的交點),有幾次機會落在點D的路徑上.

圖2 m=4時

圖3 m=2.84

4 解題關鍵

(1)將m=3代入反比例函數(shù)解析式即可求出.

(2)本題用幾何方法從圖形上確定點D的運動路徑很難,但點D的運動是由字母m的變化引起的, 點D的坐標和m之間就有著某種關聯(lián),可通過幾何關系建立二者的內(nèi)在聯(lián)系,可得到D的坐標x和y關于m的關系式,消掉參數(shù)m即得到y(tǒng)關于x的函數(shù)關系式.

(3)雖然A,B,D三點隨m的變化而變化,但都可以用m的式子表示,把它看作定點, 問題轉(zhuǎn)化成已知三定點,求一點使這四點為頂點構成平行四邊形的問題.因為BD∥AF,因此BD和AF是平行四邊形的對邊,即只有AD和AB是對角線兩種情況,可以通過構造全等三角形,或平移前后對應點在水平和堅直方向上平移的距離相等,或平行四邊形兩組相對頂點橫坐標之和相等,縱坐標之和也相等解決.

5 完整解答

(2)如圖4所示,延長EA交y軸于點N.

圖4 第(2)問示意圖

∵DE∥y軸,

∴∠NCA=∠EDA,∠CNA=∠DEA=90°,∵AD=AC,∴△NCA?△EDA,

∴DE=CN.∵點A(m,m2-m),B(0,-m),

∴BN=m2-m-(-m)=m2,AN=m.在Rt△CAB中,AN⊥y軸,

∴△ANC～△BNA,∴AN2=CN·BN,

∴m2=CN·m2,∴CN=1,

∴DE=1,∴點E坐標為(2m,m2-m), 點D坐標為(2m,m2-m-1).

(3)解法1 ∵x>2,

圖5 解法1示意圖

當四邊形ABDF是平行四邊形時,AF=DB.

∵FQ∥y軸,∴∠HMF=∠AFQ.

∵AF∥BD,

∴∠HMF=∠HBD,∴∠AFQ=∠DBH,

∴△FQA?△BHD,∴AQ=DH=2m,FQ=BH,

∵D(2m,m2-m-1),B(0,-m),

∴BH=m2-m-1-(-m)=m2-1,

∴當m=2時,以A,B,D,F為頂點的四邊形是平行四邊形.

解法2 如圖6所示,分別過△ABD的頂點A,B,D作對邊的平行線交于點F1,F2,過點A作GH∥x軸,過點B作BI∥x軸,作F2H∥y軸,F1G∥y軸,交點分別為G,H,I.

∵四邊形ABDF1和四邊形AF2BD是平行四邊形,易證△AGF1?△AHF2?△BID,

∴F1G=HF2=DI,AG=HA=BI.

∵x>2,A(m,m2-m),B(0,-m),D(2m,m2-m-1),設F1(xF1,yF1),F2(xF2,yF2),

圖6 解法2示意圖

①當四邊形ABDF1是平行四邊形時,有

即F1(3m,2m2-m-1).

解得m=2或m=0(舍去).

②當四邊形AF2BD是平行四邊形時,有

即F2(-m,1-m).∵m>1,∴-m<-1.

綜上所述, 當m=2時, 以A,B,D,F為頂點的四邊形是平行四邊形.

6 解后反思

本題為代數(shù)幾何綜合題,考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的全等、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形判定及用字母表示坐標,熟練掌握和靈活應用相關知識、利用數(shù)形結合和分類討論的數(shù)學思想是解題的關鍵．

當用幾何方法難以確定動點運動路徑時,一般用相似(全等)或線段間的數(shù)量關系得出動點橫、縱坐標之間滿足的關系,即把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,然后從函數(shù)的關系入手.

在日常教學或者解題教學中,遇到動點的路徑問題,教師應該借助網(wǎng)絡畫板、超級畫板、幾何畫板或者GGB等軟件,做動畫給學生展示動點的運動過程,讓“靜”的幾何元素“動”起來,不僅形象生動,激發(fā)學生的學習興趣,還可以培養(yǎng)學生的幾何直觀能力,提升學生直觀想象素養(yǎng).

7 鞏固訓練

(2021年銅仁市中考題)如圖7,E,F分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的動點,滿足AE=BF,連接CE,DF,相交于點G,連接AG,若正方形的邊長為2,則線段AG的最小值為____.

圖7 鞏固訓練題圖